G立體幾何理科2015年Word版含答案

1、數(shù) 學G單元立體幾何G1空間幾何體的結構19. G1、G11 如圖 1-7，長方體 ABCD ABCD 中，AB= 16, BC= 10, AAi= 8,點 E,F分別在AB , DC 上 , AE= DF= 4.過點E, F的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.Cl片圖1-7（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；（2）求直線AF與平面a所成角的正弦值.19.解：（1）交線圍成的正方形 EHGI如圖所示.X作 EML AB 垂足為 M 貝U AM= A1E= 4, EM= AA= 8.因為四邊形EHG為正方形，所以 EH= EF= BC= 10,于是MH=#eH eM=

2、6,所以AH= 10.以D為坐標原點，DA的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D - xyz,A(10 , 0 , 0),H(10, 10 , 0),日10, 4, 8) , F(0 , 4, 8)，所以 FE= (10, 0 , 0) ,(0, 6 , 8).設 n= (x , y ,z）是平面a的一個法向量，則In FE= 0 ,J0x= 0 ,即fd HE= 0, 6y + 8z= 0，所以可取n= (0 , 4 , 3).又 AF= ( 10 , 4 , 8),故|cosn, XF | =也|n| AF 15所以AF與平面a所成角的正弦值為 窖19. G5 G1、G11如圖

3、1-6,已知四棱臺 ABCD- ABCD的上、下底面分別是邊長為3 和6的正方形，AiA= 6,且AA丄底面ABCD點P, Q分別在棱 DD, BC上.(1)若P是DD的中點，證明：AB丄PQ若PQ/平面ABBA ,二面角P - QD- A的余弦值為7,求四面體 ADPQ勺體積.圖1-619 解：方法一：由題設知，AA , AB AD兩兩垂直，以 A為坐標原點，AB AD AA所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則相關各點的坐標為A：0 ,0, 0) ,Bi(3, 0, 6),DtO,6,0) , D(0, 3, 6),Q6, m 0)，其中m= BQ 0 me6.(

4、1) 若 P是 DD的中點，則 P0 , 2 , 3 , PQ= 6 , m-9 , 3.又AB= (3 , 0 , 6),于是 AB PQ=18 18= 0,所以 AB丄 pQ 即 AB丄 PQ33 由題設知，DQ= (6 , m 6 , 0) , DD= (0 , 3 , 6)是平面PQD內(nèi)的兩個不共線向量.設6x+( m 6) y= 0 , -3y+ 6z = 0.1n1 = (x , y , z)是平面PQD勺一個法向量，貝U in1 n2取y = 6,得n1= (6 m 6 , 3).又平面AQD勺一個法向量是 n2= (0 , 0 , 1),所以cos n1 , n2=: = J2

5、2 7 = f2 =.丨 n 1I I n2l1 寸(6 m +6+ 3 7( 6 m + 45333而二面角P- QD A的余弦值為7,因此7（ 6 m2+ 45 = 7，解得-4或-8（舍去），此時 Q6 , 4, 0).設 DP=入 Dd(00 Cn/ ABC= , AD/ BC BC= 2AD= 2AB= 2,將梯形 ABCD AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為2 n 4 n 5 nA.盲 B. T C.盲 D . 2 n7. C 旋轉后的幾何體為一個底面半徑為1,高為2的圓柱挖去一個底面半徑為1 ,高1為1的圓錐，所求幾何體的體積為n X 12X 2- n X

6、12X318. G1、G4 G11 一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖1-3所示,在正方體中，設 BC的中點為M GH的中點為N(1)請將字母F, G H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由);證明：直線MN/平面BDH(3)求二面角 A-EGM的余弦值.DC GE ABF18.解：點F, G, H的位置如圖所示.證明：連接 AC BD交于點O連接OH OM因為M N分別是BC GH的中點,所以 OM CD 且 OM= CDHIN/ CD 且 HN= 2CD 所以 OM HN OM= HN所以四邊形MNH是平行四邊形, 從而MN/ OH又MN平面BDH OHI平面BDH所以

