醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用

1、醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用 頻數(shù)分布表、圖頻數(shù)分布表、圖 分組劃計分組劃計 原始資料原始資料 分布分布 類型類型 算術(shù)均數(shù)與標準差算術(shù)均數(shù)與標準差 幾何均數(shù)與對數(shù)值幾何均數(shù)與對數(shù)值 標準差的反對數(shù)標準差的反對數(shù) 中位數(shù)與四分位數(shù)間距中位數(shù)與四分位數(shù)間距不對稱不對稱 對稱對稱 1 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用 流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計學系流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計學系 何保昌何保昌 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用3 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用4 此圖的縱坐標為頻率，橫坐標為肺活量，稱此圖為頻率直方圖此圖的縱坐標為頻率，橫坐標為肺活量，稱此圖為頻率直方圖 每一個直方條的面積每一個直方條的面積=頻率，各組段的頻率之和頻率，

2、各組段的頻率之和=1，所以這個直方，所以這個直方 圖的面積為圖的面積為1 如果樣本量越大，每個組段的頻率就越穩(wěn)定，也就趨向概率。如果樣本量越大，每個組段的頻率就越穩(wěn)定，也就趨向概率。 由此我們可得到由此我們可得到:隨機抽一個隨機抽一個9歲男孩歲男孩,其肺活量落在各個組段的概率其肺活量落在各個組段的概率 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用5 假定各組段的概率如下假定各組段的概率如下 15.005.010.0)L15.2L89.1( 0666.00333.00333.0)L15.2( 0417.0)L11.1L98.0( 肺活量 肺活量 肺活量 P P P 由此可知由此可知: :如果一個區(qū)間由若干組段構(gòu)成

3、如果一個區(qū)間由若干組段構(gòu)成, ,計算肺活量落在計算肺活量落在 某個區(qū)間的概率等于計算這個區(qū)間的中各個直方條圖的面某個區(qū)間的概率等于計算這個區(qū)間的中各個直方條圖的面 積之和積之和. . 只能計算給定區(qū)間概率只能計算給定區(qū)間概率, ,不能計算任意區(qū)間概率不能計算任意區(qū)間概率. . 對于上述直方圖對于上述直方圖, ,組距越小組距越小, ,組段越多組段越多, ,能夠計算的概率區(qū)能夠計算的概率區(qū) 間就越多間就越多, ,當組距逐漸減小當組距逐漸減小, ,上述計算方法仍然成立上述計算方法仍然成立. . 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用7 隨人數(shù)逐漸增多，組段不斷分隨人數(shù)逐漸增多，組段不斷分 細，則頻數(shù)分布圖中的直

4、條逐漸變細，則頻數(shù)分布圖中的直條逐漸變 窄，就會逐漸形成一條高峰位于中窄，就會逐漸形成一條高峰位于中 央央(均數(shù)所在處均數(shù)所在處)、兩側(cè)逐漸降低且左、兩側(cè)逐漸降低且左 右對稱、不與橫軸相交的光滑曲線右對稱、不與橫軸相交的光滑曲線, , 近似于數(shù)學上的正態(tài)分布曲線。近似于數(shù)學上的正態(tài)分布曲線。 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用8 在醫(yī)學衛(wèi)生領(lǐng)域中，許多變量的頻在醫(yī)學衛(wèi)生領(lǐng)域中，許多變量的頻 數(shù)分布是中間數(shù)分布是中間( (靠近均數(shù)處靠近均數(shù)處) )頻數(shù)多，兩邊頻數(shù)多，兩邊 頻數(shù)少，且左右對稱。如頻數(shù)少，且左右對稱。如 這種變量的頻數(shù)分布這種變量的頻數(shù)分布 規(guī)律可用概率論中的一種重要的隨機變規(guī)律可用概率論

5、中的一種重要的隨機變 量分布量分布正態(tài)分布正態(tài)分布(Normal distribution)(Normal distribution)加加 以描述。以描述。 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用9 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用10 正態(tài)分布曲線呈對稱的鐘形，正態(tài)分布曲線呈對稱的鐘形， 在均數(shù)處最高，兩側(cè)逐漸低下，兩在均數(shù)處最高，兩側(cè)逐漸低下，兩 端在無窮遠處與橫軸無限接近。端在無窮遠處與橫軸無限接近。 若變量若變量 x 的頻率曲線對應于數(shù)的頻率曲線對應于數(shù) 學上的正態(tài)分布曲線，則稱該變量學上的正態(tài)分布曲線，則稱該變量 服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布。 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用11 正態(tài)分布曲線的密度函數(shù)為：

