二項(xiàng)式定理典型例題

1、高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理練習(xí)題n11. 在二項(xiàng)式 x 的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有有理24 x項(xiàng)分析： 本題是典型的特定項(xiàng)問題，涉及到前三項(xiàng)的系數(shù)及有理項(xiàng)，可以通過抓通項(xiàng)公 式解決解： 二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為：r1Tr 1 Crn( x)n r 4124 xCrn2 n 3r1r x2n43r2前三項(xiàng)的 r 0,1,2.得系數(shù)為： t1 1,t2 C1n 11n,t3C nn(n 1) ，22n 4 8由已知： 2t 2 t1 t3 n11n(n1)，8通項(xiàng)公式為r 1 16 43rTr 1 C8r r x 4 r 0,1,2 8,Tr 1為有理項(xiàng)，故 16 3r是

2、 4的倍數(shù)，r 1 8 2r r 1 r 0,4,8.依次得到有理項(xiàng)為 T1x , T5C814x 35 x,T9C8 18 x1 x1 5824 8 9 8 28256說明：本題通過抓特定項(xiàng)滿足的條件， 利用通項(xiàng)公式求出了 r 的取值，得到了有理項(xiàng) 類 似地， ( 2 3 3)100 的展開式中有多少項(xiàng)是有理項(xiàng)？可以通過抓通項(xiàng)中 r 的取值，得到共有 系數(shù)和為 3n 3 10 5 1 62. ( 1)求 (1 x)3(1 x)10展開式中 x5的系數(shù)；(2)求(x2)6展開式中的常數(shù)項(xiàng)x分析： 本題的兩小題都不是二項(xiàng)式展開，但可以轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開的問題，( 1)可以視為兩個(gè)二項(xiàng)展開式相乘；

3、(2)可以經(jīng)過代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解：(1)(1 x)3(1 x)10 展開式中的 x5可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項(xiàng)：用 (1 x)3展開式中的常數(shù)項(xiàng)乘以(1 x)10 展開式中的 x5項(xiàng)，可以得到 C150 x5 ；用(1 x)3展開式中的一次項(xiàng)乘以 (1 x)10 展開式中的 x4項(xiàng)可得到 ( 3x)(C140x4) 3C140 x5 ；用 (1 x)3中的 x2乘以 (1 x)10 展開式中的32x3 可得到 3x2x3 項(xiàng)乘以 (1 x)10 展開式中的 x2 項(xiàng)可得到3 2 2 3x C10xC120x5，合并同類項(xiàng)得 x5 項(xiàng)為：(C150 C140 3C130C10

4、 )x63x5 2) x2x11 (xx2)5121x由x12展開式的通項(xiàng)公式 Tr1 C1r2 ( 2)12C1r2x6 r ，可得展開式3 3 3 5C10x 3C10x ；用 (1 x) 中的的常數(shù)項(xiàng)為 C162 924 說明： 問題( 2)中將非二項(xiàng)式通過因式分解轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解決這時(shí)我們還可以通過 合并項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開的問題來解決3. 求 (1 x x2)6 展開式中 x5 的系數(shù)分析： (1 x x262)6 不是二項(xiàng)式，我們可以通過 12 2 2x x2 (1 x) x2 或1 (x x2)把它看成二項(xiàng)式展開解： 方法一： (1x26 x)(126x) x(1x6)6(1x)5x

5、 2 15(1x)4x4其中含 x5 的項(xiàng)為C56x56C355 x15C14x56x5含 x5 項(xiàng)的系數(shù)為6方法二： (1 x26 x)1(x26 x)21 6(x x2)15(x22 x)2230(x x2 )315(x其中含 x5 的項(xiàng)為20(3)x515(4)x5 6x5 6x x5 項(xiàng)的系數(shù)為652 4 2 5 2 6 x2 )4 6(x x2)5 (x x2)6方法 3：本題還可通過把 (1 x x2)6看成 6 個(gè)1 x x2相乘，每個(gè)因式各取一項(xiàng)相乘 可得到乘積的一項(xiàng)， x5項(xiàng)可由下列幾種可能得到 5 個(gè)因式中取 x，一個(gè)取 1 得到 C65x53 個(gè)因式中取 x ，一個(gè)取2x

