畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）環(huán)型二級(jí)倒立擺LQR控制

1、環(huán)型二級(jí)倒立擺lqr控制作 者 ：系 別 ： 專(zhuān) 業(yè) ：學(xué) 號(hào) ： 指導(dǎo)教師 ： 日期：二零零六年五月二十日摘要控制理論發(fā)展過(guò)程中，某一理論的正確性以及實(shí)際應(yīng)用中可行性，往往需要一個(gè)按其理論所設(shè)計(jì)的控制器去控制一個(gè)典型對(duì)象來(lái)驗(yàn)證其控制策略的效果。倒立擺就是這樣一個(gè)較為理想的實(shí)驗(yàn)裝置。倒立擺本身是一個(gè)自然不穩(wěn)定體，在控制過(guò)程中能有效地反映控制中的許多問(wèn)題。倒立擺的典型性在于:作為一個(gè)裝置，其成本低廉，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，便于模擬，數(shù)字實(shí)現(xiàn)不同方式控制;作為被控對(duì)象，又相當(dāng)復(fù)雜，是高階次、不穩(wěn)定、非線性、強(qiáng)耦合系統(tǒng)，只有采取行之有效的控制方法方能使之穩(wěn)定。本文在環(huán)型二級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)上得出系統(tǒng)

2、的狀態(tài)方程, 應(yīng)用線性二次型最優(yōu)控制策略, 對(duì)環(huán)型二級(jí)倒立擺進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)與仿真實(shí)驗(yàn)，并給出了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。關(guān)鍵詞: 倒立擺；最優(yōu)控制；狀態(tài)方程abstractthe inverted pendulum is an ideal equipment, which enables the possibility to validate the validity and the feasibility of some control theories, the inverted pendulum is a natural unstable equipment and can effectivel

3、y reflects many matters in the control process. the model of the inverted pendulum is: as an equipment, low cost, simple machinery, easy to perform all kinds of controls in simulation and digital; as a controlled object, quite complex, high orders, instability, non-linearity, strong coupling system.

4、 we can keep it stable through some control method. inverted pendulum system is a complicated , nonlinear , unstable system of high order. in the paper, it is discussed how to model the system of double inverted pendulums by using dynamics equation and then to t transform into a control problem of l

5、inearitied system. the optimized cont rolling policy with lqr cont roller is established on the matlab platform. the relevant experiment is also provided.keywords: lqr; inverted pendulum; optimal control目錄概述.當(dāng)前國(guó)內(nèi)外控制理論發(fā)展概述 .倒立擺系統(tǒng)的歷史 .倒立擺控制系統(tǒng)的發(fā)展動(dòng)向 .現(xiàn)代控制在倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制中的應(yīng)用 . 對(duì)倒立擺系統(tǒng)研究的意義 .本文的主要工作 環(huán)型倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

6、的建立 .環(huán)型倒立擺的特點(diǎn) .lagrange方程的特點(diǎn) .狀態(tài)空間模型 .環(huán)型二級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立 線性二次型最優(yōu)控制器（lqr）的設(shè)計(jì) .線性二次型最優(yōu)控制理論 .二次型最優(yōu)控制理論 .加權(quán)矩陣的選取 .系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性 .環(huán)型二級(jí)倒立擺lqr調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì) .設(shè)計(jì)要求 .理論分析 .實(shí)例分析.matlab實(shí)現(xiàn)結(jié)束語(yǔ) 致謝 參考文獻(xiàn) 附錄 1 概述在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中，自動(dòng)控制技術(shù)起著越來(lái)越重要的作用。所謂自動(dòng)控制，是指在沒(méi)有人直接參與的情況下，利用外加的設(shè)備或裝置(稱(chēng)控制裝置或控制器)，使機(jī)器、設(shè)備或生產(chǎn)過(guò)程(統(tǒng)稱(chēng)被控對(duì)象)的某個(gè)工作狀態(tài)或參數(shù)(即被控量)自動(dòng)地按照預(yù)定

