202第二型曲線積分

1、 2第二型曲線積分教學(xué)目的與要求：掌握第二型曲線積分的定義和計(jì)算公式 教學(xué)重點(diǎn)：第二型曲線積分的定義和計(jì)算. 教學(xué)難點(diǎn)：第二型曲線積分的計(jì)算公式. 教學(xué)過(guò)程一、第二型曲線積分的定義：(一)、力場(chǎng)F(x, y) =P(x,y) , Q(x, y)沿平面曲線L從點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功:一質(zhì)點(diǎn)受變力F(x,y)的作用沿平面曲線C運(yùn)動(dòng),當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從C之一端點(diǎn)A移動(dòng) 到另一端B時(shí)，求力F(x,y)所做功W.大家知道,如果質(zhì)點(diǎn)受常力F的作用沿直線運(yùn)動(dòng)，位移為s.那末這個(gè)常力 所做功為 W=|F|s|cos-,其中|F|.|s|分別表示向量(矢量)的長(zhǎng)度為F與S的夾角.現(xiàn)在問(wèn)題的難度是質(zhì)點(diǎn)所受的力隨處改變，而所走路

2、線又是彎彎曲曲.怎么辦呢？還是用折線逼近曲線和局部一常代變的方法來(lái)解決它(微分分析法).為此，我們對(duì)有向曲線C作分割T =Ao，A，.,An_!，An,即在AB內(nèi)插入n-1個(gè)分點(diǎn)MM?，,M nJ,與A=M0,B=Mn 起把曲線分成n個(gè)有向小曲線段Mi丄Mi(i=1,2,n),以Si記為小曲線段MiM i的弧長(zhǎng).二max Si.設(shè)力F(x,y)在x軸和y軸方向上的投影分別為P(x,y)與Q(x,y),即F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j,由于 Mi(Xi，yi).M i W , yi),記厶 Xi =Xj - Xi，Jy = yi - 和Cmi1 =(

3、x ：y) i從而力F(x,y)在小曲線段Mi二Mi上所作的功WiF( , i)Cmi1 = P( i, j) ：Xi+Q ( i, j) i其中(i, j)為小曲線段M-Mi上任一點(diǎn)，于是力F沿C(AB)所作的功可近似nnnWi=E Wi * (P(Sii)Axi +Z Q(si)Ayii生i Ai呂當(dāng) 0時(shí)，右端積分和式的極限就是所求的功，這種類型和式極限計(jì)算上述形 式的和式上極限，得嘰 abF(dx,dy),即 W = lF ds.(二) 、穩(wěn)流場(chǎng)通過(guò)曲線(從一側(cè)到另一側(cè))的流量：解釋穩(wěn)流場(chǎng).(以磁場(chǎng) 為例).設(shè)有流速場(chǎng)v(x, y) = P(X, y) , Q(x, y).求在單位時(shí)間

4、內(nèi)通過(guò)曲線 AB從左 側(cè)到右側(cè)的流量E .通過(guò)曲線AB從左側(cè)到右側(cè)的總流量E為ABdE 二 abP(x, y)dy Q(x,y)dx.(三) 、第二型曲線積分的定義： 設(shè)P,Q為定義在光滑或分段光滑平面有向曲 線C上的函數(shù),對(duì)任一分割T,它把C分成n個(gè)小弧段MyMi，l=1,2,3,n; 記 M i (xyi), M i aM i 弧長(zhǎng)為.迨，=max i Si，:人二 x-xi j：y y yi j ,I=1,2,3,n.又設(shè)(1, j) M ijMi,若極限nnlim p( i, i). ：xi+lim Q( i, i). .：yiii 4存在且與分割T與界點(diǎn)(j)的取法無(wú)關(guān),則稱此極限為

5、函數(shù)P,Q有線段C上的 第二類曲線積分,記為 Pds Qdy 或 Pds Qdy ,也可以記為cABPdx Qdy 或 Pds Qdy.ccABAB注:(1)若記 f(x,y)=(P(x,y),Q(x,y) ,ds=(dx,dy)則上述記號(hào)可寫(xiě)成向量形式：fdsc倘若C為光滑或分段光滑的空間有向連續(xù)曲線，P,Q,R為定義在C上的函數(shù),則可按上述辦法定義沿有向曲線 C的第二類曲線積分，并記為fds= J P(x, y,z)dx + Q(x, y,z)dy+ R(x, y, z)dz.c按這一定義，有力場(chǎng)F(x, y)二P(x, y) , Q(x, y)沿平面曲線L從點(diǎn)A到點(diǎn)B 所作的功為 WPd

6、x Qdy.流速場(chǎng)v(x, y)二P(x, y) , Q(x, y)在單位時(shí)間內(nèi)AB通過(guò)曲線AB從左側(cè)到右側(cè)的總流量E為E = Pdy-Qdx.LABJ第二型曲線積分的鮮明特征是曲線的方向性.對(duì)二型曲線積分有因此，定積分是第二型曲線積分中當(dāng)曲線為X軸上的線段時(shí)的特例.可類似地考慮空間力場(chǎng)F(x,y,z) = P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x, y, z)沿空間曲線AB所作的功.導(dǎo)出空間曲線上的第二型曲線積分ABP(x,y,z)dx Q(x, y,z)dy R(x,y,z)dz.（四）、第二型曲線積分的性質(zhì)：第二型曲線積分可概括地理解為向量值函數(shù)的積累問(wèn)題.與我們以前討論 過(guò)的

