數(shù)學(xué)模型關(guān)于食用油加工問題論文

1、題目：食用油的加工問題小組成員（學(xué)號(hào)）程美靜（0812211103）許潔尉（0812211137）殷駿偉（0812211140） 上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 理學(xué)院目錄第一部分：問題重述以及分析-（2）第二部分：模型假設(shè)-（2）第三部分：定義與符號(hào)說明-（2-3）第四部分：模型的建立與求解-（3-6） 第五部分：對(duì)模型的分析：-（6-9）第六部分：參考文獻(xiàn)：-（10）第七部分：附錄：-（10-16）第一部分：問題重述：食用油加工問題本次的題目是對(duì)食用油加工的問題分析，通過對(duì)植物油與非植物油這兩種原油的精煉與加工合成所需的成品油提出使公司所得利潤最大的模型求解（總利潤=總收入-成本費(fèi)-存儲(chǔ)費(fèi)）。本題包括了

2、兩個(gè)主要問題：問題1（包含兩個(gè)小問題）：第一小問就原題中的已知條件建立使公司獲得最大利潤的模型：根據(jù)分析可知已知條件為約束條件，求解模型的最大值。即用線性規(guī)劃模型，可以借助lingo工具求解；第二小問就是在第一的問題中又增加了一個(gè)約束條件即公司現(xiàn)在（一月份）存有5種原料油每種500噸，并希望6月底的存貨仍保持如此，即也可用lingo工具求解。問題2：對(duì)各種原油的的價(jià)格作了調(diào)整即每月份的植物油與非植物油的價(jià)格以x%呈線性增長。此問題中最基本的模型未改變只是又借助了matlab工具編程求解，使問題簡便一些。注：在題目中有幾個(gè)關(guān)鍵詞需要說明一下：1. 題中的模型需要用到雙重求和的式子；2. 需要設(shè)雙

3、下標(biāo)的未知量；3. 題目中的原油混合后的硬度的變化需要事先明確；4. 本題中的成品油是所有的原油的混合即為五種油的混合；5. 為了模型求解的而簡化，在加工原油的而過程中必要的而假設(shè)必不可少；所以就以上的幾個(gè)注意事項(xiàng)作出本題的而假設(shè)。第二部分：模型假設(shè)：1. 以一個(gè)月為一個(gè)生產(chǎn)周期；2. 在每個(gè)月月初購買各種原油；3. 精煉過程中沒有原油的損失，并且加工費(fèi)用不計(jì)；4. 成品油要包含五種原油的混合；5. 成品油在生產(chǎn)出來就可售出；6. 在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)每天的生產(chǎn)方法和生產(chǎn)數(shù)量基本相同；7. 各種原油的硬度是根據(jù)線性混合的。第三部分：符號(hào)說明：符號(hào)符號(hào)注釋第j種原油在i個(gè)月份的價(jià)格成品油的售價(jià) 15

4、00元/噸單位存儲(chǔ)費(fèi)用 50元/噸月 第j種原油在i個(gè)月份購買數(shù)量 第j種原油在i個(gè)月份銷售數(shù)量第j種原油i-1月底存儲(chǔ)量作為第j種原油在i月初的數(shù)量第j種原油的硬度i月各種原油的存儲(chǔ)費(fèi)i月成品油的銷售總額第i月初購買各種原油的成本公司在第i月份的利潤第四部分：模型的建立與求解：問題1：模型建立（第一小問），根據(jù)第一部分中的問題分析我們可以知道，公司的總利潤取決于本公司的成品油的銷售額、原油的成本費(fèi)用與原油的存儲(chǔ)費(fèi)用。即（總利潤=成品油的銷售額-原油的成本費(fèi)用-原油的存儲(chǔ)費(fèi)用）。要使公司的利潤達(dá)到最大必須要考慮到這三個(gè)方面的因素。由于成品油的銷售額與銷售價(jià)格和銷售量有關(guān)，而銷售價(jià)格為1500元

5、/噸 為定值，所以銷售額只取決于公司的銷售量，即。對(duì)于原油的成本的計(jì)算，由于每一種原油的價(jià)格不同，所以購買所用的單位成本就不一樣了。即。由于貨物分為已用和剩余兩個(gè)部分，所以存儲(chǔ)費(fèi)也包括了兩部分。對(duì)于剩余量有。至于已用量，根據(jù)假設(shè)6在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)每天的生產(chǎn)方法和生產(chǎn)數(shù)量基本相同，所以其減少量線性變化。所以根據(jù)平均法可以求得。即存儲(chǔ)費(fèi)用等價(jià)引理：如果公司的每個(gè)月服從均勻生產(chǎn)規(guī)律，那么用來精煉油的原料油單位儲(chǔ)存費(fèi)用是儲(chǔ)存整整一個(gè)月原料單位費(fèi)用的0.5。證明：假設(shè)每個(gè)月均勻生產(chǎn)，每個(gè)月一共生產(chǎn)q噸，將儲(chǔ)存量表示為時(shí)間t的函數(shù)q(t)，開始生產(chǎn)時(shí)刻記為t=0，那么在時(shí)刻t=0生產(chǎn)0件，儲(chǔ)存量q(0)=