7、MN/平面BDH(3) 方法一: 過M作MPL AC于P.在正方體 ABCDEFGH中, AC/ EG所以MPL EG過P作PKl EG于 K,連接KM所以EGL平面PKM 從而KML EG所以/ PKM是二面角 A EGM的平面角.在 Rt CMP中 PM= CMin45 =設 AD= 2，貝U CM= 1, PK= 2.2 -在 Rt PKM中, KM=# pK+ pM =PK 2 f2 所以cos / PKM=荷寸即二面角A-EG M的余弦值為目23方法二:!GR如圖，以D為坐標原點，分別以 DA DC中方向為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系Dxyz.設 A* 2，則 M1

8、, 2, 0), G(0 , 2, 2) , E(2 , 0, 2) , 0(1 , 1, 0),所以 &E= (2 , - 2, 0),血(1, 0, 2).設平面EGM勺一個法向量為 ni = (x, y, z),2x 2y= 0,x + 2z = 0 GE= 0,由$ T 得* n1 MG= 0,取 x = 2,得 ni= (2 , 2, 1).在正方體ABCDEFGH中, DOL平面AEGC則可取平面 AEG的個法向量為 n2= 6O=(1 , 1, 0),所以cosni n25, n2= | n1| | n2| =4+7+1 V7+1+ = 3故二面角A-EG M的余弦值為2坐310

9、. G1、G2 一個幾何體的三視圖如圖1-3所示(單位：m),則該幾何體的體積為W視圖正視ffl810.3n根據(jù)三視圖可知幾何體是圓柱與兩個圓錐的組合體，其體積2V= n X 1 X 2 +3m.!B 0M觀圖圖1-3G27.A.C.7.283X 1 X 1 = 3 n (m )空間幾何體的三視圖和直觀圖G2 一個四面體的三視圖如圖1-1所示，則該四面體的表面積是（）1B四面體的直觀圖如圖所示，設O是AC的中點，貝UOB= 1，因此PB=/2,于是 Sapab= Sapb=X (寸2)2=乎,SPAU Saabu 2X 2 X 1= 1,故四面體的表面積S= 2X1+ 2X = 2+W，故選

10、B.6. G2 一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖1-2，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為 （）1A.1B.1C-1D.6. D幾何體的直觀圖為正方體 ABCD- ABCD截去了一個三棱錐 A- ABD，如圖所示.易知V三棱錐A- ABD =取正方體，所以V三棱DTJAbCDu 5故選D.X.11. G2圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖1-4所示.若該幾何體的表面積為16 + 20 n，貝U r =（）r視圖2ri圖1-4A. 1C. 411.B由三視圖可知，此組合體的前半部分是一個底面半徑為r,高為2r的

11、半圓柱（水平放置），后半部分是一個半徑為 r的半球，其中半圓柱的一個底面與半球的半個圓面重合,1 1IQIQQQQ所以此幾何體的表面積為2r 2 r + 2 n r + n r + n r 2r + 2 n r = 4r + 5n r = 16 + 20 n ,解得r = 2.5.G2某三棱錐的三視圖如圖1-2所示，則該三棱錐的表面積是（）左）圖1-2A.C.5.C 根據(jù)三視圖可得到直觀圖（如圖所示）.取D為BC的中點，根據(jù)題意可知，ADI BCAD= 2, BC= 2, SA= 1,且 SAI平面 ABC在 Rt SAB中，SB= Q1+4+ 1 =6,同理 SO6 1所以 SBC是等腰三角

12、形，所以 BC邊上的高SD=76=5.所以三棱錐的表面積是2X 2X 2 + 2 X 沿X 1 + 2 X 2X= 2 + 2 逵.現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一10. G2、G7、個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi),則原工件材料的利用率為材料利用率=新工件的體積(原工件的體積正視ffl傭視圖俯視圖圖1-3A.亠 B. 169 n 9 n C.42 1)3 D.12(羽1) 37t7t10. A 方法一：由圓錐的對稱性可知，要使其內(nèi)接長方體最大，則底面為正方形，令此正四棱柱的底面對角線為2X,高為h,則由三角形相似可得，x =h= 2 2x,x (0 ,1)，其