6、2 ，兩個(gè)取1 個(gè)因式中取 x ，兩個(gè)取x 2 ，三個(gè)取合并同類項(xiàng)為 (C56 C 63C13C16C52)x5124.求證：(1) C1n 2C2nnCnn(2) Cn0 1C1n 1C2n1Cnnn n2n1；3 1 3 21 得到 C63 C13x3 ( x2) 1 2 2 21 得到 C16 C25x ( x2)2 6x5，x5 項(xiàng)的系數(shù)為 6(2n 1 1) n1從而使用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)Cn0 C1n C 2nCnn2n解：(1)kCknk!(nn!k)!(kn!1)! (n k)!(n 1)!nCkn 11(k 1)! (n k)!左邊 nC 0n 1nCn 1nCnn 11n(C0

7、nC1n 1Cnn 11)n 2n 1 右邊2)k1CknCn1n1k1n!n!k!(n k )!(k 1)! (nk)!1n1(n(k 1)! (n1)!k)!Ckn111n11 C1n 1 C n 1 n1 1 (C1n 1 n1說明： 本題的兩個(gè)小題都是通過變換轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式系數(shù)之和，再用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)左邊C2n1C2nCnn11)Cn1Cn1n1(2n 11) 右邊分析： 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上是組合數(shù)的性質(zhì)，我們可以用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)來證 明一些組合數(shù)的等式或者求一些組合數(shù)式子的值 解決這兩個(gè)小題的關(guān)鍵是通過組合數(shù)公式 將等式左邊各項(xiàng)變化的等數(shù)固定下來，求解 此外，有些組合數(shù)的式子可

8、以直接作為某個(gè)二項(xiàng)式的展開式，但這需要逆用二項(xiàng)式定理才能完成，所以需仔細(xì)觀察，我們可以看下面的例子：求29 C1100 28 C190 27 C18022C120 10 的結(jié)果仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù) 的式與(1 2)10 的展開式接近，但要注意：(1 2)10 C100 C1102 C10229 9 10 10C10 2 C10 21 2 1022C1209 9 10 102 C10 2 C 101 2(102C108 9 9 102 C10 2 C10 )從而可以得到： 10 2C12028C190 29C1100 1(310 1) 25. 利用二項(xiàng)式定理證明： 32n 2 8n 9 是

9、64 的倍數(shù)分析： 64是 8 的平方，問題相當(dāng)于證明 32n 2 8n 9是82的倍數(shù)，為了使問題向二項(xiàng)式定理貼近，變形 32n 2 9n 1 (8 1)n 1 ，將其展開后各項(xiàng)含有 8k，與 82的倍數(shù)聯(lián)系起來解： 32n 2 8n 99n18n9 (81)n 18n 98n1C1n8nCnn11 82 C nn1 8 1 8n 98n 1C1n 18nCnn 1182 8(n1) 1 8n 98n1C1n 18nCnn 1182(8n 1C1n 18nCnn 11) 64 是 64 的倍數(shù)說明： 利用本題的方法和技巧不僅可以用來證明整除問題，而且可以用此方程求一些 復(fù)雜的指數(shù)式除以一個(gè)數(shù)

10、的余數(shù)108. 若將 (x y z)10展開為多項(xiàng)式，經(jīng)過合并同類項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為()A 11B33C 55D6610 10分析： (x y z)10看作二項(xiàng)式 (x y) z10 展開解： 我們把 x y z看成 (x y) z，按二項(xiàng)式展開，共有 11“項(xiàng)”，即1010 10 k 10 k k(x y z) (x y) zC10(x y) z k0這時(shí)，由于“和”中各項(xiàng) z的指數(shù)各不相同，因此再將各個(gè)二項(xiàng)式 (x y)10 k 展開，不同的乘積 C1k0 ( x y)10 k zk (k 0,1, ,10 )展開后，都不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng)面，再分別考慮每一個(gè)乘積k 10 k kC1k0 ( x y