6、q，q(t)以速率r遞減，直到q(t)=0，如圖1所示qq0 t t （圖1）存儲(chǔ)量的周期生產(chǎn)圖形這樣一來總的綜上所述，可以得到一個(gè)月的利潤表達(dá)式： 由于每個(gè)的情況基本相同，所以我們得到了一個(gè)線性規(guī)劃的模型：max=; st 模型建立（第二小問），根據(jù)題目中所給的已知條件可知，本小問中的使公司獲得最大利潤也是由三個(gè)因素所決定的，取決于本公司的成品油的銷售額、原油的成本費(fèi)用與原油的存儲(chǔ)費(fèi)用。即（總利潤=成品油的銷售額-原油的成本費(fèi)用-原油的存儲(chǔ)費(fèi)用）。此時(shí)的模型也為線性規(guī)劃問題，模型同上，只是根據(jù)條件：公司現(xiàn)在（一月份）存有5種原料油每種500噸，并希望6月底的存貨仍保持如此約束條件有所改變，即

7、線性規(guī)劃模型為：max=; s.t. 第五部分：模型結(jié)果及分析：問題1（1）在公司的月初未存有5種原料油每種500噸情況下的lingo模型結(jié)果：（對(duì)應(yīng)的lingo程序見附錄1）通過結(jié)果可以得知公司利潤的最優(yōu)解為123.6019萬元，詳細(xì)的生產(chǎn)方案如下表：月份原料油購買量（噸）對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響（元/噸）生產(chǎn)量（噸）對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響（元/噸）一月v1v2o1o2o3318.5185122.22220250000118.5185079.62963159.259340.740740250000000二、月v1v2o1o2o300075001505000250159.259340.740740250

8、000118.5185029.62963三月v1v2o1o2o3159.25930002500100187.0370500159.259340.7407402500000059.25926四月v1v2o1o2o30240.7407000100037.0370420025002000025000162.963000五月v1v2o1o2o3159.25930000050327.77785044.44444159.259340.740740250000000六月v1v2o1o2o3159.259340.74070250000518.51850579.6296159.259340.7407402500

9、00000（表一） 無初始存儲(chǔ)量的采購與加工方案表綜上：得到結(jié)論 購買方案與原料油的價(jià)格有關(guān)，盡量購買價(jià)格低的原料油，盡量減少價(jià)格高的原料油的購買量，甚至不買; 盡量在原油價(jià)格過低的時(shí)候購買原料油，以減少原料油的成本費(fèi)用。加工方案中應(yīng)該與原料油的硬度和購買的數(shù)量有關(guān)，在六個(gè)月中即沒有購買也不生產(chǎn)，例如每個(gè)月中的01和03號(hào)原料油，兩種非植物油全不生產(chǎn)。（除5月的特殊點(diǎn)，原因估計(jì)為減少庫存原油以降低儲(chǔ)存成本費(fèi)用）1（2）在公司一月份存有5種原料油每種500噸，并希望6月底的存貨仍保持如此情況下的lingo模型結(jié)果：（對(duì)應(yīng)的lingo程序見附錄2）通過結(jié)果可以得知公司利潤的最優(yōu)解為103.1926

10、萬元，詳細(xì)的生產(chǎn)方案如下表：月份原料油購買量（噸）對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響（元/噸）生產(chǎn)量（噸）對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響（元/噸）一月v1v2o1o2o30000030040025025030022.22222177.7778025000020000二、月v1v2o1o2o3000750045045000250159.259340.74074025000020000三月v1v2o1o2o3000002005001505000200025000020000四月v1v2o1o2o3000002501500200250159.259340.74074025000020000五月v1v2o1o2o30000002

11、00250500159.259340.74074025000020000六月v1v2o1o2o3659.2593540.740707500001000250159.259340.740740250000418.51850329.6296 （表二） 有初始存儲(chǔ)量的采購與加工方案表綜上：得到結(jié)論 購買方案與原料油的價(jià)格有關(guān)，盡量購買價(jià)格低的原料油，盡量減少價(jià)格高的原料油的購買量，甚至不買；盡量在后幾個(gè)月購買原料油，以減少原料油的存儲(chǔ)費(fèi)用。 加工方案中應(yīng)該與原料油的硬度和購買的數(shù)量有關(guān)，在六個(gè)月中即沒有購買也不生產(chǎn)，例如每個(gè)月中的01和03號(hào)原料油，兩種非植物油全不生產(chǎn)。問題2：我們要考慮到原料油的

