2011年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）及解析

1、2011年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、填空題（共14小題，每小題4分，滿分56分）1、（2011上海）若全集u=r，集合a=x|x1，則cua=x|x1考點(diǎn)：補(bǔ)集及其運(yùn)算。專題：計(jì)算題。分析：由補(bǔ)集的含義即可寫出答案解答：解：全集u=r，集合a=x|x1，cua=x|x1故答案為：x|x1點(diǎn)評(píng)：本題考查補(bǔ)集的含義2、（2011上海）計(jì)算limn（13nn+3）=2考點(diǎn)：極限及其運(yùn)算。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)題意，對(duì)于3nn+3，變形可得31+3n，分析可得，當(dāng)n時(shí)，有31+3n的極限為3；進(jìn)而可得答案解答：解：對(duì)于3nn+3，變形可得31+3n，當(dāng)n時(shí)，有31+3n3；則原式=2；故答案為：

2、2點(diǎn)評(píng)：本題考查極限的計(jì)算，需要牢記常見的極限的化簡方法3、（2011上海）若函數(shù)f（x）=2x+1 的反函數(shù)為f1（x），則f1（2）=32考點(diǎn)：反函數(shù)。專題：計(jì)算題。分析：問題可轉(zhuǎn)化為已知f（x0）=2，求x0的值，解方程即可解答：解：設(shè)f（x0）=2，即2x0+1=2，解得x0=32故答案為32點(diǎn)評(píng)：本題考查反函數(shù)的定義，利用對(duì)應(yīng)法則互逆可以避免求解析式，簡化運(yùn)算4、（2011上海）函數(shù)y=2sinxcosx的最大值為5考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值。專題：計(jì)算題。分析：利用輔角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡整理，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得其最大值解答：解：y=2sinxcosx=5sin（x+）5故答案為：5

3、點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的最值要求能對(duì)輔角公式能熟練應(yīng)用5、（2011上海）若直線l過點(diǎn)（3，4），且（1，2）是它的一個(gè)法向量，則直線l的方程為x+2y11=0考點(diǎn)：直線的點(diǎn)斜式方程；向量在幾何中的應(yīng)用。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)直線的法向量求出方向向量，求出直線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式方程求出直線方程解答：解：直線的法向量是（1，2），直線的方向向量為：（2，1），所以直線的斜率為：12，所以直線的方程為：y4=12（x3），所以直線方程為：x+2y11=0故答案為：x+2y11=0點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查直線的法向量，方向向量以及直線的斜率的求法，考查計(jì)算能力6、（2011上海）不等式1

4、x1的解為x|x1或x0考點(diǎn)：其他不等式的解法。專題：計(jì)算題。分析：通過移項(xiàng)、通分；利用兩個(gè)數(shù)的商小于0等價(jià)于它們的積小于0；轉(zhuǎn)化為二次不等式，通過解二次不等式求出解集解答：解：1x11xx0即即x（x1）0解得x1或x0故答案為x|x1或x0點(diǎn)評(píng)：本題考查將分式不等式通過移項(xiàng)、通分轉(zhuǎn)化為整式不等式、考查二次不等式的解法注意不等式的解以解集形式寫出7、（2011上海）若一個(gè)圓錐的主視圖（如圖所示）是邊長為3，3，2的三角形，則該圓錐的側(cè)面積為3考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)圓錐的主視圖是邊長為3，3，2的三角形，得到圓錐的母線長是3，底面直徑是2，代入圓錐的側(cè)面積公式，得

5、到結(jié)果解答：解：圓錐的主視圖是邊長為3，3，2的三角形，圓錐的母線長是3，底面直徑是2，圓錐的側(cè)面積是rl=13=3，故答案為：3點(diǎn)評(píng)：本題考查由三視圖求表面積和體積，考查圓錐的三視圖，這是比較特殊的一個(gè)圖形，它的主視圖與側(cè)視圖相同，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題8、（2011上海）在相距2千米的a、b兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)c，若cab=75，cba=60，則a、c兩點(diǎn)之間的距離為6千米考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用。專題：計(jì)算題。分析：先由a點(diǎn)向bc作垂線，垂足為d，設(shè)ac=x，利用三角形內(nèi)角和求得acb，進(jìn)而表示出ad，進(jìn)而在rtabd中，表示出ab和ad的關(guān)系求得x解答：解：由a點(diǎn)向bc作垂線，垂足為d，設(shè)ac=

