計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察

1、2021-4-23.1 The class is begin ! 2021-4-23.2 第第6章章 二維變換及二維觀察二維變換及二維觀察 提出問(wèn)題提出問(wèn)題 如何對(duì)二維圖形進(jìn)行方向、尺寸和形狀方面的變換如何對(duì)二維圖形進(jìn)行方向、尺寸和形狀方面的變換 如何方便地實(shí)現(xiàn)在顯示設(shè)備上對(duì)二維圖形進(jìn)行觀察如何方便地實(shí)現(xiàn)在顯示設(shè)備上對(duì)二維圖形進(jìn)行觀察 圖形變換的作用圖形變換的作用 可由簡(jiǎn)單圖形得到復(fù)雜圖形，方便用戶觀察可由簡(jiǎn)單圖形得到復(fù)雜圖形，方便用戶觀察 可應(yīng)用戶需求隨時(shí)對(duì)圖形進(jìn)行連續(xù)幾何變換可應(yīng)用戶需求隨時(shí)對(duì)圖形進(jìn)行連續(xù)幾何變換 2021-4-23.3 6.1.1 齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo) 引入目的：引入目的：

2、將齊次坐標(biāo)技術(shù)引入到計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，圖將齊次坐標(biāo)技術(shù)引入到計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，圖 形的變換可以轉(zhuǎn)化為形的變換可以轉(zhuǎn)化為表示圖形的點(diǎn)集矩陣與某一變表示圖形的點(diǎn)集矩陣與某一變 換矩陣進(jìn)行矩陣相乘換矩陣進(jìn)行矩陣相乘這一單一問(wèn)題，便于借助于計(jì)這一單一問(wèn)題，便于借助于計(jì) 算機(jī)的高速計(jì)算功能得到變換后的圖形，從而為高算機(jī)的高速計(jì)算功能得到變換后的圖形，從而為高 動(dòng)態(tài)的計(jì)算機(jī)圖形顯示提供了可能性。動(dòng)態(tài)的計(jì)算機(jī)圖形顯示提供了可能性。 6.1 基本概念基本概念 2021-4-23.4 齊次坐標(biāo)表示齊次坐標(biāo)表示就是用n+1維向量表示一個(gè)n維向 量。 如：在二維平面中，點(diǎn)px,y的齊次坐標(biāo)表示為 hx,hy,h，h為任

3、一不為0的比例系數(shù)。 在三維、四維n維空間中依此類推。 可見(jiàn)，某點(diǎn)的齊次坐標(biāo)是不唯一的?？梢?jiàn)，某點(diǎn)的齊次坐標(biāo)是不唯一的。 2021-4-23.5 保證齊次坐標(biāo)惟一性的辦法保證齊次坐標(biāo)惟一性的辦法就是定義規(guī)范化齊 次坐標(biāo)表示。 規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示就是h=1的齊次坐標(biāo)表示。 規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維 甚至更高維空間中的一個(gè)點(diǎn)集從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另甚至更高維空間中的一個(gè)點(diǎn)集從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另 一個(gè)坐標(biāo)系的有效辦法一個(gè)坐標(biāo)系的有效辦法。 2021-4-23.6 在定義了規(guī)范化齊次坐標(biāo)后，圖形變換可以表在定義了規(guī)范化

4、齊次坐標(biāo)后，圖形變換可以表 示為圖形點(diǎn)集的示為圖形點(diǎn)集的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣與某一變換規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣與某一變換 矩陣進(jìn)行矩陣相乘的形式。矩陣進(jìn)行矩陣相乘的形式。 如，二維齊次變換矩陣，簡(jiǎn)稱為二維變換矩陣為：如，二維齊次變換矩陣，簡(jiǎn)稱為二維變換矩陣為： sml qdc pba T D2 2021-4-23.7 圖形的圖形的幾何變換幾何變換是指對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過(guò)平是指對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過(guò)平 移、比例、旋轉(zhuǎn)等變換后產(chǎn)生新的圖形，是移、比例、旋轉(zhuǎn)等變換后產(chǎn)生新的圖形，是 圖形在方向、尺寸和形狀方面的變換。圖形在方向、尺寸和形狀方面的變換。 6.1.2 幾何變換幾何變換 2021-4-23.8 6.