7、積分相比，除多了一層方向性的考慮外，其余與以前的積累問(wèn)題是一樣的， 還是用Riemma勺思想建立的積分.因此,第二型曲線積分具有（R ）積分的共 性，如線性、關(guān)于函數(shù)或積分曲線的可加性.但第二型曲線積分一般不具有關(guān) 于函數(shù)的單調(diào)性，這是由于一方面向量值函數(shù)不能比較大小，另一方面向量值 函數(shù)在小弧段上的積分還與弧段方向與向量方向之間的夾角有關(guān).fds 亠.I gds. 線性性 設(shè)C為有向曲線，fds, gds存在,則R,則 c（： f：f）ds存在，且 c（： f ：f）ds 二： 可加性：設(shè)Cfds存在,C =C1.C2,=二fds, C2 fds存在,且fds = i fds 亠 I fds

8、.cclc2注： 平面上光滑閉曲線如何規(guī)定方向呢？此時(shí)無(wú)所謂”起點(diǎn)”終點(diǎn)” 若為封閉有向線段,則記為1 fdsc（2）設(shè)C-是C的反向曲線（即C-和C方向相反）,貝U fds二fdsLcfcc即是說(shuō)第二類曲線積分與曲線的方向有關(guān)（注意第一類曲線積分表達(dá)示是函數(shù)f 與弧長(zhǎng)的乘機(jī)，它與曲線C的方向無(wú)關(guān)）,這是兩種類型曲線積分的一個(gè)重要差 別二、第二型曲線積分的計(jì)算：曲線的自然方向：設(shè)曲線L由參數(shù)式給出稱參數(shù)增大時(shí)曲線相應(yīng)的方向 為自然方向設(shè)L為光滑或按段光滑曲線,L : x=（t）, y（t）, 沁一.A ：()() , B；函數(shù) P(x, y)和 Q(x,y)在 L 上連續(xù),則沿 L 的自然方向

9、(即從點(diǎn)A到點(diǎn)B的方向)有LP(x, y)dx Q(x, y)dy 二 P (t)(t)(t) Q (t)(t)- (t) Idt.（證略）注：起點(diǎn)參數(shù)值作下限，終點(diǎn)參數(shù)值作上限.Jxydx + （y-xdy八“例1計(jì)算l,其中L分別沿以下路線從點(diǎn)A 11到點(diǎn)B 2,3 ,i) 直線AB ;2ii) 拋物線 ACB : y 二2 x-11 ；iii) 三角形周界ADBA .解x=1+t, 丿t乏b,i】i) 直線 AB：+21,1xydx y - x dy . -1 t 1 2t 2t dt 25故 AB= 0= 6 .2ii) 拋物線ACB :廠2x仁x乞2 ,1 Jxydx y - x d

10、y 2 x -1 2 1】2 x -1 2 1 -x4 x-1 dx 10ACB=0= 3iii）三角形周界ADBA :xydx-y-xdy xydx 亠 xdy xydx y_xdy xydx y _ x dyADBA= AD+ DB+ Ba230xdx , y -2 dy . -1 t 1 2t 2tdt 3025_ 8=1+1+1= 26=3 .注：這里沿不同路徑積分值不同，而沿封閉曲線的值不為0.J xdy + ydxy例2計(jì)算L，這里L(fēng) : i）沿拋物線從2 -2O 到 B :I ）沿拋物線y =2x2;ii）沿直線段Ob : y =2x ；iii）沿封閉曲線OABO .1xdy +

11、 ydx J X（4x ）+ 2x2 】dx 解i）沿拋物線從O到B : l=o=2 .1xdy+ydx J（2x+2xdxii）沿直線段 Ob : y =2x , L=0=2 .注：這里不同路徑積分值相同iii）沿封閉曲線OABO ：:xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydxL=OA+ AB+ BO=0 2 -2 =0 .注：由于這里不同路徑積分值相同，造成沿封閉曲線的值為0?？臻g曲線時(shí)有：x 二 xt ,*y = y（t）“終點(diǎn)為acost ,設(shè)有空間光滑曲線L :二= zt）起點(diǎn)為（x0 ）血心）,x , y , ii則有：Pdx Qdy RzyLpPxt,yt,z

12、t x t Qxt,yt,zt y t Rxt,yt,zt z t dt =、衛(wèi).注：仍為起點(diǎn)參數(shù)作下限，終點(diǎn)參數(shù)作上限.21xydx +（x + y dy+ x dz例3計(jì)算第二型曲線積分L, L是螺旋線：x =y 二 asi nt , z = bt 從 t=0 到 t =匾上的一段。2xydx x y dy x dz3a-/IYn I Ocostsin t a cos t a sintcost a bcos t dt1a2 1 b 二=例4求力F（y，-x,x + y + z）作用下i）質(zhì)點(diǎn)由A沿螺旋線Li到b所做的功， 其中 Ll:a cost，y 二 asin t，z 二 bt，0 空