《微分幾何》作業(yè)

1、微分幾何作業(yè)微分幾何作業(yè)一. 填空題1. 曲面的第一基本形式為（ ）。2. 空間曲線的基本公式是（ ）。3. 曲面在任一點（u，v）的單位法向量公式為（ ）4. 空間曲線的切向量為（ ）。5. 曲線的主法向量總是指向曲線（ 凹入方向 ）。6. 曲面上正常點滿足的條件為（ ）7. 曲線的撓率表達式為（ ）。8. 曲面上曲率線滿足的微分方程為（ ）。9. 在曲面S: 上，線的微分方程是( )。10.設(shè)， 若 則 ( )。11.可展曲面上每一點都是 ( 拋物點或平點 )點。12.曲線在點的切線方程為（ ）。13 設(shè)曲線C： =(s), 則C在s處的主法線方程是 14 設(shè)，是曲線C：=(s)的三個基本

2、單位向量， 則=0 15 設(shè)=1，0， 0， =0，2，0， =0，0，6，則（，2）= 24 16 若向量函數(shù)=(t)的終點始終在中心為坐標原點, 半徑為2的球面上， 則 = 0 17 若曲線在一點的撓率0, 則曲線在該點是 右 旋的18 在曲面上一點，如果對于任意方向，法曲率都是零，則該點是曲面上的 平 點19 已知向量, 若,則 20 設(shè)是非零向量,且, 則= 0 21 曲線在處的密切平面方程是 。22 設(shè)曲線的曲率是,則= 23 空間曲線論基本公式是 ,24根據(jù)曲線論的基本定理，在可以相差一個空間位置的情況下，唯一決定一條空 間曲線的兩個不變量是曲線的 和 二. 判斷題1. 空間內(nèi)兩自

3、由向量一定共面。（ ）2. 可展曲面上沒有雙曲點。（ ）3. 曲面上曲線在一點的測地曲率是該曲線在這一點切平面上正投影線在這一點的曲率。（ ）4. 若，則是平面曲線。（ ）5. 空間曲線的形狀（不考慮位置差別）完全由它的曲率和撓率唯一確定。（ ）6. 曲面上任一點的單位法向量為。（ ）7. 曲面在正常點處一定有切平面和法線。（ ）8. 曲線 C： =與曲線：=在處有相同的曲率。（ ）9. 表示線的切方向。（ ）10.向量函數(shù)滿足 則必有一常向量，滿足.（ ）11.曲面上點都是橢圓點，則高斯曲率恒大于零. （ ）12.高斯曲率K0的曲面一定是某一條曲線的切線曲面. （ ）三. 選擇題1. 平行于

4、固定平面與（）=0的關(guān)系是：BA：充分條件； B：充要條件； C：必要條件。2. 在曲線=上一點的切線和其鄰近一點決定一平面，當(dāng) 時的極限平面存在，是：CA：從切平面； B：法平面； C：密切平面。3. 曲線的曲率和撓率與參數(shù)的選擇關(guān)系是（ B ）.A:有關(guān)系 B: 無關(guān) C: 無法判定。4. 下列等式成立的是（ A ）：A：； B； C。5. 撓率曲率的曲線是( A )A半徑為4的圓； B.半徑為的圓；C半徑為2的圓 ； D.半徑為的圓。6. 可展曲面與（ A ）等距等價：A.球面； B.平面； C.正螺面。7. 具有固定方向與=0的關(guān)系是（ C ）： A.必要條件； B.充分條件； C.充

5、要條件。8. 如果所有密切平面垂直于某個固定直線，那么曲線是（ B ）：A.一般空間曲線； B.平面曲線； C.不確定。9. 球面上的法截線是（ A ）：A.大圓； B.一般圓； C.一般曲線。10. 高斯曲率表達式錯誤的為：（ C ）A. ； B.； C.。11. 若向量函數(shù)的終點在通過原點的一條直線上，則(B )A； B. 是定向的； C。12. 在曲線=上一點及其鄰近一點決定一直線，當(dāng) 時的極限直線存在，是：AA切線； B主法線； C副法線。13. 曲率線滿足的條件是（ C ）。 A ； B; C 。 14. 在線為測地線的半測地坐標網(wǎng)時，曲面的第一基本形式為：AA; B ; C。 15