5、1.3 二維變換矩陣二維變換矩陣 sml qdc pba yxTyxyx D 111 2 設(shè)設(shè)p(x,y)為為xOy平面上二維圖形變換前的一點(diǎn)，變換平面上二維圖形變換前的一點(diǎn)，變換 后該點(diǎn)為后該點(diǎn)為p(x,y)，通過(guò)引入規(guī)范化齊次坐標(biāo)可進(jìn)通過(guò)引入規(guī)范化齊次坐標(biāo)可進(jìn) 行如下變換：行如下變換： 比例、旋轉(zhuǎn)、比例、旋轉(zhuǎn)、 對(duì)稱、錯(cuò)切等對(duì)稱、錯(cuò)切等 變換變換 平移變換平移變換 投影變換投影變換 整體比例變換整體比例變換 2021-4-23.9 6.2 基本幾何變換基本幾何變換 基本幾何變換都是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸進(jìn)行 的幾何變換 【聲明聲明】 在以下的講述中，均假定用在以下的講述中，均

6、假定用p(x, y)表示平面表示平面xOy 上一個(gè)未被變換點(diǎn)，該點(diǎn)經(jīng)某種變換后變?yōu)樾律弦粋€(gè)未被變換點(diǎn)，該點(diǎn)經(jīng)某種變換后變?yōu)樾?點(diǎn)用點(diǎn)用p(x, y)表示。表示。 2021-4-23.10 6.2.1 平移變換平移變換 平移平移是指將p點(diǎn)沿直線路徑從 一個(gè)坐標(biāo)位置移到另一個(gè) 坐標(biāo)位置的重定位過(guò)程。 Y X Tx Ty 圖6-1 平移變換 P P T p點(diǎn)經(jīng)平移變換后有： x=x+Tx y=y+Ty Tx、Ty分別為x 方向、y方向的 平移矢量 平移是一種不產(chǎn)生變形而移動(dòng)物體的剛體變換（rigid- body transformation） 2021-4-23.11 1 010 001 yx TT

7、 引入齊次坐標(biāo)和二維變換矩陣后，平移變換的計(jì)算引入齊次坐標(biāo)和二維變換矩陣后，平移變換的計(jì)算 形式可寫(xiě)為形式可寫(xiě)為： 6.26.2.1.1 平移變換平移變換 x y 1 =x y 1* =x+Tx y+Ty 1 平移變換矩陣平移變換矩陣 2021-4-23.12 6.2.2 比例變換比例變換 比例變換比例變換是指對(duì)p點(diǎn)相對(duì)于坐 標(biāo)原點(diǎn)沿x方向放縮Sx倍， 沿y方向放縮Sy倍。 p點(diǎn)經(jīng)比例變換后有： x=x.Sx y=y.Sy Sx和Sy稱為比例系數(shù)比例系數(shù) Y X 圖6-2 比例變換(Sx=2,Sy=3) P(4,3) P(2,1) 2021-4-23.13 引入齊次坐標(biāo)和二維變換矩陣后，比例變

8、換的計(jì)算引入齊次坐標(biāo)和二維變換矩陣后，比例變換的計(jì)算 形式如下形式如下： 6.2.2 比例變換比例變換 x y 1 =x y 1* =x.Sx y.Sy 1 比例矩陣比例矩陣 100 00 00 y x S S 2021-4-23.14 (a) Sx=Sy比例 原圖 (b) SxSy比例 原圖 圖6-3 比例變換 SxSy Sx=Sy1 Sx=Sy1、 0S1、 S0：圖形沿+x方向作錯(cuò)切位移。ABCDA1B1C1D1 n當(dāng)c0：圖形沿+y方向作錯(cuò)切位移。ABCD A1B1C1D1 n當(dāng)b0：圖形沿-y方向作錯(cuò)切位移。ABCD A2B2C2D2 2021-4-23.31 兩個(gè)方向錯(cuò)切錯(cuò)切 當(dāng)b

