彈性力學(xué)第五章平面問題直角坐標(biāo)解

1、第五章第五章 平面問題平面問題 直角坐標(biāo)解 工程結(jié)構(gòu)的某些特殊形式，經(jīng)過適 當(dāng)簡化和力學(xué)模型的抽象處理，可 以歸結(jié)為彈性力學(xué)的平面問題。 例如水壩，受拉薄板等。 平面問題的特點是某些基本未知量 被限制在平面內(nèi)發(fā)生的。 本章的任務(wù)就是討論彈性力學(xué)平面問題： 平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題。 彈性力學(xué)平面問題主要使用應(yīng)力函數(shù)解 法，因此本章的工作從推導(dǎo)平面問題的 基本方程入手，引入應(yīng)力函數(shù)并且通過 例題求解，熟悉和掌握求解平面問題的 基本方法和步驟。 重點重點 1. 1. 平面應(yīng)變問題；平面應(yīng)變問題； 2. 2. 平面應(yīng)力問題；平面應(yīng)力問題； 3. 3. 應(yīng)力函數(shù)表達(dá)的平面問題基本方程；應(yīng)力函數(shù)表達(dá)的平面

2、問題基本方程； 4. 4. 應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì)；應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì)； 5. 5. 典型平面問題的求解。典型平面問題的求解。 目錄目錄 5-1 5-1 平面問題的基本概念與基本方程平面問題的基本概念與基本方程 5-2 5-2 用應(yīng)力法解平面問題用應(yīng)力法解平面問題 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 5-3 5-3 用代數(shù)多項式為應(yīng)力函數(shù)解平面問題用代數(shù)多項式為應(yīng)力函數(shù)解平面問題 5-4 5-4 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷 5-5 5-5 楔形體問題楔形體問題 5.1 平面問題的基本概念平面問題的基本概念 與基本方程與基本方程 平面問題平面問題 0)( 2 yx 萊維（萊維（Lvy）方程）方程 平面應(yīng)變平面應(yīng)變 平面

3、應(yīng)力平面應(yīng)力 變形與應(yīng)力變形與應(yīng)力 基本方程基本方程 應(yīng)力與變形應(yīng)力與變形 基本方程基本方程應(yīng)力解法應(yīng)力解法 5.1.1 5.1.1 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題 彈性體是具有很長的縱向彈性體是具有很長的縱向 軸的柱形物體，橫截面大軸的柱形物體，橫截面大 小和形狀沿軸線長度不變；小和形狀沿軸線長度不變； 作用外力與縱向軸垂直，作用外力與縱向軸垂直， 并且沿長度不變；柱體的并且沿長度不變；柱體的 兩端受固定約束。兩端受固定約束。 這類工程問題，我們可以認(rèn)為柱體是無限長這類工程問題，我們可以認(rèn)為柱體是無限長 的。如果從中任取一個橫截面，則柱形物體的。如果從中任取一個橫截面，則柱形物體 的形狀和所受載荷

4、將對此橫截面是對稱的。的形狀和所受載荷將對此橫截面是對稱的。 因此物體變形時，橫截面上的各點只能在其因此物體變形時，橫截面上的各點只能在其 自身平面內(nèi)移動。自身平面內(nèi)移動。 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題 設(shè)縱向軸為設(shè)縱向軸為z z軸，軸， 則沿則沿z z 方向的位移恒等于零，方向的位移恒等于零， 位移只能發(fā)生在位移只能發(fā)生在OxyOxy面面 內(nèi)。而且任一個橫截面內(nèi)。而且任一個橫截面 都是對稱面，因此只要都是對稱面，因此只要 具有相同的具有相同的x x、y y坐標(biāo)，坐標(biāo)， 則有相同的位移。所以則有相同的位移。所以 物體的位移為物體的位移為 yxz zxyzz 。0, 0 5.1.1 平面應(yīng)變問題平面

5、應(yīng)變問題2 根據(jù)上述的分析，可以將彈性力學(xué)的基本方程在根據(jù)上述的分析，可以將彈性力學(xué)的基本方程在 平面應(yīng)變問題（平面應(yīng)變問題（w=0)w=0)中大為簡化。中大為簡化。 將簡化為三個：將簡化為三個： 幾何方程幾何方程 x w z u z v y w y u x v z w y v x u zxyzxy zyx , xy xy uv xy vu xy 5.1.1 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題3 將簡化為三個：將簡化為三個： 本構(gòu)方程本構(gòu)方程 xz xz xz yz yz yz xy xy xy yxzz zxyy zyxx E v G E v G E v G v E v E v E 12 12 12