6、x，cab=75，cba=60，acb=1807560=45ad=22x在rtabd中，absin60=22xx=6（千米）答：a、c兩點(diǎn)之間的距離為6千米故答案為：6點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用主要是利用了三角形中45和60這兩個(gè)特殊角，建立方程求得ac9、（2011上海）若變量x，y 滿足條件&3xy0&x3y+50，則z=x+y得最大值為52考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃。專題：計(jì)算題。分析：先畫出滿足約束條件&3xy0&x3y+50的平面區(qū)域，然后求出目標(biāo)函數(shù)z=x+y取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)即可求出答案解答：解：滿足約束條件&3xy0&x3y+50的平面區(qū)域如下圖所

7、示：由圖分析，當(dāng)x=58，y=158時(shí)，z=x+y取最大值52，故答案為52點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡單線性規(guī)劃，其中畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，找出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解點(diǎn)的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵10、（2011上海）課題組進(jìn)行城市空氣質(zhì)量調(diào)查，按地域把24個(gè)城市分成甲、乙、丙三組，對(duì)應(yīng)的城市數(shù)分別為4，12，8，若用分層抽樣抽取6個(gè)城市，則丙組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為2考點(diǎn)：分層抽樣方法。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)本市的甲、乙、丙三組的數(shù)目，做出全市共有組的數(shù)目，因?yàn)橐槿?個(gè)城市作為樣本，得到每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，用概率乘以丙組的數(shù)目，得到結(jié)果解答：解：某城市有甲、乙、丙三組，對(duì)應(yīng)的城市數(shù)分別為4，12

8、，8本市共有城市數(shù)24，用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為6的樣本每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是624=14，丙組中對(duì)應(yīng)的城市數(shù)8，則丙組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為148=2，故答案為2點(diǎn)評(píng)：本題考查分層抽樣，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是理解在抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，做出一種情況的概率，問題可以解決11、（2011上海）行列式abcd（a，b，c，d1，1，2）所有可能的值中，最大的是6考點(diǎn)：二階行列式的定義。專題：計(jì)算題。分析：先按照行列式的運(yùn)算法則，直接展開化簡得adbc，再根據(jù)條件a，b，c，d1，1，2進(jìn)行分析計(jì)算，比較可得其最大值解答：解：abcd=adbc，a，b，c，d1，1，2ad的

9、最大值是：22=4，bc的最小值是：12=2，adbc的最大值是：6故答案為：6點(diǎn)評(píng)：本題考查二階行列式的定義、行列式運(yùn)算法則，是基礎(chǔ)題12、（2011上海）在正三角行abc中，d是bc上的點(diǎn)若ab=3，bd=1，則abad=152考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用。專題：計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想。分析：根據(jù)ab=3，bd=1，確定點(diǎn)d在正三角形abc中的位置，根據(jù)向量加法滿足三角形法則，把a(bǔ)d用ab，bc表示出來，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則和定義式即可求得abad的值解答：解：ab=3，bd=1，d是bc上的三等分點(diǎn)，ad=ab+bd=ab+13bc，abad=ab（ab+13bc）=ab2+13a

10、bbc=913912=152，故答案為152點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題考查向量的加法和數(shù)量積的運(yùn)算法則和定義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想13、（2011上海）隨機(jī)抽取的9位同學(xué)中，至少有2位同學(xué)在同一月份出生的概率為0.985（默認(rèn)每個(gè)月的天數(shù)相同，結(jié)果精確到0.001）考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式。專題：計(jì)算題。分析：本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)129，至少有2位同學(xué)在同一個(gè)月出生的對(duì)立事件是沒有人生日在同一個(gè)月，共有a129種結(jié)果，根據(jù)對(duì)立事件和古典概型的概率公式得到結(jié)果解答：解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)129，至少有2位同學(xué)在同一個(gè)月出生的對(duì)立事件是沒有人