13、體積 V長=(/2x)2h= 2x2(2 2x) W2x+x + 2 2X316=27當且僅當x=3時取等號，V圓錐方法二：由圓錐的對稱性可知,2其體積 V長=(72x)2h= 2x2(2 2x) = 4x3 + 4x2，令 V長=12x2 + 8x= 0,得當 x= 3時，V1616122278長取最大值一.又V圓錐=3% X 1 X 2= 3 n，得利用率為2 = 9n，故選A.3n冗5.G2 一個幾何體的三視圖如圖1-3所示，則該幾何體的表面積為（）t212/主視圖左視圖A.C.+ 4 D . 3n + 45.該幾何體是底面半徑為俯觀ffl圖1-31、母線長為2的圓柱被其軸截面截開的半個

14、圓柱，其1 1表面積為 Y 2n X 1X 2 + 2X XnG2 一個幾何體的三視圖如圖210. G1、2X 1 + 2X 2= 3 n + 4.1-3所示（單位：m）,則該幾何體的體積為搐視圖正視圖810.3n根據(jù)三視圖可知幾何體是圓柱與兩個圓錐的組合體，其體積2V= n X 1 X 2 +12X - X n X31X 1 = In (m3)3m.1 0M觀圖圖1-3八 C3A. 8 cmf 3B . 12 cmQ 323C.亍 cmf 403D. y cmt2I正視圖Xt flid 視圖/I圖1-12.C 該幾何體為一個正方體和一個正四棱錐的組合體,1故該幾何體的體積 V= 23 + -

15、X33232X 2 X 2= (cm3)，故選 C.35. G2G7、G8某幾何體的三視圖如圖 1-2所示，則該幾何體的體積為 （）左視圖1A.3 +n2B. 3 +n込+ 2n5. A由三視圖知，該幾何體為一個半圓柱與一個三棱錐的組合體，其中半圓柱的底1,所以該面圓的半徑為1、高為2，三棱錐的底面為一個等腰直角三角形，斜邊上的高為1 1 1 1幾何體的體積 V= 3X X 2X 1 X 1 + 2 n X 12X 2= 3 + n .G3平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線14. G3, G9如圖1-2所示，四邊形 ABC和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上, E, F分

16、別為AB, BC的中點設異面直線 EM和AF所成的角為0 , 則cos 0的最大值為214 - 分別以AB AD AQ為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，并設正方形邊長5為 2, QMh mo w mc2),則 aF= (2 , 1, 0) , EMh ( 1 , mAF- Em所以 cos 0 = 77y_2-| AF - I EMv5m+令f(m=丙誌(0 w 2)，則(2 m X 10mf(m =5 55m+ 25因為me,所以f ( m 0,22故 f ( n) max= f (0) =-,即 卩 COS 0 的最大值為-.5513. G3如圖1-4，在三棱錐 A BCD中，AB=

17、AC= BD= CD= 3, AD= BC= 2,點 M, N 分別為AD, BC的中點,則異面直線 AN13.7連接ND取ND的中點為E,則ME/ AN則異面直線 AN CM所成的角為/ EMC2 “2因為 ANk ND= M(h/32 12 = 2 /2,所以 ME=V2, CE= Q (也 2+ 仁血，貝U cos / EMCCIM+ mE CE8 + 2 37=2CM- ME = 2X2X護=8.DG4空間中的平行關系5.G4 G5已知m n是兩條不同直線,a , 3是兩個不同平面，則下列命題正確的是A.a , 3垂直于同一平面，則a與3平行B.m n平行于同一平面，則 m與n平行C.

