4—簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃、基本不等式

1、4簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃、基本不等式知識(shí)塊一：求目標(biāo)函數(shù)的最值歸納起來常見的命題角度有： (1) 求線性目標(biāo)函數(shù)的最值； (2) 求非線性目標(biāo)的最值； (3) 求線性規(guī)劃中的參數(shù) .角度一：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值xy70，1設(shè) x，y 滿足約束條件 x3y10，則 z 2xy 的最大值為 ( )3x y 5 0，A10B 8 C 3D2解析：選 B 作出可行域如圖中陰影部分所示，由z2xy得 y2xz，作出直線 y 2x，平移使之經(jīng)過可行域，觀察可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(5,2) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的 z值最大故 zmax 25 2 8.y1，則 z 3x y 的最小值為 2若 x，y 滿足 x y10，x y10，

2、解析：根據(jù)題意畫出可行域如圖，由于z 3xy 對(duì)應(yīng)的直線斜率為 3，且 z 與 x 正相關(guān)，結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線過點(diǎn)A(0,1) 時(shí)，z 取得最小值 1.答案： 1角度二：求非線性目標(biāo)的最值2xy20，所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線 OM3在平面直角坐標(biāo)系 xOy中， M為不等式組 x 2y10，3xy80斜率的最小值為 ( )1DA2 B 1 C 3 3解析： 選 C 已知的不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示， 顯然當(dāng)點(diǎn) M與 點(diǎn) A重合時(shí)直線 OM的斜率最小，由直線方程 x2y10和 3xy80，解得 1A(3， 1)，故 OM斜率的最小值為 3.xy24設(shè)實(shí)數(shù) x，y 滿足不等式組 yx

3、2，則 x2y2的取值范圍是 (y1，A1,2 B 1,4 C 2，2D2,4解析：選 B 如圖所示，不等式組表示的平面區(qū)域是ABC的內(nèi)部(含邊界 )，x2y2表示的是此區(qū)域內(nèi)的點(diǎn) ( x，y)到原點(diǎn)距離的平方從圖中可知最短距離為原點(diǎn)到直線BC的距離，其值為 1；最遠(yuǎn)的距離為22AO，其值為 2，故 x2y2 的取值范圍是 1,4 角度三：求線性規(guī)劃中的參數(shù)xy20，5若 x，y滿足 kxy20，且 z y x的最小值為 4，則 k的值為 ( )y0，1A2 B 2D2xy20，的可行域當(dāng) k0 時(shí)，如圖所示，此時(shí)可行解析：選 D 作出線性約束條件 kx y20， y0域?yàn)?y 軸上方、直線

4、xy20的右上方、直線 kxy2 0的右下方的區(qū)域，顯然此時(shí) zyx 無最 小值當(dāng) k 1時(shí)， zy x取得最小值 2；當(dāng) k 1時(shí)， z yx取得最小值 2，均不符合題意2當(dāng) 1kzC或 zAzCzB或 zBzCzA，解得 a1 或 a2.法二：目標(biāo)函數(shù) z y ax可化為 y ax z，令 l 0： y ax，平移 l 0，則當(dāng) l 0AB或 l 0 AC時(shí)符合題 意，故 a1 或 a2.一、選擇題1已知點(diǎn) （ 3， 1）和點(diǎn)（4 ， 6）在直線 3x2ya0 的兩側(cè)，則 a的取值范圍為 （ ）A （ 24,7）B（ 7,24）C （ ， 7） （24 ， ）D（ ， 24） （7 ， ）

5、解析：選 B 根據(jù)題意知 （92a） （1212a） 0.即（ a7）（ a24）0，解得 7 a0，y 11可作出可行域，由題意知 x 的最小值是 ，即 x 14113a14答案：8若xy1，x， y 滿足約束條件 x y 1，2x y2.11(1) 求目標(biāo)函數(shù) z2x y 2的最值；B 點(diǎn)時(shí)取得最小值 zmin 132 7，D上的點(diǎn)與點(diǎn) (1,0) 之間的距離的最小zxx2y13的最小值為y10 ?1?x1 min 3a?1?B(1,0) 到直線32，則 a 的值為(2) 若目標(biāo)函數(shù) z ax 2y 僅在點(diǎn) (1,0) 處取得最小值，求 a 的取值范圍11解：(1) 作出可行域如圖，可求得

6、 A(3,4) ，B(0,1) ，C(1,0) 平移初始直線 2xy 2 0，過 A(3,4) 取最小值 2，過 C(1,0) 取最大值 1.所以 z 的最大值為 1，最小值為 2.a(2) 直線 ax 2y z 僅在點(diǎn) (1,0) 處取得最小值，由圖象可知 1 2 2，解得 4a0， y0，則：(1) 如果積 xy 是定值 p，那么當(dāng)且僅當(dāng) x y 時(shí)， x y 有最小值是 2 p.( 簡(jiǎn)記：積定和最小 ) 2(2) 如果和 xy 是定值 p，那么當(dāng)且僅當(dāng) xy 時(shí)， xy 有最大值是 p4.( 簡(jiǎn)記：和定積最大 ) 一題多變 典型母題 11已知 a 0，b0，a b1，則 的最小值為 ab