11、生日在同一個(gè)月，共有a129種結(jié)果，要求的事件的概率是1a1291290.985，故答案為：0.985點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式，考查對(duì)立事件的概率，是一個(gè)基礎(chǔ)題，也是一個(gè)易錯(cuò)題，注意本題的運(yùn)算不要出錯(cuò)14、（2011上海）設(shè)g（x） 是定義在r 上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)f（x）=x+g（x） 在區(qū)間0，1上的值域?yàn)?，5，則f（x） 在區(qū)間0，3上的值域?yàn)?，7考點(diǎn)：函數(shù)的值域；函數(shù)的周期性。專題：計(jì)算題。分析：先根據(jù)g（x） 是定義在r 上，以1為周期的函數(shù)，令x+1=t進(jìn)而可求函數(shù)在1，2時(shí)的值域，再令x+2=t可求函數(shù)在2，3時(shí)的值域，最后求出

12、它們的并集即得（x） 在區(qū)間0，3上的值域解答：解：g（x）為r上周期為1的函數(shù)，則g（x）=g（x+1）函數(shù)f（x）=x+g（x）在區(qū)間0，1【正好是一個(gè)周期區(qū)間長度】的值域是2，5令x+1=t，當(dāng)x0，1時(shí)，t=x+11，2此時(shí)，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=x+g（x）+1所以，在t1，2時(shí)，f（t）1，6（1）同理，令x+2=t，在當(dāng)x0，1時(shí)，t=x+22，3此時(shí)，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）=x+g（x）+2所以，當(dāng)t2，3時(shí)，f（t）0，7（2）由已知條件及（1）（2）得到，f（x）在區(qū)間0，3上

13、的值域?yàn)?，7故答案為：2，7點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的值域、函數(shù)的周期性考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答二、選擇題（共4小題，每小題5分，滿分20分）15、（2011上海）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（0，+） 上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）a、y=x2b、y=x1c、y=x2d、y=x13考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)冪函數(shù)奇偶性與單調(diào)性與指數(shù)部分的關(guān)系，我們逐一分析四個(gè)答案中冪函數(shù)的性質(zhì)，即可得到答案解答：解：函數(shù)y=x2，既是偶函數(shù)，在區(qū)間（0，+） 上單調(diào)遞減，故a正確；函數(shù)y=x1，是奇函數(shù)，在區(qū)間（0，+） 上單調(diào)遞減，故b錯(cuò)

14、誤；函數(shù)y=x2，是偶函數(shù)，但在區(qū)間（0，+） 上單調(diào)遞增，故c錯(cuò)誤；函數(shù)y=x13，是奇函數(shù)，在區(qū)間（0，+） 上單調(diào)遞增，故d錯(cuò)誤；故選a點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)奇偶性的判斷，其中指數(shù)部分也冪函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵16、（2011上海）若a，br，且ab0，則下列不等式中，恒成立的是（）a、a2+b22abb、a+b2abc、1a+1b2abd、ba+ab2考點(diǎn)：基本不等式。專題：綜合題。分析：利用基本不等式需注意：各數(shù)必須是正數(shù)不等式a2+b22ab的使用條件是a，br解答：解：對(duì)于a；a2+b22ab所以a錯(cuò)對(duì)于b，c，雖然ab0，只能說明a，b同

15、號(hào)，若a，b都小于0時(shí)，所以b，c錯(cuò)ab0ba+ab2故選d點(diǎn)評(píng)：本題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，必須注意滿足的條件：已知、二定、三相等17、（2011上海）若三角方程sinx=0 與sin2x=0 的解集分別為e，f，則（）a、efb、efc、e=fd、ef=考點(diǎn)：正弦函數(shù)的定義域和值域；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用。專題：計(jì)算題。分析：利用正弦函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵，注意整體思想的運(yùn)用，結(jié)合集合的包含關(guān)系進(jìn)行判斷驗(yàn)證解答：解：由題意e=x|x=k，kz，由2x=k，得出x=k2，kz故f=x|x=k2，kz，xe，可以得出xf，反之不成立，故e是f的真子集，a符合故選a點(diǎn)

