數(shù)列通項解法大全

1、學習好資料歡迎下載數(shù)列通項總結(jié)、累加法（逐差相減法）1、an*=an+d （ d為常數(shù)），等差數(shù)列2、an + = an + f (n)，變形為 an41 -an = f (n)，前提 f (1) + + f (n 一1)可求an - an=f (n - O an 丄一an _2 = f (n 2)a2 - ai = f (1)這n-1個等式累加得：an -ai = f(1) + f (2)十+ f (n -1)例1:已知數(shù)列（aj滿足a- , an+ =an十二，求a.。2n+ n例 2:已知數(shù)列an中a1 =1，且 a2k =a2k+（1）k，玄鳥葉=a2k + 3k，k= 1,2,3（1

2、）求a3,a5（2）求an的通項公式.二、累積法（逐商相乘法）1、anH! =qan （ q為常數(shù)），等比數(shù)列2、anH1=f( n)an，變形為= f (n)，an前提 f (1)x f (2)XXf (n-1)可求a nr /八一 =f(n -1)anJ-也=f( n-2)an4這門-1個等式累乘得：f (1)x f (2- X f(n-1) a1屯=f(1)a1例1:已知數(shù)列Qn 滿足a-，anHt =3n+13n -1例 2:已知 a1 = 3， an + -3 an (n 王 1)，求 an。3n 2nan，求 an。三、公式法an = Sn Sn 斗(n 色 2)， an 十=Sn

3、 十 一 Sn( n 二 1)例1：已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn滿足S1 1且6Sn =(an+1)(an+2) n N 求an的通項公式。解：由印=S,=佝+1)(6+2)解得a1=1或a1 =2，由已知q = S, 1，因此a1 =2 611又由an廠Sn卡-Sn七佝十+1)(%專+ 2)工佝+ 1)(% +2)得66(an 卡中 an )(anan -3) =0- an 0 - - anJ -務=3從而an是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，故an的通項為an =2+3(n-1)=3n-1.例2:已知數(shù)列an 前門項和Sn=4-an-夬.(1) 求an卅與an的關系；(2)求通

4、項公式a四、待定系數(shù)法 1、anH! = pan +q (其中p，q均為常數(shù)，(p q( p- 1)工0)。把原遞推公式轉(zhuǎn)化為:an=p(an -t)，其中匕，令 bn卄，則b卄pbn等比數(shù)列例1:已知數(shù)列aj中，6=1， a卄=2an+3，求an.2、“p，兩邊同除以q-M，訐獸+ q例2：已知數(shù)列3中，心，詁+(嚴，求an。3、an+ = pan ( p 0,an 0) logan+ = logpan =logp+Nogan = r logan+ logp等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為an十=Pan +q例1:已知數(shù)列 an中，a1 =1,an+= 320)，求數(shù)列的通項公式.a例2：已知數(shù)列an

5、的各項都是正數(shù)，且滿足：a。=1,an+Wan(4-an),n- N.求數(shù)列an的通項公式an 4、an+ = pan +an +b (p 10，a0)利用待定系數(shù)法 構(gòu)造等比數(shù)列，即令an+ +x(n+1) + y = p(an +xn + y)，與已知遞推式比較，解出X, y,從而轉(zhuǎn)化為an+xn+y是公比為p的等比數(shù)列。例 1:設數(shù)列 laj: aj =4, an =3an+2n -1,(n 2)，求 an.5、an+ +an = pn +q 或 an屮 n = pqn轉(zhuǎn)化為a2n 與右2n 是等差或等比數(shù)列求解。例 1:在數(shù)列an中，6 =1,an+ =6n an，求 an例 2:在數(shù)

6、列an中，a1 =1, a.an半=3n，求 a.五、取倒法an+，兩邊取倒:an +q1 an +qan11= 1+q，bn41 =，貝y bn41 =qbn +1 等an比數(shù)列，更一般：an+ =ranpan +q例1:已知數(shù)列 an，ai= -1，ann 亡 N*，求 an =？an + an例3：例2:若數(shù)列的遞推公式為 務=3,丄=丄-2(n- N)，則求這個數(shù)列的通項公式。已知數(shù)列 an滿足a1,n2時，an -a2anan，求通項公式。例4：已知數(shù)列 an滿足：an =an3 2+11=1,求數(shù)列 an的通項公式。例5:若數(shù)列 an 中，ai=1,2anan嚴二ne N+，求通項

7、an 六、特征方程法1、已知數(shù)列an的項滿足：a1=a且對于n亡N+，都有a1 =pan +q(其中P、ran +hq、r、h迂 R，且 ph Hqr,rH 一),稱方程 x =rpx十q為數(shù)列的特征方rx +h程.(1)當特征方程有兩個相同的特征根x時,(i )若ai =x,則數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列1(ii )若ax，則數(shù)列為等差數(shù)列。an -X(2) 當特征方程有兩個相異的特征根xi、X2時，貝擻列豆二空為等比數(shù)列。 a X2說明：(i ) Xi,X2的順序是任意的(ii )歸0與歸迄互為相反數(shù)，如果一個為整數(shù)，一個為分數(shù)，為了計an X2an Xi算方便，可取也為整數(shù)。O,且g求an的an

8、X2例1：已知數(shù)列an滿足性質(zhì)：對于n -N,an =通項公式.特征方程求根：-4-亠亠0，(x-3)(x + 1)=0.(2)根據(jù)根的情況判斷等比或等差，并求出：q =d_3，q42-32+1-3an +2 _5 an (-1)an 一3an 3an +2(4)換兀：令 bn = ，則 bndi =5bn，貝U,an -3bl_ ai (T) _ 3 ci 3bn=biqn=(3)5n(5)反解：(_3)5n=an(T)an 一3則an=曲二1n 1+3x53例2:已知數(shù)列an的首項,5n-誌，i，(I)求an的通項公式;解：其中數(shù)列an的通項公式的求解如下：3X ，特征根為人=1,入2 =

9、 0數(shù)列taj相應的 特征方程為X =2x+l所以數(shù)列山為等比數(shù)列，由a3,a-an5114a亡 _(_1)5an+5(3) 驗證：a*(=an十-34an 十3 3an中2得數(shù)列71的首項是公比是I，an311所以于一IT，解之得an= 2、形如an42 = pan出+qan（ p,q是常數(shù)）的數(shù)列形如a. =mi,a2 =m2,anH2 = pa.卅+qan（p,q是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項an，其特征方程為X2 = px +q（1）若有二異根 P，貝U可令an丸1+C2pn（C1,C2是待定常數(shù)）（2）若有二重根a = P，則可令an =（c, +nC2）an（G,q是待定常數(shù)）再利用a1 =m1,a2 =m2,可求得 sc?，進而求得a.例1:已知數(shù)列an滿足a. =2 =3,an2 =3an*-2an（n忘N ），求數(shù)列a.的通項an解：其特征方程為 X2 = 3x -2，解得 X. = 1, X2 = 2，令 an = Ci 1 n + C2 2，由阡22，得忙1 +4c2 =3C2/. an = 1 + 2n例2：已知數(shù)列an滿足a. =1,a2 =2,4an42 =4a