11、)10 k zk (k 0,1,10)其中每一個(gè)乘積展開后的項(xiàng)數(shù)由 (x y)10 k 決定， 而且各項(xiàng)中 x和 y 的指數(shù)都不相同，也不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng) 故原式展開后的總項(xiàng)數(shù)為 11 10 9 1 66 ， 應(yīng)選 D9. 若 x的展開式的常數(shù)項(xiàng)為 20 ，把三項(xiàng)化為后寫出通項(xiàng)，解：當(dāng)2n1x ；當(dāng)x 0 時(shí)，同理 x( 1)nx2n然令含 x的冪指數(shù)為零，進(jìn)而解出 n x 0時(shí) x 1 2 nx2n1x ，其通項(xiàng)為Tr 1 C2rn( x)2n r ( 1x)r ( 1)rC2rn( x)2n 2令 2n 2r 0 ，得 n r ， 展開式的常數(shù)項(xiàng)為 ( 1)nC2nn ；當(dāng) x 0 時(shí)，x12

12、x( 1)nx2n同理可得，展開式的常數(shù)項(xiàng)為 ( 1) nC2nn令 ( 1)n C2nn無論哪一種情況，常數(shù)項(xiàng)均為 ( 1) nC2nn20，以 n 1,2 ,3, ，逐個(gè)代入，得 n 31 1010. x 3 的展開式的第 3項(xiàng)小于第 4 項(xiàng)，則 x的取值范圍是 3x分析： 首先運(yùn)用通項(xiàng)公式寫出展開式的第 3項(xiàng)和第 4 項(xiàng)，再根據(jù)題設(shè)列出不等式即可10解：使 x1 有意義，必須 x 0 ；3x23依題意，有 T3 T4 ，即 C10( x) 31C10 ( x) 313 x 3 x10 9 x 10 9 8 31 ( x 0)2 1 3 2 1 3 x解得0 x 985 6488 x 的取

13、值范圍是 x 0 x 5 6489應(yīng)填：0 x 85 648911. 已知 (xlog2x1)n 的展開式中有連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為123 ，這三項(xiàng)是第幾項(xiàng)？若展開式的倒數(shù)第二項(xiàng)為 112，求 x 的值解 ： 設(shè)連 續(xù) 三項(xiàng) 是 第 k 、 k 1 、 k 2 項(xiàng)N 且 k 1 )， 則 有Cnk 1CnkCnk 1 123 ，n!即(k 1)( n k 1)!n!k ! (n k) !n!123(n k )(n k 1)(nk)(k 1)(n k 1) !1123 k (k 1)k(n k ) (n k )(n k 1) k( k 1) k ( n k)knk1(k 1) (n k)n 14

14、， k5所求連續(xù)三項(xiàng)為第 5、6、 7三項(xiàng)又由已知， C1143 xlog 2 x112 即 xlog 2x8兩邊取以 2為底的對(duì)數(shù)， (log2x)2 3，log2 x3 ， x 2 3 ，或 x 2 3 說明： 當(dāng)題目中已知二項(xiàng)展開式的某些項(xiàng)或某幾項(xiàng)之間的關(guān)系時(shí)，常利用二項(xiàng)式通項(xiàng)， 根據(jù)已知條件列出某些等式或不等式進(jìn)行求解12. (1 2x)n的展開式中第 6 項(xiàng)與第 7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng) 和系數(shù)最大的項(xiàng)分析： 根據(jù)已知條件可求出 n，再根據(jù) n 的奇偶性；確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)5 5 6 6解：T6 Cn5(2x)5，T7 Cn6(2x)6 ，依題意有Cn525

15、Cn626n 8 8 4 4 4(1 2x)8的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5 C84(2x)4 1120x4 設(shè)第 r 1 項(xiàng)系數(shù)最大，則有C8r2rC8r1 2r 1C8r2rC8r1 2r 1r5或r6 ( r5 r 6 0,1,2, ,8 )系婁最大的項(xiàng)為：T6 1792 x5 ， T7 1792 x6 說明： (1) 求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)， n 為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二 項(xiàng)式系數(shù)最大， n 為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大(2) 求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù) 變化情況，一般采用列不等式，解不等式的方法求得13. 設(shè)

16、f (x) (1 x)m (1 x)n ( m,n N ) ，若其展開式中關(guān)于 x 的一次項(xiàng)的系數(shù)2分析： 根據(jù)已知條件得到和為 11，問 m , n為何值時(shí)，含 x2 項(xiàng)的系數(shù)取最小值？并求這個(gè)最小值x2 的系數(shù)關(guān)于 n 的二次表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)探討最小值問題解： Cm1 C1n n m 11Cn21 (m22m n2 n)m2 n2 1121102mn2 n11n 55(n 11)2 99 242nN，n5或6，m6或 5時(shí)，2x 項(xiàng)系數(shù)最小，最小值為25說明：二次函數(shù)y11 2(x 2)299 的對(duì)稱軸方程為4x11，即 x 5.5 ，由于 5、6 距25.5 等距離，且對(duì) n

