專題二：動(dòng)力學(xué)臨界極值問題

1、專題二：動(dòng)力學(xué)中的臨界極值問題1當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)時(shí)必然有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，這個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)叫做臨界狀態(tài)；在 臨界狀態(tài)時(shí)必須滿足的條件叫做臨界條件用變化的觀點(diǎn)正確分析物體的受力情況、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化情況，同時(shí) 抓住滿足臨界值的條件是求解此類問題的關(guān)鍵.2 臨界或極值條件的標(biāo)志(1) 有些題目中有“剛好”、“恰好”、“正好”等字眼，明顯表明題述的過程存在著臨界點(diǎn)；(2) 若題目中有“取值范圍”、“多長(zhǎng)時(shí)間”、“多大距離”等詞語，表明題述的過程存在著“起止點(diǎn)”，而這 些起止點(diǎn)往往就是臨界狀態(tài)；(3) 若題目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明題述的過程存在著極值，

2、這個(gè)極值點(diǎn)往 往是臨界點(diǎn)；(4) 若題目要求“最終加速度”、“穩(wěn)定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度.3動(dòng)力學(xué)中的典型臨界條件(1) 接觸與脫離的臨界條件：兩物體相接觸或脫離，臨界條件是：彈力Fn= 0.(2) 相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件：兩物體相接觸且處于相對(duì)靜止時(shí)，常存在著靜摩擦力，則相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是： 靜摩擦力達(dá)到最大值.(3) 繩子斷裂與松馳的臨界條件：繩子所能承受的張力是有限度的，繩子斷與不斷的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力，繩子松馳的臨界條件是：Ft= 0.(4) 加速度變化時(shí)，速度達(dá)到最大的臨界條件：當(dāng)加速度變化為a= 0時(shí).【例1如圖所示，質(zhì)量為 m 1 kg的物

3、塊放在傾角為 e = 37的斜面體上，斜面體質(zhì)量為 M= 2 kg，斜面體與物 塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 口=，地面光滑，現(xiàn)對(duì)斜面體施一水平推力 F,要使物塊 m相對(duì)斜面靜止，試確定推力 F的取 值范圍.(sin 37 =, cos 37 =, g= 10 m/s 2)【例2 如圖所示，物體 A疊放在物體 B上，B置于光滑水平面上， A B質(zhì)量分別為 m = 6 kg ,2 kg , A B之間的動(dòng)摩擦因數(shù) 口=,開始時(shí)F= 10 N，此后逐漸增加，在增大到45 N的過程中，貝U ()AFBA. 當(dāng)拉力F12 N時(shí)，物體均保持靜止?fàn)顟B(tài)B. 兩物體開始沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)拉力超過12 N時(shí)，開始相對(duì)運(yùn)動(dòng)C

4、. 兩物體從受力開始就有相對(duì)運(yùn)動(dòng)D. 兩物體始終沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)質(zhì)疑與反思：(1) 、若 m=2Kg, m=6Kg，則:B. 口 mgD. 3口 mg變式訓(xùn)練3光滑水平面上并排放置質(zhì)量分別為m= 2 kg、m= 1 kg的兩物塊,=2 N、F2= （4 2t） N，方向如圖所示.則兩物塊分離的時(shí)刻為（）A. 1 sB. sC. 2 sD.st = 0時(shí)刻同時(shí)施加兩個(gè)力，其中（2）、若F作用于B物體，則：【變式訓(xùn)練如圖所示，光滑水平面上放置質(zhì)量分別為m 2m和 3m的三個(gè)木塊，其中質(zhì)量為 2m和3m的木塊間用一不可伸長(zhǎng)的輕繩相連，輕繩能承受的最大拉力為 Ft.現(xiàn)用水平拉力F拉質(zhì)量為3m的木塊，使三個(gè)

5、木塊以同一加速度運(yùn)動(dòng)，則以下說法正確的是 （）A. 質(zhì)量為2m的木塊受到四個(gè)力的作用B. 當(dāng)F逐漸增大到Ft時(shí)，輕繩剛好被拉斷C. 當(dāng)F逐漸增大到時(shí)，輕繩還不會(huì)被拉斷D. 當(dāng)輕繩剛要被拉斷時(shí)，質(zhì)量為m和2m的木塊間的摩擦力為 Ft【變式訓(xùn)練2】如圖所示，水平桌面光滑，A、B物體間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 口 （可認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力），A物體質(zhì)量為2m, B和C物體的質(zhì)量均為 m滑輪光滑，砝碼盤中可以任意加減砝碼在保持A、B、C三個(gè)物體相對(duì)靜止共同向左運(yùn)動(dòng)的情況下，BC間繩子所能達(dá)到的最大拉力是 （）1A. 2 口 mgC. 2口 mgs時(shí)間內(nèi)，F(xiàn)為變力，s以后，F(xiàn)為m= 4 kg的物塊P,