9、0且c0時(shí)， n(x y 1)=(x+cy bx+y 1) ：圖形沿x,y兩個(gè) 方向作錯(cuò)切位移。 n錯(cuò)切變換引起圖形角度關(guān)系的改變，甚至導(dǎo) 致圖形發(fā)生變形。 2021-4-23.32 過(guò)過(guò) 渡渡 以上的分析均是以點(diǎn)的變換為基礎(chǔ)的，但得到的以上的分析均是以點(diǎn)的變換為基礎(chǔ)的，但得到的 變換矩陣是完全可以推廣到直線、多邊形等二變換矩陣是完全可以推廣到直線、多邊形等二 維圖形的幾何變換的變換中維圖形的幾何變換的變換中 即即 二維圖形的幾何變換均可表示成齊次坐標(biāo)與二維圖形的幾何變換均可表示成齊次坐標(biāo)與3階階 的二維變換矩陣的二維變換矩陣T的乘法形式。的乘法形式。 2021-4-23.33 6.2.6 二

10、維圖形幾何變換的計(jì)算二維圖形幾何變換的計(jì)算 一般，幾何變換均可表示成一般，幾何變換均可表示成P=P*T的形式，其的形式，其 中，中，P為變換前二維圖形的規(guī)范化齊次坐標(biāo)，為變換前二維圖形的規(guī)范化齊次坐標(biāo)， P為變換后二維圖形的規(guī)范化齊次坐標(biāo)，為變換后二維圖形的規(guī)范化齊次坐標(biāo)，T為為 變換矩陣。變換矩陣。 2021-4-23.34 點(diǎn)的變換點(diǎn)的變換 將點(diǎn)表示為規(guī)范化齊次坐標(biāo)形式，可為行矩陣將點(diǎn)表示為規(guī)范化齊次坐標(biāo)形式，可為行矩陣 （或列矩陣），則（或列矩陣），則P=P*T的形式可寫(xiě)為：的形式可寫(xiě)為： x y 1 =x y 1*T 2021-4-23.35 直線的變換直線的變換 直線的變換可通過(guò)對(duì)直

11、線兩端點(diǎn)進(jìn)行變換，從直線的變換可通過(guò)對(duì)直線兩端點(diǎn)進(jìn)行變換，從 而改變直線的位置和方向。而改變直線的位置和方向。 直線兩端點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣為：直線兩端點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣為： 與變換矩陣相乘，與變換矩陣相乘， P=P*T，即即 x1 y1 1 x2 y2 1 x1 y1 1 x2 y2 1 x1 y1 1 x2 y2 1 .T= 2021-4-23.36 多邊形的變換多邊形的變換 多邊形的變換是將變換作用于每個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)多邊形的變換是將變換作用于每個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo) 位置，并按新的頂點(diǎn)坐標(biāo)和當(dāng)前屬性設(shè)置來(lái)生位置，并按新的頂點(diǎn)坐標(biāo)和當(dāng)前屬性設(shè)置來(lái)生 成新的多邊形。成新的多邊形。 具體操作為：首先將各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)成矩陣形具體操作為：首先將各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)成矩陣形 式，然后集中一起與變換矩陣相乘。式，然后集中一起與變換矩陣相乘。 例如：有例如：有n個(gè)頂點(diǎn)的多邊形，頂點(diǎn)矩陣為：個(gè)頂點(diǎn)的多邊形，頂點(diǎn)矩陣為： 2021-4-23.37 多邊形的變換多邊形的變換 與變換矩陣相乘，與變換矩陣相乘， Pn=Pn*T，即即 x1 y1 1 x2 y2 1 xn yn 1 .T = x1 y1 1 x2 y2