6、)( 1 )( 1 )( 1 2 2 1 1 1 1 2 () 1 0 () 1 zxy xxyx xy yx xy zxzzy y y xy xy vv Ev vv E v vvv E v v EG 將代入 5.1.1 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題4 平衡微分方程平衡微分方程 將簡化為兩個：將簡化為兩個： 0 0 0 yx xzx bx xyyzy by yz xzz bz F xyz F xyz F xyz 0 0 yx x bx xyy by F xy F xy 面力邊界條件 也簡化為兩個：也簡化為兩個： nmlF nmlF nmlF zyzxzsz zyyxysy xzxyxsx mlF

7、mlF yxysy xyxsx 5.1.1 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題5 變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程 由六個簡化為一個： yxzyxz zxzyxy zyzyxx zxxz zyzy yxyx z xy xz yz yxy xz yz x xy xz yz xzzx yzy z xy x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)( 2)( 2)( yxxy xyy x 2 2 2 2 2 5.1.1 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題6 5.1.2 5.1.2 平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的力 學(xué)模型是完全不同的。 平面應(yīng)力問題討論的彈性體為薄

8、板 ，如圖所示。 薄壁厚度為h遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)另外兩個方向的尺度。 薄板的中面為平面，其所受外力，包括體力均平行于 中面Oxy面內(nèi)，并沿厚度方向Oz不變。而且薄板的兩 個表面不受外力作用。 根據(jù)薄板的表面面力邊界條件， 即表面不受外力作用，則 由于板很薄，外力沿厚度均勻分布，因此 應(yīng)力分量也沿厚度均勻分布，所以應(yīng)力分量 不隨z改變。根據(jù)邊界條件可得 而其余應(yīng)力分量為坐標(biāo)x, y的函數(shù)，即 應(yīng)力分量均發(fā)生在薄板的中面，稱為平面應(yīng)力問題。 5.1.2 平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題2 根據(jù)物理方程的第三式根據(jù)物理方程的第三式 ， 可得可得 與平面應(yīng)變問題相比較，這里與平面應(yīng)變問題相比較，這里z z00，這表

9、，這表 明薄板變形時，兩底面將發(fā)生畸變。但是由于平明薄板變形時，兩底面將發(fā)生畸變。但是由于平 板很薄，這種畸變也是很小的。板很薄，這種畸變也是很小的。 因此平面應(yīng)力問題的物理方程為因此平面應(yīng)力問題的物理方程為 )( 1 xyzz v E () zyx v E 1 1 2 1 0 xxy yyx xy xyxy xzzy v E v E v GE 5.1.2 平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題3 因此在平面應(yīng)力問題中，只有應(yīng)變 存在，而且這些應(yīng)變均為坐標(biāo)x，y的函數(shù)，與z無關(guān)。 根據(jù)與平面應(yīng)變問題相同的分析， 平面應(yīng)力問題的 基本方程也可以作相應(yīng)的簡化。 平衡、幾何、變形協(xié)調(diào)方程以及面力邊界條件均簡 化為

10、與平面應(yīng)變問題相同的形式。 ,),(, zyxyxyx v E 5.1.2 平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題4 平衡微分方程平衡微分方程 幾何方程幾何方程 變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程 邊界條件邊界條件 0 0 yx x bx xyy by F xy F xy y u x v y v x u xyyx mlF mlF yxysy xyxsx yxxy xyy x 2 2 2 2 2 5.1.2 平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題5 平面應(yīng)變平面應(yīng)變平面應(yīng)力平面應(yīng)力對比對比 z向位移w z向正應(yīng)力z 正應(yīng)變分量 )( yxz v w=0w0 2 2 1 1 1 1 21 0 xxy yxy xyxy zxzyz v

11、E v E v E 1 () 1 () 2 ) 0 1 ( zxy xxy yyx x zz y x yx y v E v E v v E E 0 z 5.1.3 基本方程基本方程1 平衡微分方程，幾何方程，變形協(xié)調(diào)方程以 及面力邊界條件相同。 平面應(yīng)力與平面應(yīng)變的不同主要在本構(gòu)方程， 對比可以注意到 ，當(dāng)以 v v v v E E 1 1 1 2 1 代入平面應(yīng)力問題的本構(gòu)方程，即得到平面 應(yīng)變問題的本構(gòu)方程。二者之間的差別只是 一個常數(shù)。 平面問題基本方程平面問題基本方程 5.1.3 基本方程基本方程2 平面應(yīng)力問題的近似性平面應(yīng)力問題的近似性 如果物體截面形狀及側(cè)面受力相同，平面 應(yīng)力和

