55充分統(tǒng)計(jì)量（收藏）

1、55充分統(tǒng)計(jì)量 一、充分性的概念一、充分性的概念 不損失信息的統(tǒng)計(jì)量就是充分統(tǒng)計(jì)量不損失信息的統(tǒng)計(jì)量就是充分統(tǒng)計(jì)量.它概括了樣本中所含未知參數(shù)的全它概括了樣本中所含未知參數(shù)的全 部信息部信息. 例例1 為研究某運(yùn)動(dòng)員的打靶命中率為研究某運(yùn)動(dòng)員的打靶命中率, 對其進(jìn)行測試。觀測對其進(jìn)行測試。觀測10次，發(fā)現(xiàn)除第三、六次次，發(fā)現(xiàn)除第三、六次 未命中外，其余八次都命中。此觀測結(jié)果包括兩種信息：未命中外，其余八次都命中。此觀測結(jié)果包括兩種信息： （1）打靶）打靶10次命中次命中8次；次； （2）兩次未命中出現(xiàn)在第三、六次打靶上。）兩次未命中出現(xiàn)在第三、六次打靶上。 例例2 設(shè)總體設(shè)總體X分布為分布為b

2、(1,), X1 , X2, Xn是取自總體的樣本，令是取自總體的樣本，令T=X1 +.+Xn , 則在則在 給定給定T 的取值的取值 t 后后, 對任意一組對任意一組 , 有有 12 1 (,.,),() n ni i xxxxt 11 (,|) nn P XxXxTt 1 1111 1 1 (,) () n nnni i n i i P XxXxXtx PXt 11 11 ()() (1) nn iini ii ttn t n P XxP Xtx C 11 11 11 1 1 (1)(1) (1) nn ii iiii ntxtx xx i ttnt n C (1)1 (1) tn t t

3、tn tt nn CC 該條件分布與該條件分布與無關(guān)，因而無關(guān)，因而T是充分統(tǒng)計(jì)量。是充分統(tǒng)計(jì)量。 注注1：用條件分布與未知參數(shù)無關(guān)來表示統(tǒng)計(jì)量不損失樣本中有價(jià)值的信息的方法是可用條件分布與未知參數(shù)無關(guān)來表示統(tǒng)計(jì)量不損失樣本中有價(jià)值的信息的方法是可 行的行的. 2：充分統(tǒng)計(jì)量不唯一充分統(tǒng)計(jì)量不唯一. 實(shí)際上實(shí)際上, 樣本本身就是參數(shù)的一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量樣本本身就是參數(shù)的一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量. 由此由此, 充分統(tǒng)計(jì)量充分統(tǒng)計(jì)量 總存在總存在. 3：若樣本容量為若樣本容量為n, （在上例中）則（在上例中）則T1=x1+x2不是充分統(tǒng)計(jì)量不是充分統(tǒng)計(jì)量. 顯然顯然,它浪費(fèi)了它浪費(fèi)了n-2個(gè)樣品個(gè)樣品 的信息的

4、信息. 定義定義: 12 1 1 ,( ; ) ( , ,. n n n x xxF x TT xx T xx (也稱為 該分布的充分統(tǒng)計(jì)量) 設(shè)是總體分布函數(shù)為的樣本， 統(tǒng)計(jì)量)稱為 的充分統(tǒng)計(jì)量 ,如果在(任意)給定 值后, 樣本的條件分布與 無關(guān) 注：注：條件分布可用條件分布列或條件密度函數(shù)來表示條件分布可用條件分布列或條件密度函數(shù)來表示. 定理定理1：設(shè)設(shè)T=T(x1,xn)是參數(shù)是參數(shù)的一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量，的一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量，z=(t)具有單值反函數(shù)，則具有單值反函數(shù)，則Z=(T) 也是也是的一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量.（即充分統(tǒng)計(jì)量經(jīng)一一對應(yīng)變換后仍是充分統(tǒng)計(jì)量）（即充分統(tǒng)計(jì)量經(jīng)一一