7、 解析 a0， b0，ab1，1 1 ab a bb a 2 a b a b a b即 1a1b的最小值為 4，當(dāng)且僅當(dāng) a b12時(shí)等號(hào)成立 答案 4 題點(diǎn)發(fā)散 1 本例的條件不變，則 1 1a 1 1b 的最小值為 解析：11a ba b1 1 11ab a bb a b a2a 2b 52 ab 5 4 9.當(dāng)且僅當(dāng)ab，取等號(hào)答案： 9 題點(diǎn)發(fā)散 2 本例的條件和結(jié)論互換即： 已知 a 0，b 0，1a1b4，則 ab 的最小值為ab1 1 1 1 解析：由 ab4，得 4a4b1.aba4b1.1 1 1 b a 14a4b （ab）24a4b2當(dāng)且僅當(dāng)1a b 2時(shí)取等號(hào)答案： 1

8、 題點(diǎn)發(fā)散 3 若本例條件變?yōu)椋阂阎?a0，b0， a2b 3，21則2a1b的最小值為解析：由a 2b 3 得31a32b1，21ab123a3b21ab4 a 4b 3 3b 3a4a 2 33b4b83 . 當(dāng)且僅當(dāng) a 2b 時(shí)，取等號(hào)3a 3 28答案：83 題點(diǎn)發(fā)散 4本例的條件變?yōu)椋阂阎?a 0，b0， c0，111abc1，則1a1bc1的最小值為解析： a0，b 0，c0，且 abc1，baca1 1 1 abc abc abcb c a cabc a b c 3a abb 3 abacbbc 32 229.1當(dāng)且僅當(dāng) a bc3時(shí)，取等號(hào)答案： 9 題點(diǎn)發(fā)散 5若本例變?yōu)椋?/p>

9、已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列 an 滿足 a7a62a5，若存在兩項(xiàng)am，an，使得 am an 2 2a1，14則 m n的最小值為解析：設(shè)公比為22q（ q 0） ，由 a7a62a5?a5q a5q2a5?qq20（q0）?q2.aman 2 2a1?a12m 1a12n18a21?2m12n18?mn23?mn5，則 1m4n 51 1m4n m n 5 m n1（mn） 5n 4m5 mn1915（52 4） 95，當(dāng)且僅當(dāng) n 2m130時(shí)等號(hào)成立答案：95考點(diǎn)三 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 典題例析 某廠家擬在 2014 年舉行促銷活動(dòng)， 經(jīng)調(diào)查測(cè)算， 該產(chǎn)品的年銷售量 （即該廠的年產(chǎn)量

10、） x萬件與年促銷k費(fèi)用 m萬元（ m0）滿足 x3m 1（ k為常數(shù)） ，如果不搞促銷活動(dòng)， 則該產(chǎn)品的年銷售量只能是 1萬件已知 2014 年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為 8 萬元每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入 16 萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的倍 （ 產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）（1） 將 2014 年該產(chǎn)品的利潤(rùn) y 萬元表示為年促銷費(fèi)用 m萬元的函數(shù)；（2） 該廠家 2014 年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大解：（1） 由題意知，當(dāng) m0時(shí)，x1（萬件），213k?k2，x3m1，8 16x每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為 x （ 元） ，8 16x201

11、4 年的利潤(rùn) y8x16x816xm16m161?m1? 29(m0) (2) m0時(shí)，m161(m1)2 168，m1y 82921，當(dāng)且僅當(dāng)16m 1 m 1?m 3（萬元）時(shí)， ymax 21（ 萬元）故該廠家2014年的促銷費(fèi)用投入 3 萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為 21萬元1已知 f （x） x 2(x0)，則 f(x)有 ()A最大值為 0B最小值為 0 C 最大值為 4D最小值為 4解析： 選 C x1， b1， lg a0，lg b0.?lg a lg b?2 ?lg ab?2 lg alg b4 4 1.當(dāng)且僅當(dāng) a b10 時(shí)取等號(hào)uuur uuur uuur4設(shè) OA （1

12、， 2） ， OB （ a， 1） ， OC （ b, 0）（ a0，b0，O為坐標(biāo)原點(diǎn) ），若 A，B，C三21 點(diǎn)共線，則 的最小值是 （ ） A 4 C 8 D 9abuuur uuur uuur解析：選 D AB OB OA （a1,1） ，uuur uuur uuurAC OC OA（ b1,2） ，若 A，B， C三點(diǎn)共線，uuur uuur則有 AB AC ，（a1） 21 （ b 1） 0， 2ab 1，又 a 0，b 0，212a1b21ab（2a b）2aa2b2a9， b 9，52ab b 52 ab2b 2a ， 1 當(dāng)且僅當(dāng) a b即 a b3時(shí)等號(hào)成立故選 D.2a

13、b1，x225函數(shù) y x1（x1）的最小值是 （）A2 3 2 B 2 32C 2 3 D 2x1解析：選 A x1， x 10.2 2 2 x22 x2 2x 2x 2 x22x12?x1?3 yx1x1x12?x1?2 2?x1?33x 12x1x12?x1? x31 22 32.當(dāng)且僅當(dāng) x 1 3 ，即 x1 3時(shí)，取等號(hào) x16已知 a，bR，且 ab50，則| a2b| 的最小值是 解析：依題意得 a，b同號(hào)，于是有 | a2b| | a| |2 b| 2 |a|2 b|2 2| ab|2 10020，當(dāng)且僅當(dāng) | a| |2 b| 10時(shí)取等號(hào)，因此 |a2b| 的最小值是 20. 答案： 2017當(dāng) x1 時(shí)，不等式 x a恒成立，則實(shí)數(shù) a的最大值為 x11 解析：因?yàn)?x 1，所以 x1 0. 又 xxx1所以 a 的最大值為 3.答案： 38已知 x 0，y0，且 2x8yxy 0，求(1) xy 的最小值；(2) x y 的最小值解：(1) 由 2x8y