12、平面應(yīng)變問題的基本方程和邊界條 件也相同。 因此兩類平面問題具有相同的應(yīng)力解答因此兩類平面問題具有相同的應(yīng)力解答。 但是二者z方向的正應(yīng)力不同； 應(yīng)變和位移表達(dá)式不同。 5.1.3 基本方程基本方程3 5.2 用應(yīng)力法解平面問題用應(yīng)力法解平面問題 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 平面問題應(yīng)力解的未知函數(shù)為3個應(yīng)力分量 求解2個平衡微分方程和1個變形協(xié)調(diào)方程 利用應(yīng)力函數(shù)可以簡化為一個未知應(yīng)力函 數(shù)對應(yīng)一個基本方程 yxxy xyyx f 2 2 f 2 2 f 2 yx xFyF bb 體力為0 體力為常數(shù) 彈性力學(xué)平面問題一般采用應(yīng)力解法彈性力學(xué)平面問題一般采用應(yīng)力解法，基本方程為平衡微，基本方程為平衡微

13、 分方程和變形協(xié)調(diào)方程。變形協(xié)調(diào)方程是應(yīng)變分量表達(dá)的，對于應(yīng)分方程和變形協(xié)調(diào)方程。變形協(xié)調(diào)方程是應(yīng)變分量表達(dá)的，對于應(yīng) 力解法，需要用基本未知量應(yīng)力分量來描述變形協(xié)調(diào)方程。力解法，需要用基本未知量應(yīng)力分量來描述變形協(xié)調(diào)方程。 yxyx yxyx xyy x yx xy xyyx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 12 y F x F yxxy by bx xy x y 2 2 2 2 2 2 5.2.1 平面問題的應(yīng)力協(xié)調(diào)方程平面問題的應(yīng)力協(xié)調(diào)方程1 對于對于平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題，將物理方程代入變形協(xié)調(diào)方程，可得，將物理方程代入變形協(xié)調(diào)方程，可得 可以利用平衡微分方程簡化上

14、式，既對平衡微分方程的兩個公式可以利用平衡微分方程簡化上式，既對平衡微分方程的兩個公式 分別對分別對x x，y y求偏導(dǎo)數(shù)后相加，可得求偏導(dǎo)數(shù)后相加，可得 0 0 yx x b x xyy b y F xy F xy 1 () 1 () 21 xxy yyx x yx y v E v E v E yxxy xyy x 2 2 2 2 2 回代到變形協(xié)調(diào)方程，并作整理可得回代到變形協(xié)調(diào)方程，并作整理可得 2 0 xy y F x F by bx yx 1 2 以以 代替上式中的代替上式中的，則得平面應(yīng)變問題的方程，則得平面應(yīng)變問題的方程 以上方程是平面應(yīng)變問題中的由應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)以上方程是平

15、面應(yīng)變問題中的由應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào) 方程，它表達(dá)了物體內(nèi)的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，稱為莫利斯方程，它表達(dá)了物體內(nèi)的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，稱為莫利斯. . 萊維（萊維（L Lvyvy，M.M.）方程。）方程。 1 1 y F x F by bx yx 1 1 2 在體力為常數(shù)的條件下，兩類平面問題的變形協(xié)調(diào)方程在體力為常數(shù)的條件下，兩類平面問題的變形協(xié)調(diào)方程 5.2.1 平面問題的應(yīng)力協(xié)調(diào)方程平面問題的應(yīng)力協(xié)調(diào)方程2 如果采用應(yīng)力作為基本未知量求解彈性力學(xué)平面問題，在常體力的條件下基本方如果采用應(yīng)力作為基本未知量求解彈性力學(xué)平面問題，在常體力的條件下基本方 程歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解平衡微分方程程歸結(jié)為在給定

