2011考研數(shù)二真題及解析

1、(A)k 1,c 4 .(B) k 1,c(C)k 3,c4 .(D)已知f x在x 0處可導(dǎo)，且f0，則limx 0x2f x 2f x3x3-=()2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題(18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一 個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.)(1)已知當x 0時，f X3sinx sin3x與cxk是等價無窮小，則精品文檔23(A)2f 0 .(B)f 0 (C)f 0 (D) 0函數(shù)f(x) In(x1)(x2)(x3)的駐點個數(shù)為()(A) C)(B) 1(C) 2(D) 3微分方程y2yx

2、eX/e (0)的特解形式為()(A)/ xXa(e e ).(B)ax(e xXe ) (C)x(ae x be x)(D)2/x (aex be x) 設(shè)函數(shù)f(x), g(x)均有二1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足f(0)0, g(0)0,且f(0) g(0) 0，(8)設(shè) A (則函數(shù)z f (x)g(y)在點(0,0)處取得極小值的一個充分條件是(A)f (0)0,g (0)0.(B)f (0)0, g (0)0.(C)f (0)0, g (0)0.(D)f (0)0, g (0)0.(6)設(shè)104|n sinxdx，J04 ln cotxdx,K4 In cosx dx，則 I , J , K

3、的大0小關(guān)系是()(A)I JK (B)IKJ (C)JI K (D)K J I (7)設(shè)A為3階矩陣，將A的第2列加到第1列得矩陣:B，再交換B的第2行與第310 01 00行得單位矩陣，記P 11 0,P20 01，則A ()00 10 10(A)RP2 (B)p1P2(C)P2P(D)P2P1 1 4)是4階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，若(1,0,1,0)T是方程組13 IAx 0的一個基礎(chǔ)解系，則 A*x 0的基礎(chǔ)解系可為()(A)1,3.(B)(C)(D)二、填空題(914小題，每小題4分，共24 分.請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)(10)微分方程Xcosx滿足條件y(0)0的

4、解為(11)曲線yX0tantdt(0 X )的弧長4(12)設(shè)函數(shù)f (x)X,X 0,0,x 0,0,則xf (x)dx(13)設(shè)平面區(qū)域D由直線yX,圓X2y及y軸圍成，則二重積分xydD(14)二次型 f(X1,X2,X3)x2 3x；2X1X32X2X3，貝y f的正慣性指數(shù)為.三、解答題(1523小題,共 94 分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)已知函數(shù)F(x)X0叩t2)dt(16)(本題滿分aX11分)，設(shè)limXF(x) lim F(x) 0,試求a的取值范圍.X 0設(shè)函數(shù)y y(x)由參數(shù)方程丄t331t33

5、13確定，求y y(x)的極值和曲線13,y y(x)的凹凸區(qū)間及拐點.(17)(本題滿分9分)設(shè)函數(shù)z f (xy, yg(x)，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)且在x 1處取得極值2g(1)1，求X y(18)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)y(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線l : y y(x)與直線x相切于原點，記為曲線I在點(X, y)處切線的傾角，若dx巴，求y(x)的表達式.dx(19)(本題滿分10分)(I)證明：對任意的正整數(shù)n,1 1 都有丄 ln(1丄) n 1n成立.1(II)設(shè) an 1 L2(20)(本題滿分11分)一容器的內(nèi)側(cè)是由x2 1 y2 2y(y 12)與

6、x2(I) 求容器的容積；ln n (n 1,2,L )，證明數(shù)列an收斂.中曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲線由y21(y1)連接而成的.(II) 若將容器內(nèi)盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功?(長度單位:重力加速度為gm / s2，水的密度為103kg/m3).222cx y 2y11-1O1 1x(1,2,3)t ,3y21圖10 , f (x,1)0 , f(x, y)dxdyDxyfxy(x, y)dxdy.(21)(本題滿分11分)已知函數(shù)f (x, y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f (1,y)其中D (x,y)|0 x 1,0 y 1 ,計算二重積分(22)(本題滿分11