6、正態(tài)分布曲線的密度函數(shù)為： -X X+ 與與 X范圍內(nèi)曲線下的面積相等，各占范圍內(nèi)曲線下的面積相等，各占50%； 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用16 曲線下在區(qū)間曲線下在區(qū)間(，)的面積為的面積為68.27%， 曲線下在區(qū)間曲線下在區(qū)間(1.64，1.64)的面積為的面積為90%， 曲線下在區(qū)間曲線下在區(qū)間(1.96，1.96)的面積為的面積為95%， 曲線下在區(qū)間曲線下在區(qū)間(2.58，2.58)的面積為的面積為99%。 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用17 68.27% 士士范圍內(nèi)的面積占正態(tài)曲線下面積的范圍內(nèi)的面積占正態(tài)曲線下面積的68.2768.27，也，也 就是說有就是說有68.2768.27

7、的變量值分布在此范圍內(nèi)。的變量值分布在此范圍內(nèi)。 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用18 士士1.641.64范圍內(nèi)的面積占正態(tài)曲線下面積的范圍內(nèi)的面積占正態(tài)曲線下面積的9090，也就是，也就是 說有說有9090的變量值分布在此范圍內(nèi)。的變量值分布在此范圍內(nèi)。 5%5% 90% 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用19 2.5%2.5% 95% 士士1.961.96范圍內(nèi)的面積占正態(tài)曲線下面積的范圍內(nèi)的面積占正態(tài)曲線下面積的9595， 也就是說有也就是說有9595的變量值分布在此范圍內(nèi)。的變量值分布在此范圍內(nèi)。 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用20 0.5%0.5% 99% 士士2.582.58范圍內(nèi)的面積占正態(tài)曲線

8、下面積的范圍內(nèi)的面積占正態(tài)曲線下面積的9999， 也就是說有也就是說有9999的變量值分布在此范圍內(nèi)。的變量值分布在此范圍內(nèi)。 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用21 曲線下的面積的計算曲線下的面積的計算 對于任意一個區(qū)間的曲線下面積，在知道變對于任意一個區(qū)間的曲線下面積，在知道變 量值量值x對應的概率密度函數(shù)對應的概率密度函數(shù)f (x)后，都可以后，都可以 根據(jù)微積分的方法求出其面積的大小根據(jù)微積分的方法求出其面積的大小 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用22 實際工作中，常需要了解正態(tài)曲實際工作中，常需要了解正態(tài)曲 線下橫軸上某一區(qū)間的面積占總線下橫軸上某一區(qū)間的面積占總 面積的百分數(shù)，以便估計該區(qū)間面積

9、的百分數(shù)，以便估計該區(qū)間 的例數(shù)占總例數(shù)的百分數(shù)（頻數(shù)的例數(shù)占總例數(shù)的百分數(shù)（頻數(shù) 分布）或觀察值落在該區(qū)間的概分布）或觀察值落在該區(qū)間的概 率。對于不同的參數(shù)率。對于不同的參數(shù)和和會產(chǎn)會產(chǎn) 生不同位置、不同形狀正態(tài)分布，生不同位置、不同形狀正態(tài)分布， （x1，x2）范圍內(nèi)的面積也不同，）范圍內(nèi)的面積也不同， 計算起來很麻煩。計算起來很麻煩。 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用23 為了計算方便，對于正態(tài)或近似正態(tài)為了計算方便，對于正態(tài)或近似正態(tài) 分布的資料，只要得出均數(shù)和標準分布的資料，只要得出均數(shù)和標準 差，可通過標準轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成求標差，可通過標準轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成求標 準正態(tài)曲線下橫軸自準正態(tài)曲線下橫

10、軸自-到到z的面積。的面積。 為了便于應用，統(tǒng)計學家按為了便于應用，統(tǒng)計學家按(z)編編 制了標準正態(tài)分布曲線下的面積表，制了標準正態(tài)分布曲線下的面積表， 由此表可查出曲線下某區(qū)間的面積，由此表可查出曲線下某區(qū)間的面積， 這樣就可對符合正態(tài)分布資料的頻這樣就可對符合正態(tài)分布資料的頻 數(shù)分布作出估計。數(shù)分布作出估計。 三、標準正態(tài)分布三、標準正態(tài)分布 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用24 1. 標準化變換標準化變換 若若 x 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N ( ， 2) ，則，則 z就就 服從均數(shù)為服從均數(shù)為0、標準差為、標準差為1的正態(tài)分布，的正態(tài)分布， 這種正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布或這種正態(tài)分布稱為