12、價(jià)格的變化會(huì)影響到采購和加工方案的變化，價(jià)格變化方式如下表：月份123456植物油（x%）非植物油(x%)0012243648510（表三）價(jià)格漲幅表將x從1以1為步長變化到20的對(duì)應(yīng)的最大利潤和最佳的采購及加工方案變化，因?yàn)樵嫌透鶕?jù)x從1以1為步長變化到20的變化即為把原題中原料油的價(jià)格（按照附錄3的matlab程序）快速生成：x利潤(萬元)188.07275.05362.03449.01535.99623.13710.3580.4849-5.66410-10.89x利潤（萬元）11-15.0912-17.5813-19.42514-20.67515-21.12516-21.57517-2

13、2.02518-22.47519-22.92520-23.375（表四）最大利潤隨價(jià)格漲幅的變化表用matlab作出最大利潤隨價(jià)格漲幅的變化的曲線圖如下：（程序見附錄4）（圖二）最大利潤隨價(jià)格漲幅的變化曲線圖結(jié)論：從圖中發(fā)現(xiàn)x=8之前的最大利潤隨x的增大基本是呈線性下降的且利潤為正；而在x8之后利潤變?yōu)樨?fù)數(shù)，原因主要為原料油價(jià)格漲幅過高，導(dǎo)致公司虧損，但最后最大利潤趨于穩(wěn)定。從(附錄3)中可以觀察到二月份購買的原油中部分原油價(jià)格超過了成品油的售價(jià)，所以公司應(yīng)該購買那些價(jià)格較低的原油使的公司的虧損降低。另外x在0到7之間變動(dòng)時(shí)，最大利潤和價(jià)漲幅呈線性關(guān)系，所以在這段區(qū)間上的最大利潤可以用一條直線

14、進(jìn)行計(jì)算而不需要在引入x從而簡化計(jì)算。第六部分：參考文獻(xiàn)：（1） 附錄1中l(wèi)ingo程序參見lingo教程；第七部分：附錄：1.在公司的月初未存有5種原料油每種500噸情況下的lingo模型：model:sets:m/1.6/:; n/1.5/:;ajz(m,n):c,x,y;endsetsdata:c=1100 1200 1300 1100 1150 1300 1300 1100 900 1150 1100 1400 1300 1000 950 1200 1100 1200 1200 1250 1000 1200 1500 1100 1050 900 1000 1400 800 1350;e

15、nddatamax=sum(m(i):sum(n(j):(1825-50*i)*y(i,j)-50*(7-i)*x(i,j)-c(i,j)*x(i,j);for(m(i):y(i,1)+y(i,2)=200);for(m(i):y(i,3)+y(i,4)+y(i,5)=250);for(n(j):x(1,j)=1000);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)=1000);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)=1000);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x

16、(4,j)=1000);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)=1000);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)-y(5,j)+x(6,j)=0);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)=0);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)=0);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,

17、j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)=0);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)-y(5,j)=0);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)-y(5,j)+x(6,j)-y(6,j)=0);for(m(i):(8.8*y(i,1)+6.1*y(i,2)+2*y(i,3)+4.2*y(i,4)+5*y(i,5)-3*(y(i,1)+y(i,2)+y(i

18、,3)+y(i,4)+y(i,5)=0);for(m(i):(8.8*y(i,1)+6.1*y(i,2)+2*y(i,3)+4.2*y(i,4)+5*y(i,5)-6*(y(i,1)+y(i,2)+y(i,3)+y(i,4)+y(i,5)=0);end2.在公司一月份存有5種原料油每種500噸，并希望6月底的存貨仍保持如此情況下的lingo模型：model:sets:m/1.6/:; n/1.5/:;ajz(m,n):c,x,y;endsetsdata:c=1100 1200 1300 1100 1150 1300 1300 1100 900 1150 1100 1400 1300 1000

19、950 1200 1100 1200 1200 1250 1000 1200 1500 1100 1050 900 1000 1400 800 1350;enddatamax=sum(m(i):sum(n(j):(1825-50*i)*y(i,j)-50*(7-i)*x(i,j)-c(i,j)*x(i,j)-750000;for(m(i):y(i,1)+y(i,2)=200);for(m(i):y(i,3)+y(i,4)+y(i,5)=250);for(n(j):sum(m(i):x(i,j)-y(i,j)=0);for(n(j):x(1,j)=500);for(n(j):x(1,j)-y(1

20、,j)+x(2,j)=500);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)=500);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)=500);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)=500);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)-y(5,j)+x(6,j)=0);for(n(