7、分)設(shè)向量組 1(1,0,1)T, 2(0,1,1)T, 3(1,3,5)T，不能由向量組1 (1,1,1T ,(3,4,a)T線性表示.(I)求a的值;(II)將1， 2,1， 2,3線性表示.(23)(本題滿分11分)(I) 求A的特征值與特征向量;(II) 求矩陣A .2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答案一、選擇題(18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一 個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.)(1)【答案】(C).F屈R卡匚、用出，-3sin x sin 3x 【解析】因為limx 0k exlim 3sin x sinx

8、eos2x eosxsin2xx 0k exsinx 3 eos2x limx 022eos xk ex3 eos2x 2eos2 x limx 0exk 13 2eos2 x 12eos2 xlimx 0k 1 exlim 4x 04eos2 xex4si n2x limX 0 exk 1x3x2f x x2f 0 lim2f x3 2f 03xf x f 0 limx0 2f2f故答案選(B) (3)【答案】(C) 【解析】f(x) InInf(x)匕x 13x212x令 f (X)0，得 x1,2(4)【答案】(C) x3 f 03x111)(x 2)(x 3)In x 33，故f (x

9、)有兩個不同的駐點.3【解析】微分方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為r20,解得特征根r,2所以非齊次方程y有特解yi非齊次方程y有特解y x b e故由微分方程非齊次方程xxe e 可設(shè)特解y x(aex be x).(5)【答案】(A) 【解析】由題意有f (x)g(y),-f(x)g(y) y所以,0,0又因為2z2x所以,2zf (0)g(0)(x)g(y),0,0f(0)g (0)0，即f (x)g(y)，0,0點是可能的極值點.2W g (y)f(x)， yx2 血f(0)g(0)，2zB|(0,0)x yf (0) g(0)0,2C -4 l(0,0)f (0) g (0)，y根據(jù)題

10、意由0,0為極小值點，可得AC B2 A C 0,且 A f (0) g(0) 0,所以有C f(0) g (0)0.由題意 f (0)0,g(0)0，所以 f (0)0, g (0)0，故選(A).(6)【答案】(B) 【解析】因為0 x 時，4又因In X是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以 故正確答案為(B) 【答案】(D) 【解析】由于將 A的第2列加到第sin xInsin即 APi B，A BR I由于交換即F2Bcosx 1 cot X ,X In cos X In cot x 列得矩陣B，故B的第2行和第3行得單位矩陣,E,故 B P21 P2 因此,(8)【答案】(D) 【解析】由于(1,

11、0,1,0)T是方程組 Axr(A) 4 13，即 13A(4) O,這說明P2F1，故選(D) 0的一個基礎(chǔ)解系，所以A(1,0,1,0)t 0，且A 0 由此可得A*A | A|E4是A x 0的解.由于 r (A) 3 ,134線性無關(guān).又由于r(A)3，所以r(A*)1，因此A*x 0的基礎(chǔ)解系中含有3個線性無關(guān)的解向量而2, 3,性無關(guān)，且為A*x 0的解，所以4可作為A*x 0的基礎(chǔ)解系，故選(D) 二、填空題(914小題，每小題4分，共24分.請將答案寫在答題紙 指定位置上.(9)【答案】42 【解析】原式=exim0(T 1)xlim 2_1 ex 0 2xlim 25 2ex

12、 0 2e1ln2V2 (10)【答案】y eXsinx .【解析】由通解公式得dx(excosx edxdx C)由于(11)所以(12)y(0)0,故 C=0 .所以【解析】選取x為參數(shù),x( cosxdx C)x(sinx C).y e Xsin X .則弧微元ds &ys 04 secxdx ln secx【答案】【解析】原式xdx(13)【答案】【解析】原式(14)【答案】【解析】方法xxelimx12jd42 sin44sin662.1：二次型f對應(yīng)矩陣為2sincos42dxtan2 xdx secxdxtanxIO4 ln(1 72) xdxlimxr cosxde xlimx

13、1ee0r sinrdr2 r cos7sin2sinr3dr1 16sin4122 4cos sin5 d42 sin5 dsin4的正慣性指數(shù)為所對應(yīng)矩陣的特征值中正的個數(shù).故 10, 21, 34 .因此f的正慣性指數(shù)為2 方法2:f的正慣性指數(shù)為標準形中正的平方項個數(shù).Xi,X2,X32X13x22X32X22X1X32X2X32222 2X1X2X3X22X2X3X3 3X2 X32-2X1X2X32X2,2X2X3y1令y2X2,y3X3,X2X3,則f2y；，故f的正慣性指數(shù)為2.(1523小題,字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分三、解答題10分)94分.請將解答寫在

