13度量空間的可分性與完備性

1、1.3度量空間的可分性與完備性在實(shí)數(shù)空間R中，有理數(shù)處處稠密，且全體有理數(shù)是可列的，我們稱此性質(zhì)為實(shí)數(shù)空間R的可分性同時(shí)，實(shí)數(shù)空間R還具有完備性，即 R中任何基本列必收斂于某實(shí)數(shù)現(xiàn)在我們將這些概念推廣到一般度量空間.1.3.1度量空間的可分性定義1.3.1設(shè)X是度量空間，A, B X ,如果B中任意點(diǎn)x. B的任何鄰域O(x,、J內(nèi)都含 有A的點(diǎn)，則稱A在B中稠密.若A B，通常稱A是B的稠密子集.注1 : A在B中稠密并不意味著有 A二B .例如有理數(shù)在無(wú)理數(shù)中稠密；有理數(shù)也在實(shí)數(shù) 中稠密.無(wú)理數(shù)在有理數(shù)中是稠密的，無(wú)理數(shù)在實(shí)數(shù)中也是稠密的，說(shuō)明任何兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必有無(wú)限多個(gè)有理數(shù)也有

2、無(wú)限多個(gè)無(wú)理數(shù).定理1.3.1 設(shè)(X,d)是度量空間，下列命題等價(jià)：(1) A在B中稠密；(2) 一xB , xn A，使得 limd(Xn,x) =0 ;n(3) B A (其中A=AUA: A為A的閉包，A為A的導(dǎo)集(聚點(diǎn)集)；(4) 任取J. 0，有B O(x,、J .即由以A中每一點(diǎn)為中心為半徑的開球組成的集合x0覆蓋B .證明按照稠密、閉包及聚點(diǎn)等相關(guān)定義易得.定理1.3.2稠密集的傳遞性設(shè)X是度量空間，A,B,C X，若A在B中稠密，B在C中稠密，則A在C中稠密.證明 由定理1.1知B二A , C二B，而B是包含B的最小閉集，所以 B二B二A，于是 有C A ,即A在C中稠密.口

3、注2：利用維爾特拉斯定理可證得定理(Weierstrass多項(xiàng)式逼近定理)閉區(qū)間a,b上的每一個(gè)連續(xù)函數(shù)都可以表示成某一多項(xiàng)式序列的一致收斂極限.(1) 多項(xiàng)式函數(shù)集Pa,b在連續(xù)函數(shù)空間Ca,b中稠密.參考其它資料可知：(2) 連續(xù)函數(shù)空間Ca,b在有界可測(cè)函數(shù)集 Ba,b中稠密.有界可測(cè)函數(shù)集 Ba,b在p次幕可積函數(shù)空間Lpa,b中稠密(1乞p ：:；). 利用稠密集的傳遞性 定理1.3.2可得：連續(xù)函數(shù)空間Ca,b在p次幕可積函數(shù)空間Lpa,b中稠密(1乞p ：:；).因此有 Pa,b二Ca,b二 Ba,b二 Lpa, b.定義1.3.2 設(shè)X是度量空間，A二X，如果存在點(diǎn)列人二A,且

4、xn在A中稠密，則 稱A是可分點(diǎn)集(或稱可析點(diǎn)集).當(dāng)X本身是可分點(diǎn)集時(shí)，稱X是可分的度量空間.注3: X是可分的度量空間是指在X中存在一個(gè)稠密的可列子集.例1.3.1歐氏空間Rn是可分的.坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)組成的子集構(gòu)成Rn的一個(gè)可列稠密子集.證明 設(shè)Qn =(1,2川沁)|Q,i =1,2川|小為R中的有理數(shù)點(diǎn)集,顯然Qn是可數(shù)集,下 證Qn在Rn中稠密.對(duì)于Rn中任意一點(diǎn)X =(X，X2，|,Xn)，尋找Qn中的點(diǎn)列k，其中匚川血)，使得kx(k_. ) 由于有理數(shù)在實(shí)數(shù)中稠密，所以對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)Xi(i =1,21 ,n),存在有理數(shù)列rkTX(kTo).于是得到中的點(diǎn)列 仏，其中G 皿