18、a , 3不平行，則在a內(nèi)不存在與3平行的直線D.m n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面5.如圖，在正方體 ABCD- ABCD中，平面ADEAi,平面ABEA都垂直于平面 ABCD但這兩個平面不平行， A錯；直線 AD和AB都平行于平面ABCD但這兩條直線不平行，B錯；平面ADDA1與平面ABCDT平行，但平面 ADDi內(nèi)的直線AD與平面ABCDF行，C錯；D的逆否命題是“若 m n都垂直于同一平面， 則m n必平行”,此逆否命題為真，故D正確.BOl*AlAl1 9. G4 G1 1如圖1-4所示，在多面體 ABD DCBA中，四邊形 AABB, ADDA, ABCD勻為正方形，E為B

19、D的中點，過 A, D E的平面交 CD于F.(1)證明：EF/ BC;(2)求二面角E - AD - B的余弦值.圖 1-41 9.解：(1 )證明：由正方形的性質(zhì)可知A1 B/ AB/ DC且A1 B = AB= DC所以四邊形A B CD為平行四邊形， 從而B C/ A D.又Ai D?面Ai DE B C?面 A DE所以B C/面A DE又B C?面 B CD,面 A DR面 Bi CD= EF,所以 EF/ BC(2)因為四邊形 AAB B, ADDA1 , ABC均為正方形，所以 AA丄AB AA丄AD AB! AD且AA = AB= AD以A為原點，分別以AB AD AA為x軸

20、，y軸和z軸單位正向量建立如圖所示的空間直角坐標系 可得點的坐標A(00 0)B(0 0)D(00) A (00)B ( 1 , 0 , 1 ) , D (0 , 1 , 1 ).因為E點為B D的中點，所以E點的坐標為(0.5 , 0.5 , 1 ).設面 ADE的一個法向量n1= (1, S1, t1) , A1E= (0.5 , 0.5 , 0) , AD= (0 , 1, 1), 由n1丄A1E, n1丄AD,得1, S1, 11應滿足方程組0.5 r 1 + 0.5 S1= 0,S1 11= 0,令 11= 1,可得 n1= ( 1,1, 1).設面AiBCD勺一個法向量n2= (r

21、2, S2, t2),品=(1 , 0, 0), Ab= (0 , 1, 1),由此同理可得n2 = （0 , 1,1) 結合圖形知，二面角E-A1D-B的余弦值為pn汙右=是=申16. G4 G5如圖1-2，在直三棱柱 ABC- ABC中，已知 ACI BC BC= CC,設AB的中點為 D, BCQ BC= E.求證：（1） DE/平面 AACC;(2) BC 丄 AB.Cl16證明：（1）由題意知，E為BC的中點,又D為AB的中點，因此DE/ AC又因為DE?平面AACC, AC?平面AACC,所以D曰平面AACC 因為三棱柱 ABC- ABC是直三棱柱,所以CC丄平面ABC因為AC?平

22、面ABC所以AC丄CC.又因為AC! BC CC?平面BCdB,BC?平面 BCCB, BCT CC= C,所以AC丄平面BCCB.又因為BC?平面BCCB，所以BC丄AC因為BC= CC,所以矩形 BCCB是正方形，因此 BC丄BC因為AC Bi C?平面B AC A8 B C= C 所以BC丄平面BAC4又因為AB?平面Bi AC所以BC丄AB.A2 , G4設a , 3是兩個不同的平面，m是直線且m? a . m/ 3 ”是a /3 ”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4B 當m?a , m/B時，不能確定平面a與3平行；當a / 3時，根據(jù)平面與

23、平面平行的性質(zhì)，可以推出 m/B .7A2 , G4, G5若l , m是兩條不同的直線,m垂直于平面a ,則“I丄m是“ I II a”的(A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件7B 若 ml a , I 丄 m 貝 u I ? a 或 I II a;若 ml a , l / a ,貝U l _L m 故選 B.i7.G4G 1 1如圖1 -3,在幾何體 ABCDE中 ,四邊形ABCD是矩形，ABL平面BEC BE!ECAB= BE= EC= 2 , G F分別是線段 BE DC的中點.(1 )求證：GF/平面ADE 求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余