16、評(píng)：本題考查正弦函數(shù)零點(diǎn)的確定，考查集合包含關(guān)系的判定，考查學(xué)生的整體思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查學(xué)生的推理能力，屬于三角方程的基本題型18、（2011上海）設(shè)a1，a2，a3，a4是平面上給定的4個(gè)不同點(diǎn)，則使ma1+ma2+ma3+ma4=0成立的點(diǎn)m 的個(gè)數(shù)為（）a、0b、1c、2d、4考點(diǎn)：向量的加法及其幾何意義。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)所給的四個(gè)固定的點(diǎn)，和以這四個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)的向量的和是一個(gè)零向量，根據(jù)向量加法法則，知這樣的點(diǎn)是一個(gè)唯一確定的點(diǎn)解答：解：根據(jù)所給的四個(gè)向量的和是一個(gè)零向量ma1+ma2+ma3+ma4=0，當(dāng)a1，a2，a3，a4是平面上給定的4個(gè)不同點(diǎn)確定以后，在平面上

17、有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足使得四個(gè)向量的和對(duì)于零向量，故選b點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的加法及其幾何意義，考查向量的和的意義，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題，沒有具體的運(yùn)算，是一個(gè)概念題目三、解答題（共5小題，滿分74分）19、（2011上海）已知復(fù)數(shù)z1滿足（z12）（1+i）=1i（i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1z2是實(shí)數(shù)，求z2考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算。專題：計(jì)算題。分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出z1，設(shè)出復(fù)數(shù)z2；利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則求出z1z2；利用當(dāng)虛部為0時(shí)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，求出z2解答：解：z12=1i1+i=（1i）（1i）（1+i）（1i）=iz1=2i設(shè)z2=a+2i（ar）z1z2=（

18、2i）（a+2i）=（2a+2）+（4a）iz1z2是實(shí)數(shù)4a=0解得a=4所以z2=4+2i點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的除法、乘法運(yùn)算法則、考查復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件是虛部為020、（2011上海）已知abcda1b1c1d1是底面邊長為1的正四棱柱，高aa1=2，求（1）異面直線bd 與ab1所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（2）四面體ab1d1c 的體積考點(diǎn)：異面直線及其所成的角；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積。專題：計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；分類討論。分析：（1）根據(jù)題意知dc1ab1bdc1就是異面直線bd 與ab1所成角，解三角形即可求得結(jié)果（2）vab1d1c=vabcda1b1c1d1vb1ab

19、cvd1acdvda1c1d1vba1b1c1，而vabcda1b1c1d1vb1abcvd1acdvda1c1d1vba1b1c1易求，即可求得四面體ab1d1c 的體積解答：解：（1）連接dc1，bc1，易知dc1ab1，bdc1就是異面直線bd 與ab1所成角，在bdc1中，dc1=bc1=5，bd=2，cosbdc1=225=1010，bdc1=aeccos1010（2）vab1d1c=vabcda1b1c1d1vb1abcvd1acdvda1c1d1vba1b1c1而vabcda1b1c1d1=sabcdaa1=12=2，vb1abc=vd1acd=vda1c1d1=vba1b1c1

20、=13122vab1d1c2413122=23點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)基礎(chǔ)題考查異面直線所成角和棱錐的體積問題，求解方法一般是平移法，轉(zhuǎn)化為平面角問題來解決，和利用割補(bǔ)法求棱錐的體積問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想21、（2011上海）已知函數(shù)f（x）=a2x+b3x，其中常數(shù)a，b 滿足ab0（1）若ab0，判斷函數(shù)f（x） 的單調(diào)性；（2）若ab0，求f（x+1）f（x） 時(shí)的x 的取值范圍考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)。專題：計(jì)算題。分析：（1）先把a(bǔ)b0分為a0，b0與a0，b0兩種情況；然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可作出判斷（2）把a(bǔ)b0分為a0，b0與a0，b0兩種情況；