16、的邊界條件下求解平衡微分方程, 和應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程和應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程 對于平衡微分方程的解，可以分解為其齊次方程的通解與任一特解之和。齊次方對于平衡微分方程的解，可以分解為其齊次方程的通解與任一特解之和。齊次方 程就是體力為零的平衡微分方程，程就是體力為零的平衡微分方程， 顯然，平衡微分方程的特解是容易尋找的，下列應(yīng)力分量均為齊次方程的特解，顯然，平衡微分方程的特解是容易尋找的，下列應(yīng)力分量均為齊次方程的特解， 或者或者 5.2.2 平面問題的應(yīng)力函數(shù)平面問題的應(yīng)力函數(shù)1 根據(jù)微分方程理論，必有函數(shù)根據(jù)微分方程理論，必有函數(shù) f（x，y），令），令 則則齊次方程齊次方程的第一式恒滿

17、足。的第一式恒滿足。 同理必有函數(shù)同理必有函數(shù)g（x，y），如果），如果, 則齊次方程的第二式恒滿足，所以則齊次方程的第二式恒滿足，所以 5.2.2 平面問題的應(yīng)力函數(shù)平面問題的應(yīng)力函數(shù)2 引入任意函數(shù)引入任意函數(shù),使得使得 將上式分別回代，可得應(yīng)力分量表達(dá)式將上式分別回代，可得應(yīng)力分量表達(dá)式 上述應(yīng)力分量即為齊次平衡微分方程的通解。對于體力為零上述應(yīng)力分量即為齊次平衡微分方程的通解。對于體力為零 的彈性力學(xué)平面問題，只要函數(shù)是四階連續(xù)可導(dǎo)的，總是滿的彈性力學(xué)平面問題，只要函數(shù)是四階連續(xù)可導(dǎo)的，總是滿 足齊次微分方程的。足齊次微分方程的。 5.2.2 平面問題的應(yīng)力函數(shù)平面問題的應(yīng)力函數(shù)2 y

18、x f , 將平衡微分方程特解代入應(yīng)力表達(dá)式，則將平衡微分方程特解代入應(yīng)力表達(dá)式，則 自然滿足平衡微分方程。自然滿足平衡微分方程。 應(yīng)力分量不僅需要滿足平衡微分方程，而且還需要滿足變形協(xié)調(diào)方程，將上述應(yīng)力分應(yīng)力分量不僅需要滿足平衡微分方程，而且還需要滿足變形協(xié)調(diào)方程，將上述應(yīng)力分 量代入變形協(xié)調(diào)方程，可得量代入變形協(xié)調(diào)方程，可得 上式說明函數(shù)上式說明函數(shù)應(yīng)滿足雙調(diào)和方程。應(yīng)滿足雙調(diào)和方程。 根據(jù)應(yīng)力函數(shù)計算的應(yīng)力分量滿足平衡微分方程，而雙調(diào)和函數(shù)表達(dá)的應(yīng)力函數(shù)自根據(jù)應(yīng)力函數(shù)計算的應(yīng)力分量滿足平衡微分方程，而雙調(diào)和函數(shù)表達(dá)的應(yīng)力函數(shù)自 然滿足變形協(xié)調(diào)方程。因此雙調(diào)和方程就成為平面問題應(yīng)力解法的基

19、本方程。然滿足變形協(xié)調(diào)方程。因此雙調(diào)和方程就成為平面問題應(yīng)力解法的基本方程。 綜上所述，彈性力學(xué)平面問題的應(yīng)力解法，包括平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題，歸結(jié)為綜上所述，彈性力學(xué)平面問題的應(yīng)力解法，包括平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題，歸結(jié)為 在給定的邊界條件下求解雙調(diào)和方程。在給定的邊界條件下求解雙調(diào)和方程。 這里，函數(shù)這里，函數(shù)稱為艾瑞（稱為艾瑞（Airy）應(yīng)力函數(shù)，一般簡稱為應(yīng)力函數(shù)。）應(yīng)力函數(shù)，一般簡稱為應(yīng)力函數(shù)。 5.2.2 平面問題的應(yīng)力函數(shù)平面問題的應(yīng)力函數(shù)3 yx f , yx f , 綜上所述，當(dāng)邊界上沒有給定位移約束條 件時，平面問題的應(yīng)力解答可由平衡方程和 應(yīng)力協(xié)調(diào)方程聯(lián)解得到。 特別是，當(dāng)