17、N，5 、6距5.5最近，所以 (n121)299的最小值在 n 5 或 n 64處取得14.若 (3x 1)7a7x7 a6 x6a1x a0 ，求(1)a1 a2a7；(2)a1 a3 a5 a7 ；(3)a0 a2 a4 a6 令 x 1 ，則 a7 a6a1 a0 27 128 a1 a2a7129解：(1) 令 x 0，則 a01，(2) 令 x 1 ，則a7a6a5 a4 a3 a2 a1 a0 ( 4)7 由 得：2a1a3a5a712128 ( 4)78256(3) 由 得：2a0 a2 a4a62( a7(a6 a5a4a3a2a1a0)a7 a6a5a4a3a2a1 a0)

18、11282 說明：( 1) 用于恒等式( 4)78128本解法根據(jù)問題恒等式特點(diǎn)來用特殊值”法這是一種重要的方法，它適(2) 一般地，對(duì)于多項(xiàng)式g(x) (px q)n a0a1xa2x2anxn ， g(x) 的各項(xiàng)的系數(shù)和為 g(1) ：g(x) 的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為g(x) 的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為12g(1) g( 1) 121 g(1) g( 1) 25)18.在 (x2 3x 2)5的展開式中 x的系數(shù)為(A 160B240C360D800分析： 本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的運(yùn)用應(yīng)想辦法將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式求解解法 1：由 (x2 3x 2)5 (x2 3x) 25，得Tk 1 C5k(

19、x2 3x)5 k 2kC5k 2k (x2 3x)5 k 再一次使用通項(xiàng)公式得， Tr 1 C5k 2k C5r k 3r x10 2k r這里 0k5，0 r 5 k令102kr1，即 2k r 9 所以 r1，k4，由此得到 x的系數(shù)為 C54 24 3 240 解法 2：由(x23x 2)5 (x 1)5(x 2)5，知 (x 1) 5的展開式中 x的系數(shù)為 C54，常數(shù)項(xiàng)為 1， (x 2)5的展開式中 x的系數(shù)為 C54 24 ，常數(shù)項(xiàng)為 25 因此原式中 x的系數(shù)為 C54 25 C54 24 240 解法 3：將 (x2 3x 2)5 看作 5個(gè)三項(xiàng)式相乘，展開式中 x 的系數(shù)

20、就是從其中一個(gè)三項(xiàng)式中取3x的系數(shù) 3，從另外 4個(gè)三項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng)相乘所得的積，即C51 3 C44 24 240 應(yīng)選 B919. 已知 axx 的展開式中 x3的系數(shù)為 9，常數(shù) a的值為24分析： 利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式9解： 在 ax的展開式中，x29rrr3通項(xiàng)公式為Tr 1C9r ax r r 9 r 1x2C9r( 1)ra9 r 122r2 xx根據(jù)題設(shè)，3r29 3 ，所以 r8 代入通項(xiàng)公式，得 T993ax16根據(jù)題意，9a9，所以 a4164應(yīng)填： 420.若n N ，求證明： 32n 3 24n 37能被64整除分析： 考慮先將 32n 3拆成與 8 的倍數(shù)有關(guān)的和式

21、，再用二項(xiàng)式定理展開解：32n 324n37332n 224n3739n 124n373(8 1)n 1 24n373Cn018n 1C1n 18nCn21 8n 1Cnn18Cnn 1124n 3738n 1C1C n 18nC2Cn1 8n 1(n1) 8124n3738n 1C1C n 18nC2Cn1 8n 1Cnn11 82(8n9)24n 373828n1 C1Cn1 8n2Cn21 8n 3Cnn 113(8n9) 24n3 64 8n 1 64 ，8n 1，Cn11 8n 2，Cn21 8n 3，均為自然數(shù)，上式各項(xiàng)均為 64 的整數(shù)倍原式能被 64 整除說明： 用二項(xiàng)式定理證明整除問題， 大體上就是這一模式， 先將某項(xiàng)湊成與除數(shù)有關(guān)的 和式，再展開證之該類題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明，但不如