5、瞪川：),k=1,2,|.現(xiàn)證 g . x(k ).：乜 0 ,由 rk Xi (k )知，-IKi N，當(dāng) k K 時(shí)，有I rk -x I丄,i 二1,2，川,n取 K =maxKi,K2,|,Kn，當(dāng) kK 時(shí)，對(duì)于 i =1,2,川，n，都有 |k x |孚，因此吋nd （k, x）J|rkxI2即k x(kr )，從而知Qn在Rn中稠密.口例1.3.2連續(xù)函數(shù)空間Ca,b是可分的具有有理系數(shù)的多項(xiàng)式的全體Po a, b在Ca,b中稠密，而 巳a,b是可列集.證明 顯然Ra,b是可列集.-x(t)Ca,b，由Weierstrass 多項(xiàng)式逼近定理知，x(t)可表示成一致收斂的多項(xiàng)式的極

6、限，即- ；.0，存在(實(shí)系數(shù))多項(xiàng)式p (t)，使得d(x, p)=max|x (t) p；(t)|：2另外，由有理數(shù)在實(shí)數(shù)中的稠密性可知存在有理數(shù)多項(xiàng)式p0(tr P0a,b，使得zd(p ；, P。)=max| p . 宀卜：2因此，d(x,p)乞d(x, p ) d(p；, p)：: ； , 即卩p(t) O(x,;)，在 Ca,b中任意點(diǎn)x(t)的任意鄰域內(nèi)必有FOa,b中的點(diǎn)，按照定義知Pa,b在Ca,b中稠密.口例1.3.3 p次幕可積函數(shù)空間Lpa,b是可分的.證明 由于P,a,b在Ca,b中稠密，又知Ca,b在Lpa,b中稠密，便可知可數(shù)集Poa,b在Lpa,b中稠密.口例1

7、.3.4 p次幕可和的數(shù)列空間l p是可分的.oO證明 取Eo二(1,2,m,n,0,山,0川l)Ii - Q,n N，顯然Eo等價(jià)于U Qn，可知Eo可數(shù)，n=t下面證Eo在lp中稠密.qQ-X =(x,X2,l,Xn,l|l) lp，有 jx |p ：-:，因此一；0 , N N，當(dāng) n N 時(shí)，i =1COPpXi|p 巧n出12又因Q在R中稠密，對(duì)每個(gè)人(1 叮乞N )，存在r三Q，使得p|X -ri !2n , (i =1,2,3,111,N)于是得Npv I x -r lpi 12令 x(r1,r2j|,rN,0JH,0JlO E。，則N:丄.P.P 丄d(xg,x) =(jx-r

8、i |p 工 X |p) p ： () P -；i i -N +22因此Eo在lp中稠密.口例1.3.5 設(shè)X珂0,1，則離散度量空間(X,d。)是不可分的.證明 假設(shè)(X,d。)是可分的，則必有可列子集XnX在X中稠密.又知X不是可列集1所以存在X X , x*-Xn.?。?，則有O(x ,6) #xdo(x,x )11 * 0(nr ),且 x Ca,b.因此 Ca,b完備.口例 1.3.10 設(shè) X =C0,1 ,f(t), g(t)EX，定義 d(f,g)= j| f(t)g(t)|dt，那么(X,dJ 不是完備的度量空間.(注意到例1.3.9結(jié)論(X,d)完備)證明設(shè)0fn(t) =2

9、n(t -1)210 t XVp次幕可和的數(shù)列空間lpdp(x,y)1(閃= |x-y |p | jVVp次幕可積函數(shù)空間(Lpa,b,d)d(f,g)=(1L|f( t)-g(t) |p dtpVV由于有理數(shù)系數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)集F0a,b是可列的，以及F0a,b在Pa,b、Ca,b、Ba,b以及Lpa,b中稠密，可知閉區(qū)間a,b上多項(xiàng)式函數(shù)集Pa,b、連續(xù)函數(shù)集Ca,b、有界可測(cè)函數(shù)集Ba,b、p次幕可積函數(shù)集 Lpa,b均是可分的.前面的例子說(shuō)明n維歐氏空間Rn以及p 次幕可和的數(shù)列空間lp也是可分空間，而有界數(shù)列空間丨：:和不可數(shù)集X對(duì)應(yīng)的離散度量空間(X,d)是不可分的.從上面的例子及證