24、弦值.?FC17.解：方法一：（1）證明：如圖，取 AE的中點H,連接HG HDC又G是BE的中點,所以 GH/ AB 且 GHk 2AB又F是CD的中點,所以DF= 2CD由四邊形ABCDi矩形得，AB/ CD AB= CD所以 GH/ DF,且 GHk DF從而四邊形HGF是平行四邊形,所以GF/ DH又DH?平面ADE GR平面ADE所以GF/平面ADE如圖，在平面 BEC內(nèi)，過B點作BQ/ EC因為BE1CE所以BQI BE又因為A吐平面BEC所以A吐BE A吐BQ以B為原點，分別以BE BQ BA的方向為X軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，貝y AA0 , 0, 2) , B

25、(0 , 0, 0) , E(2 , 0, 0) , R2 , 2,1).因為AB!平面BEC所以BA= (0 , 0 , 2)為平面BEC的一個法向量.設 n=(X, y,z)為平面AEF的一個法向量.又 XE= (2, 0 ,2), Xf= (2, 2, 1),jn - Afe= 0 , 由f TIn Xf= 0 ,得x 2Z= 0 ,2x + 2y z = 0 ,取 z = 2,得 n= (2, 1, 2),從而cosTn BA 42n, BA=,|n| IBA 323所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為23方法二:(1)證明：如圖，取又G是BE的中點，所以GM AE又AE?

26、平面ADE GM平面ADE所以GM平面ADE在矩形ABCD中，由 M F分別是 AB CD的中點得 MF/ AD又AD?平面ADE MF?平面ADE所以MF/平面ADE又因為GMT MF= M gm平面GMF MF?平面GMF所以平面GM/平面ADE因為GF?平面GMF所以GF/平面ADE同方法一.G H分別為AC BC的17. G4 G5中占I 八、求證：BD/平面FGH，求平面FGH與平面ACFD所成的若 CFL平面 ABC AB1 BC CF= DE / BAC= 45 角（銳角）的大小.C17 .解： 證法一：連接 DG CD設cm GF= O連接OH在三棱臺DEF-ABC中 ,AB=

27、 2DE G為AC的中點,可得 DF/ GC DF= GC所以四邊形DFC平行四邊形,則O為CD的中點.又H為BC的中點,所以OH/ BD又OH平面FGH BD?平面FGH所以BD/平面FGH證法二：在三棱臺 DEF-ABC中,由BC= 2EF, H為BC的中點,可得 BH/ EF, BH= EF,所以四邊形BHFE為平行四邊形,可得BE/ HF在 ABC中, G為AC的中點，H為BC的中點,所以GH/ AB又 GHT HF= H所以平面FGH/平面ABED因為BE?平面ABED所以BD/平面FGH連接BG設AB= 2，貝y CF= 1.方法一：在三棱臺 DEF-ABC中,G為AC的中點,由

28、DF= 2AC= GC可得四邊形DGC為平行四邊形,因此DG/ FC又FCI平面ABC所以DGL平面ABC,G是AC的中點，在 ABC中, AB! BC / BAC= 45 所以 AB= BC GBL GC因此GB GC GD兩兩垂直,以G為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系G-xyz , 所以 G(0 , 0, 0), B(羽，0, 0), qo , /2, 0), DO , 0, 1), 可得 H俘，羋,0)F(0 , V2, 1), 故*俘，, 0)F= (0 ,/2, 1).設n= (X, y, z)是平面FGH勺一個法向量，則由謨0，可得x: y= 0， Im GF= 0,I角+

29、 z = .可得平面FGH的一個法向量n= (1 , - 1, J2).因為&是平面ACFD勺一個法向量，&B= 血,0, 0),所以cos &B nGB- n所以平面FGH與平面ACFD所成的角（銳角）的大小為60 .方法二：作 HML AC于點M作MNL GF于點N,連接NH由FCI平面ABC得HML FC,又 F8 AC= C,所以HML平面ACFD因此GFL NH所以/ MNH即為所求的角.在 BGC中, M/ BG MHk 1BG=，由 GNg GCF口 MN GM 可得FC= GFJ6 從而MN=芝-.6由HML平面 ACFD MN?平面ACFD得 HML MN因此tan / MN