20、體力為常量或可忽略時，兩類問 題的應(yīng)力解答相同，且與材料性質(zhì)無關(guān)。這 為平面光彈實驗應(yīng)力分析提供了的理論依據(jù)。 值得注意，上述結(jié)論是對單連域物體而言的。 對多連域物體，則要補充關(guān)于位移的單值條 件。 5.2.2 平面問題的應(yīng)力函數(shù)平面問題的應(yīng)力函數(shù)4 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)使得平面問題歸結(jié)為在給定的邊界 條件下求解雙調(diào)和方程雙調(diào)和方程。 f（x, y)稱艾瑞艾瑞（Airy）應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)， 簡稱應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)。 02 4 f 4 22 f 4 4 f 4 f 22 yyxx 基本方程 5.2.2 平面問題的應(yīng)力函數(shù)平面問題的應(yīng)力函數(shù)5 5.3 5.3 用代數(shù)多項式為應(yīng)力函用代數(shù)多項式為應(yīng)力函 數(shù)

21、解平面問題數(shù)解平面問題逆解法逆解法 基本思想 對于某些矩形邊界矩形邊界并不計體力不計體力的平面問 題，分別選用冪次不同的多項式，令其滿足 基本方程雙調(diào)和方程雙調(diào)和方程，求出應(yīng)力分量，并 由邊界條件確定這些應(yīng)力分量對應(yīng)邊界上的 面力，從而該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題。 利用逆解法了解應(yīng)力函數(shù)性質(zhì)逆解法了解應(yīng)力函數(shù)性質(zhì)。 平面問題的求解方法，歸結(jié)為給定邊界條件下求解雙調(diào)和方程。偏微分方程的求解是平面問題的求解方法，歸結(jié)為給定邊界條件下求解雙調(diào)和方程。偏微分方程的求解是 相當(dāng)困難的，對于某些矩形平面物體，可以使用逆解法求解。相當(dāng)困難的，對于某些矩形平面物體，可以使用逆解法求解。 逆解法一方面是避免偏微分

22、方程求解的困難，更重要的是通過逆解法，探討建立應(yīng)逆解法一方面是避免偏微分方程求解的困難，更重要的是通過逆解法，探討建立應(yīng) 力函數(shù)的基本性質(zhì)。力函數(shù)的基本性質(zhì)。 逆解法的基本思想是：對于一些具有矩形邊界并不計體力的平面問題，分別選用冪逆解法的基本思想是：對于一些具有矩形邊界并不計體力的平面問題，分別選用冪 次不同的多項式，令其滿足基本方程，求出應(yīng)力分量，并由邊界條件確定這些應(yīng)力分次不同的多項式，令其滿足基本方程，求出應(yīng)力分量，并由邊界條件確定這些應(yīng)力分 量對應(yīng)邊界上的面力，從而確定該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題。量對應(yīng)邊界上的面力，從而確定該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題。 1一次多項式一次多項式 (x,y)

23、=ax+by+c 不論系數(shù)取何值，都能滿足雙調(diào)和方程，其應(yīng)力分量為不論系數(shù)取何值，都能滿足雙調(diào)和方程，其應(yīng)力分量為 因此，一次多項式應(yīng)力函數(shù)對應(yīng)無應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)。因此，一次多項式應(yīng)力函數(shù)對應(yīng)無應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)。 這個結(jié)論說明在應(yīng)力函數(shù)中增加或減少一個這個結(jié)論說明在應(yīng)力函數(shù)中增加或減少一個x，y 的線性函數(shù)，將不影響應(yīng)力分量的的線性函數(shù)，將不影響應(yīng)力分量的 值。值。 2 二次多項式 (x, y)=ax2+bxy+cy2 不論系數(shù)取何值，都能滿足雙調(diào)和方程，應(yīng)力分量為 二次多項式應(yīng)力函數(shù)對應(yīng)于均勻應(yīng)力狀態(tài)，如圖所示 如僅a，b，c0，分別表示單向拉伸或者純剪切應(yīng)力狀態(tài)。 3 三次多項式 (x, y)=a

24、x3+bx2y+cxy2+dy3 不論系數(shù)取何值，都能滿足雙調(diào)和方程，對應(yīng)的應(yīng)力分量為 三次多項式應(yīng)力函數(shù)的邊界應(yīng)力分布，如圖所示 。 對應(yīng)于線性邊界應(yīng)力。如果僅考慮d不為零的情況，即a=b=c=0，其對應(yīng)于矩形梁的純 彎曲應(yīng)力狀態(tài)。 4四次多項式四次多項式 (x,y)=ax4 +bx3y +cx2y2 +dxy3 + ey4 若使四次多項式滿足雙調(diào)和方程，其系數(shù)需滿足關(guān)系式若使四次多項式滿足雙調(diào)和方程，其系數(shù)需滿足關(guān)系式 3a +c +3e =0 因此四次多項式應(yīng)力函數(shù)只能有四個獨立的系數(shù)，因此四次多項式應(yīng)力函數(shù)只能有四個獨立的系數(shù)， 設(shè)應(yīng)力函數(shù)為設(shè)應(yīng)力函數(shù)為 即其獨立的系數(shù)僅為四個，對應(yīng)的