6、Q為一重物,【變式訓(xùn)練4：一彈簧一端固定在傾角為37的光滑斜面的底端，另一端拴住質(zhì)量為已知Q的質(zhì)量為8 kg，彈簧的質(zhì)量不計(jì)，勁度系數(shù)k= 600 N/m ,系統(tǒng)處于靜止，如圖所示.現(xiàn)給Q施加一個(gè)方向沿斜面向上的力 F,使它從靜止開始沿斜面向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，已知在前 恒力，求：力 F的最大值與最小值.（sin 37 =, g= 10 m/s 2）1當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)時(shí)必然有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，這個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)叫做臨界狀態(tài)；在 臨界狀態(tài)時(shí)必須滿足的條件叫做臨界條件用變化的觀點(diǎn)正確分析物體的受力情況、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化情況，同時(shí) 抓住滿足臨界值的條件是求解此類問題的關(guān)鍵.2 臨界或極值

7、條件的標(biāo)志(1) 有些題目中有“剛好”、“恰好”、“正好”等字眼，明顯表明題述的過程存在著臨界點(diǎn)；(2) 若題目中有“取值范圍”、“多長(zhǎng)時(shí)間”、“多大距離”等詞語，表明題述的過程存在著“起止點(diǎn)”，而這些起止點(diǎn)往往就是臨界狀態(tài)；(3) 若題目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明題述的過程存在著極值，這個(gè)極值點(diǎn)往往是臨 界點(diǎn)；(4) 若題目要求“最終加速度”、“穩(wěn)定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度.3動(dòng)力學(xué)中的典型臨界條件(1)接觸與脫離的臨界條件：兩物體相接觸或脫離，臨界條件是：彈力Fn= 0.(2) 相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件：兩物體相接觸且處于相對(duì)靜止時(shí)，常存在著靜摩擦力，

8、則相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是： 靜摩擦力達(dá)到最大值.(3) 繩子斷裂與松馳的臨界條件：繩子所能承受的張力是有限度的，繩子斷與不斷的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力，繩子松馳的臨界條件是：Ft= 0.(4) 加速度變化時(shí)，速度達(dá)到最大的臨界條件：當(dāng)加速度變化為a= 0時(shí).【例1：如圖所示，質(zhì)量為 vm= 1 kg的物塊放在傾角為 9 = 37的斜面體上，斜面體質(zhì)量為 M= 2 kg，斜面體與物 塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 口=，地面光滑，現(xiàn)對(duì)斜面體施一水平推力 F,要使物塊 m相對(duì)斜面靜止，試確定推力 F的取2值范圍.(sin 37 =, cos 37 =, g= 10 m/s )審題指導(dǎo) 此題有兩

9、個(gè)臨界條件：當(dāng)推力F較小時(shí)，物塊有相對(duì)斜面向下運(yùn)動(dòng)的可能性，此時(shí)物塊受到的摩擦力沿斜面向上；當(dāng)推力f較大時(shí)，物塊有相對(duì)斜面向上運(yùn)動(dòng)的可能性，此時(shí)物塊受到的摩擦力沿斜面向下找準(zhǔn)臨界狀態(tài)是求解此題的關(guān)鍵.解析 (1)設(shè)物塊處于相對(duì)斜面向下滑動(dòng)的臨界狀態(tài)時(shí)的推力為F1,此時(shí)物塊受力分析如F住A、B質(zhì)量分別為m = 6 kg , m= 2 kg , A、B之45 N的過程中，貝U ()圖所示，取加速度的方向?yàn)閤軸正方向.對(duì)物塊， 水平方向有 FNsin 9 口FnCos 9 = ma 豎直方向有 Fncos 9 + 口FNsin 9 mg= 0 對(duì)M m整體有F1 = ( M m)a1 代入數(shù)值得：a

10、1 = m/s 2, F = NF2,對(duì)物塊受力分析如圖，在水平方向有(2)設(shè)物塊處于相對(duì)斜面向上滑動(dòng)的臨界狀態(tài)時(shí)的推力為FN sin 9 + Fn cos 9 = ma 豎直方向有 FN cos 9 Fn sin 9 mg= 0 對(duì)整體有F2=(俯m a2 代入數(shù)值得a2= m/s 2, F2= N 綜上所述可知推力 F的取值范圍為：N F N答案N F N【例2 如圖所示，物體 A疊放在物體 B上，B置于光滑水平面上,間的動(dòng)摩擦因數(shù) 口=,開始時(shí)F= 10 N，此后逐漸增加，在增大到A. 當(dāng)拉力F48 N時(shí)，A、B才會(huì)開始相對(duì)運(yùn)動(dòng)，故選項(xiàng) A、B、C錯(cuò)誤，D正確.質(zhì)疑與反思:(1)、若 m