11、標準正態(tài)分布或 z 分分 布，記為布，記為 N (0，12)，這一變換也稱為標這一變換也稱為標 準化變換準化變換。 x Z 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用25 N(,2) N（0，1） 從一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)變?yōu)闃藴实恼龖B(tài)分布從一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)變?yōu)闃藴实恼龖B(tài)分布 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用26 標準正態(tài)分布的密度函數(shù)為標準正態(tài)分布的密度函數(shù)為 2 2 1 () 2 Z Xe 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用27 對上式求積分可得到標準正態(tài)變量對上式求積分可得到標準正態(tài)變量Z的分布函的分布函 數(shù)。數(shù)。 由于積分計算繁瑣，統(tǒng)計學家按標準正態(tài)分布由于積分計算繁瑣，統(tǒng)計學家按標準正態(tài)分布 的累積概率分布函數(shù)的累積概

12、率分布函數(shù) (-Z)編制了附表編制了附表2 （P315），標準正態(tài)分布曲線下的面積，由表），標準正態(tài)分布曲線下的面積，由表 可查出曲線下某區(qū)間的面積?？刹槌銮€下某區(qū)間的面積。 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用28 0Z 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用29 標準正態(tài)分布查表標準正態(tài)分布查表 -2.62 Z=-2.62 z0.00 0.01 0.02 -3.0 0.00130.00130.0013 -2.9 0.00190.00180.0018 -2.8 0.00260.00250.0024 -2.7 0.00350.00340.0033 -2.6 0.00470.00450.0044 -2.5 0.00

13、620.00600.0059 Standardized Normal Probability Table(p261)P=0.0044 概率概率 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用30 查附表查附表2時注意事項：時注意事項： 曲線下橫軸上的總面積為曲線下橫軸上的總面積為100%或或1； 表中曲線下面積為表中曲線下面積為-到到Z的面積；的面積； 對于服從正態(tài)分布的變量對于服從正態(tài)分布的變量x，先進行標準，先進行標準 化變換（化變換（ ），然后借助標準正態(tài)分），然后借助標準正態(tài)分 布表可得到任意布表可得到任意(x1, x2)范圍內(nèi)的面積或范圍內(nèi)的面積或 頻數(shù)比例。頻數(shù)比例。 X Z 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應

14、用31 圖4.7 查表法求標準正態(tài)曲線下面積示意圖 Z1 Z2 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用 計算正態(tài)曲線下面積實例計算正態(tài)曲線下面積實例 例例 4.21 已知已知z1=-1.76，z2=-0.25，欲求標準正態(tài)下，欲求標準正態(tài)下 （-1.76 ， -0.25)范圍的面積。范圍的面積。 查表查表(-1.76)=0.0392 ；(-0.25)=0.4013 則則D=(-0.25)- (-1.76)=0.3621 (-z)-1z)(0z 0z2 性，即，可利用正態(tài)分布對稱對于 查；范圍內(nèi)面積，可以直接中，對于在附表 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用 例例4.22 已知已知z1=-1.20，z2=1.60，

15、欲求標準正，欲求標準正 態(tài)下（態(tài)下（-1.20 ， 1.60)范圍的面積。范圍的面積。 查表查表(-1.20)=0.1151 ； (1.60)=1-0.0548=0.9452 則則 D=(1.60)-(-1.20)=0.8301 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用 曲線下面積分布規(guī)律曲線下面積分布規(guī)律 標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布 正態(tài)分布正態(tài)分布 面積或概率面積或概率 -11 -1.64-1.64 1.64 68.27% 90% -1.961.96 1.96 95% -2.582.58 2.58 99% 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用35 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用36 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用37 醫(yī)學

16、統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用38 1 1.2001.672 1.58 0.298 z 2 1.5001.672 0.58 0.298 z 21 ()( )0.28100.05710.223922.39%zzD 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用39 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用40 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用41 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用42 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用43 單側(cè)下限單側(cè)下限-過低異常過低異常 單側(cè)上限單側(cè)上限-過高異常過高異常 雙側(cè)雙側(cè)-過高、過低均異常過高、過低均異常 單側(cè)下限單側(cè)下限 異常異常 正常正常 單側(cè)上限單側(cè)上限 異常異常正常正常 異常異常 正常正常 雙側(cè)下限雙側(cè)下限雙側(cè)上限雙

17、側(cè)上限 異常異常 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用44 XZS XZS XZS 1 lglg lg() xx XZS 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用45 表表4.6 參考值范圍的制定參考值范圍的制定 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用46 X 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用47 X X 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用48 正常人 病人 假陽性率假陰性率 病人 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用49 X 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用50 1.641.6721.640.2981.183(L)XS 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用51 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用52 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用53 6 .43)263%95282( 11 0 .8 0 .40 )%95( L 95 9595 fn f i LP 醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用54 正常人 病人 假陽性