第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.5.3

1、1.5.3 定積分的概念明目標(biāo)、知重點1了解定積分的概念，會用定義求定積分.2 理解定積分的幾何意義.3 掌握定積分的基本性質(zhì).填要點，記疑點概念一般地，如果函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點a xoX1X2yXi 1x0,那么定積分？f (x)dx表示由直線 x a, x b(a* b), y 0和曲線y f (x)所圍成的曲邊梯形的面積.基本性質(zhì)1?kf (x)d x k?f (x)d x( k 為常數(shù))； ?f 1(x) f 2(x)d x ? 1( x)dx ?f2(x)dx； ?f(x)dx ?f(x)dx + ?f(x)dx(其中 avcvb).定積分探要點究所然探究點一定積

2、分的概念思考1分析求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動的路程，找一下它們的共同點.答 兩個問題均可以通過“分割、近似代替、求和、取極限”解決，都可以歸結(jié)為一個特定形式和的極限.思考2怎樣正確認(rèn)識定積分 ？f(x)dx?答(1)定積分？f(x)dx是一個數(shù)值(極限值)它的值僅取決于被積函數(shù)與積分上、下限，另 外？f(x)dx與積分區(qū)間a, b息息相關(guān)，不同的積分區(qū)間，所得值也不同. 定積分就是和的極限 陋送f() x，而 會(x)dx只是這種極限的一種記號，讀作“函 ng i =1數(shù)f (x)從a到b的定積分”. 函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)這一條件是不能忽視的，它保證了和的極限(定積分)的存在(

3、實際上，函數(shù)連續(xù)是定積分存在的充分條件，而不是必要條件)例1利用定積分的定義，計算?0x3dx的值.解令 f(x) = x3.(1) 分割i 1 i在區(qū)間0,1上等間隔地插入 n 1個分點，把區(qū)間0,1等分成n個小區(qū)間，和(i = 1,2，,i i 11n)，每個小區(qū)間的長度為 x=-=.n n n(2) 近似代替、求和取 E i= -(i = 1,2，n)，貝Unn i?x3dx S=E f( ) xi=1 n=刀(L)3 1i = “n n1 二 31122112=n4? 1i =市 4n(n+1) = 4(1 + n.(3) 取極限 ?x3dx= lim S= lim (1 +) 2=

4、4.ng 4n4反思與感悟 (1)利用定積分定義求定積分的數(shù)值仍然是“分割、近似代替、求和、取極值”這一過程，需要注意的是在本題中將近似代替、求和一起作為步驟(2),從而省略了解題步驟.(2)從過程來看，當(dāng)f(x) 0時，定積分就是區(qū)間對應(yīng)曲邊梯形的面積.跟蹤訓(xùn)練1用定義計算？(1 + x)dx.- i 1i 1解(1)分割：將區(qū)間1,2等分成n個小區(qū)間1 + 廠,1 + (i = 1,2，n)，每個小區(qū)間 jnn 1的長度為1 x= 一.n；i 1 i 1i 1 . 近似代替、求和：在 J1 +, 1 + -上取點E i = 1+(i = 1,2，n)，于是f ( E i)- nnn=1+

5、1+nn，從而得 v f( E i) x =、(2i =1i = 1i 1 1卜=) n=：= 12+匚十 2 I n n2 1=n n+ 評 + 1十2十十(n 1)=2 +n(n 1 =2=f n 1、15取極限：S= Hnx 2十- = 2十2 = .因此?(1 十 x)dx= |.探究點二 定積分的幾何意義思考1從幾何上看，如果在區(qū)間a，b上函數(shù)f (x)連續(xù)且恒有f (x) 0,那么？f(x)dx表示什么？答 當(dāng)函數(shù)f (x) 0時，定積分？f(x)dx在幾何上表示由直線 x= a, x= b( ab), y= 0及曲線 y= f(x)所圍成的曲邊梯形的面積.思考2 當(dāng)f (x)在區(qū)

6、間a, b上連續(xù)且恒有f(x) 0時，？f(x)dx表示的含義是什么？若 f(x)有正有負(fù)呢？答 如果在區(qū)間a, b上，函數(shù)f(x) 0時，那么曲邊梯形位于 x軸的下方(如圖).由于f( E i) 0,故f( E0.從而定積分？f(x)dx 0D. 若f(x)在a, b上連續(xù)且？f(x)dx0,則f(x)在a, b上恒正答案 D解析 對于 A, f( x) =- f (x) , ?af (x)dx=?af(x)dx+ ?f(x)dx = ?f(x)dx + ?f(x)dx= 0，同理 B正確；由定積分的幾何意義知，當(dāng) f (x)0時，?f(x)dx0即C正確；但?f(x)dx0,不一定有f (

7、x)恒正，故選 D.2. 已知定積分？f(x)dx= 8,且f(x)為偶函數(shù)，則？6f(x)dx等于().A. 0 B . 16 C . 12 D . 8答案 B解析偶函數(shù)圖象關(guān)于 y軸對稱，故? 6f (x)dx = 2?f(x)dx= 16,故選 B.3. 已知？xdx= 2，貝U ?txdx 等于()A. 0 B . 2 C . 1 D . 2答案 D解析/ f (x) = x在一t , t上是奇函數(shù)，/ ?txdx = 0.而?txdx= txdx+ ?xdx,又?xdx= 2, ?txdx = 2.故選 D.4. 由曲線y = x2 4,直線x = 0, x= 4和x軸圍成的封閉圖形

8、的面積(如圖)是()A. ?(x2 4)dxB. | ?4 x2 4 dx|C. ?| x2 4|d xD. ?(x2 4)dx + ?(x2 4)dx答案 C5. 設(shè) a= ?xdx, b= ?x2dx, c= ?x3dx，則 a, b, c 的大小關(guān)系是（）C. a= bcD. acb答案 B解析 根據(jù)定積分的幾何意義，易知？x3dx?x2dxbc，故選B.6 .若? a|56x|dxw 2 016，則正數(shù) a的最大值為()A. 6 B . 56 C . 36 D . 2 016答案 A解析 由 2a|56x|dx = 562a|x|dxw 2 016 ,得?a|x|dxw 36,. ?a| x|d x= 2?xdx = a2 36,即00)圖象如圖 ，由定積分的幾何意義知 等于圓心角為120的弓形CED勺面積與矩形 ABCD勺面積之和.1 2S弓形=2 X 3 nXI2卜 1X 1X sinS矩形=| AB 丨BCJ3 1 J3=2X X -,2 2 2二 1 x2dx=才43計匚3、探究與拓展13.已知函數(shù)3X ,x 2, 2)f (X) = ；2x, X 2 , n )QOS x, x n