5、對應(yīng)變換后仍是充分統(tǒng)計(jì)量） T T和和可以是向量可以是向量, ,維維 數(shù)不一定相同數(shù)不一定相同 定理定理2： 以下統(tǒng)稱分布列和密度函數(shù)為概率函數(shù)以下統(tǒng)稱分布列和密度函數(shù)為概率函數(shù). 111 ( ,.,; ) ( ,), ( ,) nnn p xxg T xxh xx 1 1 1 1 ( ,), ( ;, ( , ( , ) , n n n n h xx p xxx TT xx g t xx 充要 設(shè)總體的概率函數(shù)為),是樣本，則 統(tǒng)計(jì)量)為充分統(tǒng)計(jì)量的是: 存在兩個(gè)函數(shù)和使得對任意的 和任一組觀測值 條件 有 二、因子分解定理二、因子分解定理 其中其中g(shù)( t,)是通過統(tǒng)計(jì)量是通過統(tǒng)計(jì)量T 的

6、取值而依賴于樣本的，的取值而依賴于樣本的， 而而h(x1,xn)不依賴于不依賴于. 例例4 設(shè)設(shè)x1 , x2, xn是取自總體是取自總體N(,1) 的樣本，的樣本， 令令 , 則則T 為為 的充分的充分 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量. Tx 1 (,) n pxx 222 11 ()()() nn ii ii xxxn x 而 2 2 1 1 (2 )exp() 2 n n i i x 22 2 1 11 (2 )exp() exp() 22 n n i i xxn x 2 1 , ( , )exp() 2 Txg tn t取并令 2 2 1 1 1 (,)(2 )exp() 2 n n ni i h xx

7、xx 由因子分解定理可知由因子分解定理可知, , 是是的充分統(tǒng)計(jì)量。的充分統(tǒng)計(jì)量。Tx 證： 例例5 設(shè)總體設(shè)總體X分布為分布為U(0,), x1 , x2, xn是取自總體的樣本，則是取自總體的樣本，則T=x(n) 是是 的充分統(tǒng)的充分統(tǒng) 計(jì)量計(jì)量. 1/,0 ( ;) 0, x p x else 1 0min max (1/ ) ( ; )(; ) 0 n ii n xx p xp x else ， ， (1) ( )10 ,( , )(1/ ),( ,) n ntnx Txg tIh xxI 取并令 由因子分解定理可知由因子分解定理可知, ,T=x (n)是是的充分統(tǒng)計(jì)量。的充分統(tǒng)計(jì)量。

8、 證：證： ()(1) 0 (1 /) n n xx II 22 2 1 2 1 1 (,;)(2)exp() 2 n n ni i p xxx 例例6 設(shè)總體設(shè)總體X分布為分布為N(,2), x1 , x2, xn是取自總體的樣本，是取自總體的樣本，=( ,2) 是未知的是未知的, 則則 是是的充分統(tǒng)計(jì)量的充分統(tǒng)計(jì)量. 進(jìn)一步進(jìn)一步, 它的一一對應(yīng)變換它的一一對應(yīng)變換 仍是充分統(tǒng)計(jì)量仍是充分統(tǒng)計(jì)量. 2 12 11 ( ,)(,) nn ii ii Tttxx 證：證： 2 22 2 22 11 1 (2)expexp(2) 22 nn n ii ii n xx 2 12 11 , , nn

9、 ii ii txtx 取并令 2 2 2 1221 22 1 1 ( ,; )(2)expexp(2) 22 (,)1 . n n n g t ttt h xx 即可 2 ( ,)x s 注：注：若若是參數(shù)向量，是參數(shù)向量，T是隨機(jī)向量，且滿足因子分解定理的條件，則是隨機(jī)向量，且滿足因子分解定理的條件，則T是是的充的充 分統(tǒng)計(jì)量分統(tǒng)計(jì)量. 但不能由但不能由T關(guān)于關(guān)于是充分的是充分的, 推出推出T 的第的第i 個(gè)分量關(guān)于個(gè)分量關(guān)于的第的第i 個(gè)分量也個(gè)分量也 是充分的是充分的. 例例7. 設(shè)設(shè)x1 , x2, xn是取自均勻分布是取自均勻分布U(,2)的樣本，其中參數(shù)的樣本，其中參數(shù)0，試給出充，試給出充 分統(tǒng)計(jì)量分統(tǒng)計(jì)量. 例例8 設(shè)設(shè)x1 , x2, xn是取自總體是取自總體X的樣本，其中的樣本，其中X的密度為的密度為 1 ( ;), 01,0p xxx 1 1 1 (,.; )() n n ni i p xxx 1 1 1 ,( , ), (,)1 n n in i Txg tth xx 取并令 試給出一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量試給出一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量. (P283) 由因子分解定理可知由因子分解定理可知, , 是是的充分統(tǒng)計(jì)量。的充分統(tǒng)計(jì)量。 1 n i i Tx 注：注：因?yàn)槌?/p>