21、然后由f（x+1）f（x）化簡得a2x2b3x，再根據(jù)a的正負(fù)性得（23）x2ba或（23）x2ba；最后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出x的取值范圍解答：解：（1）若a0，b0，則y=a2x與y=b3x均為增函數(shù)，所以f（x）=a2x+b3x在r上為增函數(shù)；若a0，b0，則y=a2x與y=b3x均為減函數(shù)，所以f（x）=a2x+b3x在r上為減函數(shù)（2）若a0，b0，由f（x+1）f（x）得a2x+1+b3x+1a2x+b3x，化簡得a2x2b3x，即（23）x2ba，解得xlog232ba；若a0，b0，由f（x+1）f（x）可得（23）x2ba，解得xlog232ba點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單

22、調(diào)性及分類討論的方法22、（2011上海）已知橢圓c：x2m2+y2=1（常數(shù)m1），p是曲線c上的動(dòng)點(diǎn)，m是曲線c上的右頂點(diǎn)，定點(diǎn)a的坐標(biāo)為（2，0）（1）若m與a重合，求曲線c的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若m=3，求|pa|的最大值與最小值；（3）若|pa|的最小值為|ma|，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)。專題：綜合題；轉(zhuǎn)化思想。分析：（1）根據(jù)題意，若m與a重合，即橢圓的右頂點(diǎn)的坐標(biāo)，可得參數(shù)a的值，已知b=1，進(jìn)而可得答案；（2）根據(jù)題意，可得橢圓的方程，變形可得y2=1x29；而|pa|2=（x2）2+y2，將y2=1x29代入可得，|pa|2=8x294x+5，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)

23、，又由x的范圍，分析可得，|pa|2的最大與最小值；進(jìn)而可得答案；（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)p（x，y），類似與（2）的方法，化簡可得|pa|2=m21m2（x2m2m21）2+4m2m21+5，且mxm；根據(jù)題意，|pa|的最小值為|ma|，即當(dāng)x=m時(shí)，|pa|取得最小值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分析可得，2m2m21m，且m1；解可得答案解答：解：（1）根據(jù)題意，若m與a重合，即橢圓的右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）；則a=2；橢圓的焦點(diǎn)在x軸上；則c=3；則橢圓焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），（3，0）；（2）若m=3，則橢圓的方程為x29+y2=1；變形可得y2=1x29，|pa|2=（x2）2+y2=x24x+4+

24、y2=8x294x+5；又由3x3，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分析可得，x=3時(shí)，|pa|2=8x294x+5取得最大值，且最大值為25；x=94時(shí)，|pa|2=8x294x+5取得最小值，且最小值為12；則|pa|的最大值為5，|pa|的最小值為22；（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)p（x，y），則|pa|2=（x2）2+y2=x24x+4+y2=m21m2（x2m2m21）2+4m2m21+5，且mxm；當(dāng)x=m時(shí)，|pa|取得最小值，且m21m20，則2m2m21m，且m1；解得1m1+2點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的基本性質(zhì)，解題時(shí)要結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，注意換元法的運(yùn)用即可23、（2011上海）已知數(shù)列an 和bn 的通項(xiàng)公式分別為an=3n+6，bn=2n+7 （nn*）將集合x|x=an，nn*x|x=bn，nn*中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1，c2，c3，cn，（1）求三個(gè)最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列an 中的項(xiàng)，又是數(shù)列bn中的項(xiàng)；（2）數(shù)列c1，c2，c3，c40中有多少項(xiàng)不是數(shù)列bn中的項(xiàng)？請(qǐng)說明理由；（3）求數(shù)列cn的前4n 項(xiàng)和s4n（nn*）考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：（1）分別由數(shù)列an 和b