14、答題紙指定位置匕解答應(yīng)寫出文【解析】如果alimX0ln(1t2)dtlimX0ln(1t2)dt1 1 100 01311311321 1 11 1 11 1 2顯然與已知矛盾, 當lim -X 0x2ln(1 t2)dtlimX 0ln(1X2)axa 1limX 02Xa 1axlim -X 0 a所以3又因為x2ln(1 t2)dtlimXln(1 X2)a 1ax2x1 X2a 2limx a(a 1)xa(a 1)Xim 13 aX2X所以3(16)(【解析】2，即 a 1 , 本題滿分11分)dy 因為y (x) 址dX dt綜合得1 a 3.t2 1t2 1y (x)層)1dt

15、2t(t2 1) (t2 1) 2t4t令y(x) 0得t1時，x(x)0 得 t10時，x 一，此時3所以曲線的凸區(qū)間為(17)(本題滿分9分)【解析】zf xy,yg(x)f1 xy, yg(x)dxd?(t21)2此時此時0 ；當t，凹區(qū)間為所以所以y f2 xy, yg(x)1為極小值.31為極大值.1 1，拐點為(-,-).3 3yg (x)f1 xy,yg(x)y f11(xy, yg(x)x fxy, yg(x)g(x)g (x) f2 xy,yg(x) yg (x) fxy, yg(x) x f22xy, yg(x)g(x).因為g(x)在x 1可導(dǎo)，且為極值 所以g (1)0

16、,則f1(1,1) f11(1,1) f12(1,1).吐Idxdy y 1 (18)(本題滿分10分)【解析】由題意可知當 x 0時，y 0,y(0)1，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得y tan即arcta n y，由題意-d-dxarctan ydydx，即y p，則dx ,即dp PdpPdx,ln|p|如(P2 1)2x c1，即1ce 2x 11，代入得c 2,所以 y則 y(x)y(0)x dt0 屁e2t1x edtarcsin |0x.earcsin-=72 4又因為y(0)0,所以y(x)arcsin 亞 ex(19)(本題滿分10分)【解析】(I )設(shè) f X In 1顯然f(x)在1

17、0,丄 上滿足拉格朗日的條件, n所以結(jié)論得證.In 11 In1nIn0,1n時,(II )設(shè)an先證數(shù)列anan 1an亦即:In即:In單調(diào)遞減.In利用(I )的結(jié)論可以得到InInInIn(11-)，所以nIn0得到anan，即數(shù)列an單調(diào)遞減.再證數(shù)列 an有下界.anIn nnIn1In n ,nInk 1InIn4L3In n 1 ,anIn nInk 1In nInIn n 0 -得到數(shù)列an有下界.利用單調(diào)遞減數(shù)列且有下界得到an收斂.(20)(【解析】本題滿分11分)(I)容器的容積即旋轉(zhuǎn)體體積分為兩部分VV1V22yy2 dy1 y2 dy3 y_3(II) 所做的功為

18、dwg(2y)(1y2)dyg(2y)(2y y2)dy1左 y)(1 y)dy1：(y32y22)dy24y 4y)dy2 2y1 (2y)(2 y y )dy22222y1212y24y322y 2131214131g222124 y427 103 F g3375g.(21)(本題滿分11分)【解析】因為f(x,1)0，f(1,y)0,所以 fx(x,1)1I xdx01xdx010yfxy(x, y)dyyfx x, y Io1xdx010 fx(x, y)dy10dy11xdx ydfx(x, y)00xx x, y dy10dy1f(1,y)0f(x,y)dx（22）（本題滿分11分）【解析】(I)由于1, 2,3不能由等行變換:3)當a 5時,r(1,3不能由(II)對(1,2,（23）（本題滿分11110xdx fx(x,1)0 fx(x,y)dy1110xfx(x, y)dx0dy xf (x, y)