10、明可知，n維歐氏空間Rn是完備的度量空間，但是按照歐氏距離X =(0,1)卻不是完備的；連續(xù)函數(shù)空間Ca,b是完備的度量空間，但是在積分定義的距離1di(f,g)| f (t) _g(t) |dt下，C0,1卻不完備由于離散度量空間中的任何一個(gè)基本列只是同一個(gè)元素的無(wú)限重復(fù)組成的點(diǎn)列，所以它是完備的.我們還可以證明p次幕可和的數(shù)列空間lp是完備的度量空間，p次幕可積函數(shù)空間Lpa,b(p _1)是完備的度量空間，有界數(shù)列空間的完 備性.通常所涉及到的空間可分性與完備性如表1.3.3 所示.在度量空間中也有類似于表示實(shí)數(shù)完備性的區(qū)間套定理，就是下述的閉球套定理.定理1.3.4 (閉球套定理)設(shè)(

11、X,d)是完備的度量空間，Bn=O(xn,、n)是一套閉球：B1 二 B2 二| 二 Bn 二川X Bn 如果球的半徑：n 0(n：)，那么存在唯一的點(diǎn)證明(1)球心組成的點(diǎn)列Xn為X的基本列.當(dāng)m n時(shí)，有Xm Bm Bn( /(召,“)，可得(2.4)d (xm , Xn ) 一 八0,取N，當(dāng)nN時(shí)，使得、；n,于是當(dāng)m,n . N時(shí)，有d(Xm X)_、：n ：；, 所以焉為X的基本列.(2) x的存在性.由于(X,d)是完備的度量空間，所以存在點(diǎn)X，使得im_Xn二x 令(2.4) 式中的mr，,可得d(x,人)蘭卷即知Bn, n =1,2,3,川，因此xn三(3) x的唯一性.設(shè)還

12、存在 x ,滿足y IBn，那么對(duì)于任意的n N，有人y Bn ,n=1從而 d(x,y)二d(x,xn) d(xn,y)二2、：n r 0 (n“ -)，于是 x=y .口注4:完備度量空間的另一種刻畫： 設(shè)(X,d)是一度量空間，那么X是完備的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于X中的任何一套閉球：x BnnWB1 _占2二山二Bn二山，其中Bn =O(Xn,、n)，當(dāng)半徑5 ；心)，必存在唯一的點(diǎn)大家知道lim(1)n =e，可見有理數(shù)空間是不完備的，但添加一些點(diǎn)以后得到的實(shí)數(shù)空間是完備的，而完備的實(shí)數(shù)空間有著許多有理數(shù)空間不可比擬的好的性質(zhì)與廣泛的應(yīng)用.對(duì)于般的度量空間也是一樣，完備性在許多方面起著重要作用.

13、那么是否對(duì)于任一不完備的度量空間都可以添加一些點(diǎn)使之成為完備的度量空間呢？下面的結(jié)論給出了肯定的回答.定義1.3.5 等距映射設(shè)（X,d） , （Y, 0是度量空間，如果存在映射T : X_； Y，使得-x,X2 X，有d（x , X2）=P（Tx,Tx ）則稱T是X到Y(jié)上的等距映射，X與Y是等距空間（或等距同構(gòu)空間）.注5:從距離的角度看兩個(gè)等距的度量空間，至多是兩個(gè)空間里的屬性不同，是同一空間的兩個(gè)不同模型另外度量空間中的元素沒(méi)有運(yùn)算，與（X,d）相關(guān)的數(shù)學(xué)命題，通過(guò)等距映射T,使之在（Y,中同樣成立因此把等距同構(gòu)的（X,d）和（Y3）可不加區(qū)別而看成同一空間.定義1.3.6完備化空間設(shè)X是一度量空間，Y是一完備的度量空間，如果Y中含有與X等距同構(gòu)且在Y中稠密的子集Y，則稱Y是X的一個(gè)完備化空間.定理1.3.5 （完備化空間的存在與唯一性）對(duì)于每一個(gè)度量空間 X，必存在一個(gè)完備化的度量空間Y,并且在等距同構(gòu)意義下Y是唯一確定的.例 1.3.11 設(shè) x, y R =（_：:, ：:），定義距離 d（x, y）斗 arctan x -arctan y |，試證（R, d）不是完 備的空間.證明 取點(diǎn)列x_R，其中Xn = n，注意limarcta