30、比,所以/ MNh+ 60,所以平面FGH與平面ACFD所成的角（銳角）的大小為6018. G1、G4 G11 一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖1-3所示,在正方體中，設 BC的中點為M GH的中點為N（1）請將字母F, G H標記在正方體相應的頂點處（不需說明理由）;證明：直線MN/平面BDH（3）求二面角A-EGM的余弦值.nC ABF18.解：(1)點F, G, H的位置如圖所示.(2)證明：連接 AC BD交于點O連接0H 0M因為M N分別是BC GH的中點,所以 0M CD 且 0M= 2CDHIN/ CD 且 HN= 2CD所以 0M HN 0M= HN所以四

31、邊形MNH是平行四邊形,從而MN/ 0H又MN平面BDH 01?平面BDH所以MN/平面BDH(3)方法一:過M作MPL AC于P.在正方體 ABCDEFGH中, AC/ EG所以MPL EG過P作PKX EG于 K,連接KM所以EGL平面PKM從而KML EG所以/ PKM是二面角 AEGM的平面角.設 AD= 2，貝U CM= 1, PK= 2.在 Rt CMP中 PM= CMin 45 =羋.在 Rt PKM中, KM=# pK+ pMtPK 22即二面角所以 cos / PKM= KMT 號,A-EG M的余弦值為3方法二:如圖，以間直角坐標系BD為坐標原點，分別以 6A 3C方向為x

32、軸，y軸，z軸的正方向，建立空Dxy乙E(2，0，2)，O(1，1, 0),設 AD- 2，則 M1 , 2, 0), qo , 2, 2),所以 GE= (2 , - 2, 0) , MGf ( 1, 0, 2).設平面EGM勺一個法向量為 ni = (x, y, z),h 1 (Ge= 0,fex 2y= 0,由$得fI,n1 MG= 0,- x + 2z = 0,取 x = 2,得 ni= (2 , 2, 1).在正方體ABCDEFGH中, DOL平面AEGC則可取平面 AEG的一個法向量為 n2= 張(1 , 1, 0),所以 cos = |nn-L一半|n | Pl 5由題知二面角

33、EAEB為鈍角，所以它的余弦值為一 羋.因為BE1平面AOC所以BE1OC即BE- OC= 0.因為盲E= (a 2, yJ3(a 2), 0),Sc= ( 2,羽(2 a), 0),所以fE- OC= 2(a 2) 3(a 2)2.f f4由BE- OC= 0 及 0a2，解得 a =-.37.A2, G4, G5若I , m是兩條不同的直線,m垂直于平面a ,則 “ I 丄 m 是 “ I II a”A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7.B 若mla , I 丄 m 貝 U I ? a 或 I IIa ；若 ml a , l/ a ,貝U I丄

34、m故選B.19. G5 G1、G11如圖1-6，已知四棱臺ABCD- ABCD的上、下底面分別是邊長為 3和6的正方形，A1A= 6,且AA丄底面ABCD 點 P, Q分別在棱 DD, BC上.(1)若P是DD的中點，證明：AB丄PQ3若PQ/平面ABBA，二面角P - QD- A的余弦值為7，求四面體 ADPQ勺體積.圖1-619.解：方法一：由題設知，AA, AB AD兩兩垂直，以 A為坐標原點，AB AD AA所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則相關各點的坐標為Q(6 , m 0)，其中 m= BQ 0 me 6.(i )若 P是 DD的中點，則 P0 , I , 3 , PC= 6 , m-923.又AB = (3 , 0 , 6),于是 AB PQA0 , 0, 0) , B(3 , 0, 6) , D(0 , 6, 0) , D(0, 3, 6),=i 8 i 8 = 0,所以 AB丄 PQ 即 AB 丄 PQ 由題設知，6Q= (6 , m- 6 , 0) , bb= (0, 3 , 6)是平面PQ內(nèi)的兩個不共線向量.設|j ni DQ= 0 ,ni = (x , y , z)是平面PQD勺一個法向量，貝U ini DD= 0,6x+( m- 6) y= 0 , 3y+ 6z = 0.取y = 6,得ni