25、應(yīng)力分量為即其獨立的系數(shù)僅為四個，對應(yīng)的應(yīng)力分量為 邊界面力，如圖所示邊界面力，如圖所示。 四次多項式應(yīng)力函數(shù)對應(yīng)于二次應(yīng)力分布狀態(tài)，四次多項式應(yīng)力函數(shù)對應(yīng)于二次應(yīng)力分布狀態(tài)， 如果僅考慮如果僅考慮d不為零的情況，即不為零的情況，即a=b=c=0。該。該 應(yīng)力狀態(tài)由矩形板邊界上三部分面力產(chǎn)生應(yīng)力狀態(tài)由矩形板邊界上三部分面力產(chǎn)生 1.在邊界在邊界上，作用有均勻分布的切上，作用有均勻分布的切 應(yīng)力應(yīng)力 2.在在x=0的邊界上，作用有按拋物線分布的的邊界上，作用有按拋物線分布的 切應(yīng)力切應(yīng)力 3.在在x=l，作用有按拋物線分布的切應(yīng)力，作用有按拋物線分布的切應(yīng)力 和線性分布的正應(yīng)力和線性分布的正應(yīng)力

26、。 對四次多項式構(gòu)成的應(yīng)力函數(shù)，其邊界上對四次多項式構(gòu)成的應(yīng)力函數(shù)，其邊界上 的應(yīng)力分量的分布可以是均勻的，線性分布的的應(yīng)力分量的分布可以是均勻的，線性分布的 或者是二次拋物線分布的?；蛘呤嵌螔佄锞€分布的。 線性函 數(shù) 二次函 數(shù) 三次函 數(shù) 四次函 數(shù) 應(yīng)應(yīng) 力力 函函 數(shù)數(shù) 0應(yīng)力狀態(tài) 可以刪除 均勻應(yīng)力狀態(tài) 線性應(yīng)力狀態(tài) 二次應(yīng)力狀態(tài) 只有4個系數(shù)獨立 逆解法逆解法 5.3 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)4 應(yīng)力函數(shù)的物理意義及邊界條件表示應(yīng)力函數(shù)的物理意義及邊界條件表示 平面問題的求解有賴于應(yīng)力函數(shù) 選取應(yīng)力函數(shù)是求解問題的關(guān)鍵 應(yīng)力函數(shù)的邊界性質(zhì) 應(yīng)力函數(shù)與邊界面力 應(yīng)力函數(shù)的物理意義 5.3

27、應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)5 5.4 5.4 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷 力學(xué)模型 應(yīng)力函數(shù) 應(yīng)力分析 應(yīng)力與邊界條件 彎曲應(yīng)力分析 試考察一個承受均勻分布載荷的簡支梁試考察一個承受均勻分布載荷的簡支梁q，其跨度為，其跨度為 l，橫截面高度為，橫截面高度為h（h l），單位厚度。并且設(shè)，單位厚度。并且設(shè) 其自重可以忽略不計。其自重可以忽略不計。 由于簡支梁是外力靜定的，兩端的支座反力是已知的。因由于簡支梁是外力靜定的，兩端的支座反力是已知的。因 此在求解時，不妨將支座看作外力已知的邊界，于是可寫出此在求解時，不妨將支座看作外力已知的邊界，于是可寫出 下列邊界條件下列邊界條件: 上述條件中，上下表面

28、的邊界條件是主要的，必須上述條件中，上下表面的邊界條件是主要的，必須 精確滿足。至于兩端的邊界條件可以根據(jù)圣維南原精確滿足。至于兩端的邊界條件可以根據(jù)圣維南原 理放松為合力滿足。理放松為合力滿足。 采用半逆解法求解。首先對應(yīng)力狀態(tài)做一個基本采用半逆解法求解。首先對應(yīng)力狀態(tài)做一個基本 分析，由材料力學(xué)分析可知：分析，由材料力學(xué)分析可知： 彎曲正應(yīng)力主要是由彎矩引起的；彎曲正應(yīng)力主要是由彎矩引起的； 彎曲切應(yīng)力主要由剪力引起的；彎曲切應(yīng)力主要由剪力引起的； 而擠壓應(yīng)力應(yīng)由分布載荷引起的。而擠壓應(yīng)力應(yīng)由分布載荷引起的。 根據(jù)上述分析，因此假設(shè)擠壓應(yīng)力不隨坐標(biāo)根據(jù)上述分析，因此假設(shè)擠壓應(yīng)力不隨坐標(biāo)x而