11、=2Kg, m=6Kg，則:、若F作用于B物體，則:【變式訓(xùn)練1：如圖所示，光滑水平面上放置質(zhì)量分別為m 2m和 3m的三個(gè)木塊，其中質(zhì)量為2m和3m的木塊間用一不可伸長(zhǎng)的輕繩相連，輕繩能承受的最大拉力為 Ft.現(xiàn)用水平拉力F拉質(zhì)量為3m的木塊，使三個(gè)木塊以同一加速度運(yùn)動(dòng)，則以下說法正確的是 ()A.質(zhì)量為2m的木塊受到四個(gè)力的作用B.當(dāng)F逐漸增大到Ft時(shí)，輕繩剛好被拉斷C.當(dāng)F逐漸增大到時(shí)，輕繩還不會(huì)被拉斷D.當(dāng)輕繩剛要被拉斷時(shí)，質(zhì)量為m和2m的木塊間的摩擦力為 FtmFr i2mnJ 釧JT.m答案 C解析 質(zhì)量為2m的木塊受重力、地面的支持力、輕繩的拉力、木塊m的壓力和摩擦力五個(gè)力作用，

12、 選項(xiàng)A錯(cuò)誤； 當(dāng)輕繩達(dá)到最大拉力 Ft時(shí)，對(duì)m和2m整體，F(xiàn)t= 3ma再對(duì)三個(gè)木塊整體， F= ( m+ 2m+ 3m) a，得到F= 2Ft,選1項(xiàng)B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)木塊 m由Ff = ma得到Ff = -Ft，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.3【變式訓(xùn)練2】如圖所示，水平桌面光滑，A、B物體間的動(dòng)摩擦因數(shù)為1 (可認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)，A物體質(zhì)量為2m B和C物體的質(zhì)量均為 m滑輪光滑，砝碼盤中可以任意加減砝碼在保持A、B、C三個(gè)物體相對(duì)靜止共同向左運(yùn)動(dòng)的情況下，BC間繩子所能達(dá)到的最大拉力是 ()C. 2 i mg答案 B解析因桌面光滑，當(dāng) A應(yīng)是最大靜摩擦力 2 i mg 正確.IB C三

13、者共同的加速度最大時(shí)， Fb= ma才能最大.這時(shí)，A、B間的相互作用力 Fab 對(duì) BC整體來講：Fab= 2 1 mg= ( m+ m) a= 2ma a= ig,所以 Fbc= ma= 1 mg 選項(xiàng) BD. 3 i mg變式訓(xùn)練3光滑水平面上并排放置質(zhì)量分別為m= 2 kg、m= 1 kg的兩物塊,t = 0時(shí)刻同時(shí)施加兩個(gè)力，其中F=2 N、F2= (4 2t) N，方向如圖所示.則兩物塊分離的時(shí)刻為()A. 1B. sC. 2 sD.s答案解析F= 0,【變式訓(xùn)練D兩物塊未分離時(shí)，設(shè) m與m之間的作用力為 F,對(duì)m： F- Fi= ma; 即有：Fi= ma, F2= ma.代入數(shù)

14、據(jù)得t = s，選項(xiàng)D正確.4一彈簧一端固定在傾角為 37的光滑斜面的底端，另一端拴住質(zhì)量為對(duì)m： F2- F= ma.兩個(gè)物塊分離時(shí)，m= 4 kg的物塊P, Q為一重物,Q施加一個(gè)已知Q的質(zhì)量為m= 8 kg，彈簧的質(zhì)量不計(jì)，勁度系數(shù)k= 600 N/m ,系統(tǒng)處于靜止，如圖所示.現(xiàn)給方向沿斜面向上的力 F,使它從靜止開始沿斜面向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，已知在前s時(shí)間內(nèi)，F(xiàn)為變力，s以后，F(xiàn)為恒力，求：力 F的最大值與最小值.(sin 37 =, g= 10 m/s 解析從受力角度看，兩物體分離的條件是兩物體間的正壓力為 時(shí)，兩物體在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等.設(shè)剛開始時(shí)彈簧壓縮量為 X。則(m+ m) gsin