6、. 若曲面S在每一點的高斯曲率為，則它可以與半徑為( B )的球面貼合A ； B. 2； C. 。 16.如果是曲面上的測地三角形，則公式為：AA.； B.； C.； D.以上三種都對。17.設(shè)均為非零向量，且，則（B）.線性相關(guān)； .線性無關(guān)；.可以由線性表示； D.可以由線性表示18.空間曲線的形狀( A )決定A由曲率和撓率 B. 僅由曲率C僅由撓率 D. 由參數(shù)的選取19.設(shè)S 是球面， 則( D )AS上每一點是雙曲點； B. S上每一點是拋物點；CS上的圓的指向球心； D. S上的測地線的指向球心.20.第二類克氏符號只與（ A ）有關(guān)： AE，F(xiàn)，G； BL，M，N； CE，F(xiàn)，

7、G，L，M，N； D都無關(guān)。四. 證明題1. 證明：曲線是平面曲線。證明：因為，所以為平面直線 所以是平面曲線。2. 證明是可展曲面。 證明：=，所以曲面是可展曲面。3. 如果曲線的所有切線都經(jīng)過一個定點，則此曲線是直線。證明：設(shè)切線方程為，求導(dǎo)得：，所以 為直線。4. 如果曲面上曲線既是測地線又是曲率線，則它是平面線。 證明：因為曲線是測地線 有 微分得，又因為曲率線有，所以，曲線為平面曲線。5. 設(shè)C是半徑為的球面上半徑為的圓， 是曲線C上各點的測地曲率.證明： .曲線C的曲率為，法曲率為，由，得 。6. 證明不是可展曲面。證明：=，所以曲面不是可展曲面。7. 證明：如果曲線的所有主法線都

8、經(jīng)過一個固定點，則曲線是以固定點為圓心的圓.證明：設(shè)定點的向徑為，則有，求導(dǎo)得：。有 。所以常數(shù)。則曲線是以固定點為圓心的圓.8. 可展曲面上的直母線是曲率線.證明：曲率線滿足的條件為 ；可展曲面上的直母線滿足，因此它滿足行列式方程。即可展曲面上的直母線是曲率線.9 試證:如果曲線的所有密切面都經(jīng)過一個固定點,則曲線是平面曲線 證明：設(shè)固定點的向徑為，由題意得，對于任意，都有 而 ， 所以 ，即 因此， ， 這說明是平面曲線，所以也是平面曲線10. 證明：曲面: 在每一點的切平面都通過坐標原點證明： 設(shè)是切平面上點的流動坐標，則曲面上任一點的切平面方程是 展開即 可以看出，切平面通過原點， 因

9、此，曲面在每一點的切平面都通過原點五. 計算題1. 求曲線 的曲率和撓率。解：；2. 求曲線在點的法平面方程。解：；。3. 求曲線在處的副法線和從切平面方程。解：； ； 副法線為，從切平面方程為。4. 求正螺面的第一、第二基本形式，并計算曲線和方向的交角。解：=， =； 。5. 求曲線 的曲率和撓率。解：；6. 求曲線在點的密切平面方程。解：；。7. 求曲線C：= , 的曲率和撓率.解： ,。所以8. 求曲面S：=的高斯曲率解：，。 9 求曲線C：=上從到這一段弧的長度解 10 求曲線C：=在處的和解 所以 ， 11 求曲線的曲率和撓率解 ， ， ， ，所以 ， 12 求曲線C：在處的切線方程解 ，所以，曲線上點的坐標是（1，