29、改變，即而改變，即 y為坐標(biāo)為坐標(biāo)y的函數(shù)，的函數(shù)， 因此根據(jù)應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式，可得因此根據(jù)應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式，可得 將上式對將上式對x積分，可得積分，可得 其中其中f (y)，g(y)，h(y)均為任意待定函數(shù)。均為任意待定函數(shù)。 上述應(yīng)力函數(shù)還需要考察其是否滿足變形協(xié)調(diào)方程，代入變形協(xié)調(diào)方程，則上述應(yīng)力函數(shù)還需要考察其是否滿足變形協(xié)調(diào)方程，代入變形協(xié)調(diào)方程，則 上式為關(guān)于上式為關(guān)于x的二次方程。對于變形協(xié)調(diào)方程，要求在彈性體的任意點滿足。的二次方程。對于變形協(xié)調(diào)方程，要求在彈性體的任意點滿足。 因此要求所有的因此要求所有的x均滿足，所以這個二次方程的系數(shù)和自由項都必須為零

30、。即均滿足，所以這個二次方程的系數(shù)和自由項都必須為零。即 上述公式的前兩式要求上述公式的前兩式要求 這里應(yīng)力函數(shù)的線性項已經(jīng)略去。而第三式則要求這里應(yīng)力函數(shù)的線性項已經(jīng)略去。而第三式則要求 即即 其中線性項已被忽略不計。將上述各式代入應(yīng)力函數(shù)公式，則其中線性項已被忽略不計。將上述各式代入應(yīng)力函數(shù)公式，則 將上述應(yīng)力函數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式將上述應(yīng)力函數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，可得，可得 上述應(yīng)力分量已經(jīng)滿足平衡微分方程和變形協(xié)調(diào)方程，現(xiàn)在的問題是根據(jù)上述應(yīng)力分量已經(jīng)滿足平衡微分方程和變形協(xié)調(diào)方程，現(xiàn)在的問題是根據(jù)面力邊界條面力邊界條 件件確定待定系數(shù)。確定待定系數(shù)。 在考慮邊界條件之前，首先討論一下

31、問題的對稱性，在考慮邊界條件之前，首先討論一下問題的對稱性，這樣往往可以減少計算工作這樣往往可以減少計算工作 。由于。由于y軸是結(jié)構(gòu)和載荷的對稱軸，所以應(yīng)力分量也應(yīng)該對稱于軸是結(jié)構(gòu)和載荷的對稱軸，所以應(yīng)力分量也應(yīng)該對稱于y軸，軸，因此因此 x和和 y應(yīng)該應(yīng)該 是是x的偶函數(shù)，而的偶函數(shù)，而 xy應(yīng)為應(yīng)為x的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。因此因此 E = F = G =0 對于細(xì)長梁，由于梁的高度遠(yuǎn)小于跨度，所以上下邊界為主要邊界，其邊界條件必須對于細(xì)長梁，由于梁的高度遠(yuǎn)小于跨度，所以上下邊界為主要邊界，其邊界條件必須 精確滿足，我們首先考慮上下兩邊的邊界條件。精確滿足，我們首先考慮上下兩邊的邊界條件。 根

32、據(jù)上述主要邊界的面力邊界條件，可得根據(jù)上述主要邊界的面力邊界條件，可得 將上述七個待定系數(shù)分別代入將上述七個待定系數(shù)分別代入應(yīng)力分量表達(dá)式應(yīng)力分量表達(dá)式， 可得可得 以下考慮簡支梁左右兩端面的面力邊界條件，確定剩余的兩個以下考慮簡支梁左右兩端面的面力邊界條件，確定剩余的兩個 待定系數(shù)。由于對稱性已經(jīng)討論，所以只需要考慮其中的一個端待定系數(shù)。由于對稱性已經(jīng)討論，所以只需要考慮其中的一個端 面，比如右端面。如果右端面的邊界條件能滿足，左端面的邊界面，比如右端面。如果右端面的邊界條件能滿足，左端面的邊界 條件由對稱性自然滿足。條件由對稱性自然滿足。 首先，在梁的右端面沒有水平面力，這要求首先，在梁的