21、j):500+x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)=0);for(n(j):500+x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)=0);for(n(j):500+x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)=0);for(n(j):500+x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)-y(5,j)=0);for(m(i):(8.8*y(i,1)+6.1*y(i,2)+2*y(i,3)+4.2*y

22、(i,4)+5*y(i,5)-3*(y(i,1)+y(i,2)+y(i,3)+y(i,4)+y(i,5)=0);for(m(i):(8.8*y(i,1)+6.1*y(i,2)+2*y(i,3)+4.2*y(i,4)+5*y(i,5)-6*(y(i,1)+y(i,2)+y(i,3)+y(i,4)+y(i,5)=0);end3function =sm()c1=1100 1200 1300 1100 1150;1300 1300 1100 900 1150;1100 1400 1300 1000 950;1200 1100 1200 1200 1250;1000 1200 1500 1100 105

23、0;900 1000 1400 800 1350;c=c1;n=2;m=1;x=1;for x=1:20 for n=2:6 for m=1:5 if m=2 c(n,m)=c(n,m)*(1+(n-1)*x/100); else c(n,m)=c(n,m)*(1+2*(n-1)*x/100); end end end c c=c1;end運(yùn)行結(jié)果：變量x從1以步長1變化直到20的價(jià)格預(yù)測矩陣依次如下：c = 1100 1200 1300 1100 1150 1313 1313 1122 918 1173 1122 1428 1352 1040 988 1236 1133 1272 1272

24、1325 1040 1248 1620 1188 1134 945 1050 1540 880 1485c = 1100 1200 1300 1100 1150 1326 1326 1144 936 1196 1144 1456 1404 1080 1026 1272 1166 1344 1344 1400 1080 1296 1740 1276 1218 990 1100 1680 960 1620c = 1100 1200 1300 1100 1150 1339 1339 1166 954 1219 1166 1484 1456 1120 1064 1308 1199 1416 1416

25、1475 1120 1344 1860 1364 1302 1035 1150 1820 1040 1755c = 1100 1200 1300 1100 1150 1352 1352 1188 972 1242 1188 1512 1508 1160 1102 1344 1232 1488 1488 1550 1160 1392 1980 1452 1386 1080 1200 1960 1120 1890c = 1100 1200 1300 1100 1150 1365 1365 1210 990 1265 1210 1540 1560 1200 1140 1380 1265 1560 1

26、560 1625 1200 1440 2100 1540 1470 1125 1250 2100 1200 2025c = 1100 1200 1300 1100 1150 1378 1378 1232 1008 1288 1232 1568 1612 1240 1178 1416 1298 1632 1632 1700 1240 1488 2220 1628 1554 1170 1300 2240 1280 2160c = 1100 1200 1300 1100 1150 1391 1391 1254 1026 1311 1254 1596 1664 1280 1216 1452 1331

27、1704 1704 1775 1280 1536 2340 1716 1638 1215 1350 2380 1360 2295c = 1100 1200 1300 1100 1150 1404 1404 1276 1044 1334 1276 1624 1716 1320 1254 1488 1364 1776 1776 1850 1320 1584 2460 1804 1722 1260 1400 2520 1440 2430c = 1100 1200 1300 1100 1150 1417 1417 1298 1062 1357 1298 1652 1768 1360 1292 1524

28、 1397 1848 1848 1925 1360 1632 2580 1892 1806 1305 1450 2660 1520 2565c = 1100 1200 1300 1100 1150 1430 1430 1320 1080 1380 1320 1680 1820 1400 1330 1560 1430 1920 1920 2000 1400 1680 2700 1980 1890 1350 1500 2800 1600 2700c = 1100 1200 1300 1100 1150 1443 1443 1342 1098 1403 1342 1708 1872 1440 136

29、8 1596 1463 1992 1992 2075 1440 1728 2820 2068 1974 1395 1550 2940 1680 2835c = 1100 1200 1300 1100 1150 1456 1456 1364 1116 1426 1364 1736 1924 1480 1406 1632 1496 2064 2064 2150 1480 1776 2940 2156 2058 1440 1600 3080 1760 2970c = 1100 1200 1300 1100 1150 1469 1469 1386 1134 1449 1386 1764 1976 15

30、20 1444 1668 1529 2136 2136 2225 1520 1824 3060 2244 2142 1485 1650 3220 1840 3105c = 1100 1200 1300 1100 1150 1482 1482 1408 1152 1472 1408 1792 2028 1560 1482 1704 1562 2208 2208 2300 1560 1872 3180 2332 2226 1530 1700 3360 1920 3240c = 1100 1200 1300 1100 1150 1495 1495 1430 1170 1495 1430 1820 2080 1600 1520 1740 1595 2280 2280 2375 1600 1920 3300 2420 2310 1575 1750 3500 2000 3375c = 1