33、右端面沒有水平面力，這要求根據(jù)應(yīng)力分量計算根據(jù)應(yīng)力分量計算 公式，如果該條件滿足，只有公式，如果該條件滿足，只有q=0。但是這與問題是矛盾的，因此這個邊界條件只。但是這與問題是矛盾的，因此這個邊界條件只 能利用圣維南原理，放松為合力邊界條件，能利用圣維南原理，放松為合力邊界條件， 將應(yīng)力分量分別代入上述兩式，則將應(yīng)力分量分別代入上述兩式，則 另外在梁的右邊，另外在梁的右邊，切應(yīng)力的合力應(yīng)等于支反力。，切應(yīng)力的合力應(yīng)等于支反力。 將切應(yīng)力計算公式代入，積分可見這個條件已經(jīng)滿足。將切應(yīng)力計算公式代入，積分可見這個條件已經(jīng)滿足。 綜上所述，已經(jīng)求出了所有的待定系數(shù)。將上述結(jié)論代入應(yīng)力分量表達(dá)式，并作

34、綜上所述，已經(jīng)求出了所有的待定系數(shù)。將上述結(jié)論代入應(yīng)力分量表達(dá)式，并作 整理，可得整理，可得 下面討論簡支梁的應(yīng)力分布。下面討論簡支梁的應(yīng)力分布。 注意到梁的慣性矩為注意到梁的慣性矩為靜矩為靜矩為而梁的彎曲內(nèi)力為，而梁的彎曲內(nèi)力為， 則應(yīng)力分量表達(dá)式可以改寫為則應(yīng)力分量表達(dá)式可以改寫為 讓我們將上述應(yīng)力分量，即彈性力學(xué)解答結(jié)果與材料力學(xué)的結(jié)果作一比較。首先讓我們將上述應(yīng)力分量，即彈性力學(xué)解答結(jié)果與材料力學(xué)的結(jié)果作一比較。首先 考慮橫截面，即沿鉛垂方向的應(yīng)力分布考慮橫截面，即沿鉛垂方向的應(yīng)力分布,如圖所示如圖所示。 在彎曲正應(yīng)力在彎曲正應(yīng)力 x的表達(dá)式中，第一項是主要項，與材料力學(xué)的解完全相同，

35、而第二項的表達(dá)式中，第一項是主要項，與材料力學(xué)的解完全相同，而第二項 是彈性力學(xué)提出的修正項。對于細(xì)長梁，這個修正項很小，可以忽略不計。是彈性力學(xué)提出的修正項。對于細(xì)長梁，這個修正項很小，可以忽略不計。 應(yīng)力分量應(yīng)力分量 y是梁的各纖維之間的擠壓應(yīng)力，在材料力學(xué)中一般是不考慮這個應(yīng)力是梁的各纖維之間的擠壓應(yīng)力，在材料力學(xué)中一般是不考慮這個應(yīng)力 分量的。分量的。 而彎曲切應(yīng)力而彎曲切應(yīng)力 xy的表達(dá)式則和材料力學(xué)解答里完全相同。的表達(dá)式則和材料力學(xué)解答里完全相同。 力學(xué)模型 邊界條件與應(yīng)力 水壩應(yīng)力分析 5.5 5.5 楔形體問題楔形體問題 楔形體水壩左邊鉛垂，右邊與鉛直面夾楔形體水壩左邊鉛垂，

36、右邊與鉛直面夾a a 角度，下端伸向無限長。水壩承受重力和角度，下端伸向無限長。水壩承受重力和 液體壓力作用，楔形體的密度為液體壓力作用，楔形體的密度為r r，液體的密度為，液體的密度為 ，如圖所示，如圖所示在楔形體內(nèi)任一點的在楔形體內(nèi)任一點的 應(yīng)力分量都將由兩部分組成：應(yīng)力分量都將由兩部分組成： 一是由重力引起的，應(yīng)當(dāng)與楔形體的單位體積重量一是由重力引起的，應(yīng)當(dāng)與楔形體的單位體積重量r rg成正比；成正比； 二是由液體壓力引起的，其與液體的單位體積重量二是由液體壓力引起的，其與液體的單位體積重量 g成正比。成正比。 當(dāng)然，上述應(yīng)力分量還和當(dāng)然，上述應(yīng)力分量還和a a，x，y 等有關(guān)。等有關(guān)。 由于應(yīng)力分量的量綱是由于應(yīng)力分量的量綱是力力長度長度-