7、的規(guī)律運(yùn)行。例如，數(shù)控車(chē)床按照預(yù)定程序自動(dòng)地切削工件;化學(xué)反應(yīng)爐的溫度或壓力自動(dòng)地維持恒定:雷達(dá)和計(jì)算機(jī)組成的導(dǎo)彈發(fā)射和制導(dǎo)系統(tǒng)，自動(dòng)地將導(dǎo)彈引導(dǎo)到敵方目標(biāo);無(wú)人駕駛飛機(jī)按照預(yù)定航跡自動(dòng)升降和飛行;人造衛(wèi)星準(zhǔn)確地進(jìn)入預(yù)定軌道運(yùn)行并回收等，這一切都是以高水平的自動(dòng)控制技術(shù)為前提的。自動(dòng)控制系統(tǒng)的優(yōu)劣，將直接影響到產(chǎn)量、質(zhì)量、成本、勞動(dòng)條件和預(yù)期目標(biāo)的完成。因此，自動(dòng)控制愈來(lái)愈受到人們的重視，進(jìn)而在控制理論和技術(shù)應(yīng)用方面也獲得了飛速的發(fā)展。自動(dòng)控制系統(tǒng)有多種分類(lèi)方法。例如，按控制方式可分為開(kāi)環(huán)控制、反饋控制、復(fù)合控制等;按元件類(lèi)型可分為機(jī)械系統(tǒng)、電氣系統(tǒng)、機(jī)電系統(tǒng)、液壓系統(tǒng)、氣動(dòng)系統(tǒng)、生物系統(tǒng)等:

8、按系統(tǒng)功用可分為溫度控制系統(tǒng)、壓力控制系統(tǒng)、位置控制系統(tǒng)等;按系統(tǒng)性能可分為線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)、連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)、定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)、確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng)等:按參據(jù)量變化規(guī)律又可分為恒值控制系統(tǒng)、隨動(dòng)系統(tǒng)和程序控制系統(tǒng)等。倒立擺裝置被公認(rèn)為自動(dòng)控制理論中的典型試驗(yàn)設(shè)備，是控制理論教學(xué)和科研中不可多得的典型物理模型。通過(guò)對(duì)它的研究不僅可以解決控制中的理論問(wèn)題，還能將控制理論設(shè)計(jì)的三個(gè)主要基礎(chǔ)學(xué)科:力學(xué)、數(shù)學(xué)和電學(xué)(包含計(jì)算機(jī))進(jìn)行有機(jī)的綜合應(yīng)用，在多種控制理論與方法的研究和應(yīng)用中，特別是工程實(shí)踐中，存在一種可行性的試驗(yàn)問(wèn)題，將其理論和方法得到有效的經(jīng)驗(yàn)，倒立擺可為此提供一個(gè)從控制理論通往

9、實(shí)踐的橋梁。倒立擺系統(tǒng)是一種嚴(yán)重非線性、多變量、強(qiáng)耦合和絕對(duì)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定與控制的研究在國(guó)外始于60年代，我國(guó)則從70年代中期開(kāi)始研究。首先根據(jù)經(jīng)典控制理論與現(xiàn)代控制理論應(yīng)用極點(diǎn)配置法，設(shè)計(jì)模擬控制器。國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家學(xué)者先后控制了單倒立擺與二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定。隨著徽機(jī)的廣泛應(yīng)用，又陸續(xù)實(shí)現(xiàn)了數(shù)控二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定。此外，由于智能控制理論的興起，相繼應(yīng)用模糊理論與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制了二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定。近代機(jī)械控制系統(tǒng)中，如直升飛機(jī)、火箭發(fā)射、人造衛(wèi)星運(yùn)行及機(jī)器人舉重物、做體操和行走機(jī)器人步行控制等等都存在有類(lèi)似于倒立擺的穩(wěn)定控制問(wèn)題.倒立擺系統(tǒng)大概可以歸納為如下幾類(lèi):懸掛式倒立擺、平行式倒立擺和

10、球平衡式倒立擺系統(tǒng)。倒立擺的級(jí)數(shù)可以是一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)乃至多級(jí)，倒立擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌道可以是水平的，還可以是傾斜的(這對(duì)實(shí)際機(jī)器人的步行穩(wěn)定控制研究更有意義)。早在60年代，人們就開(kāi)始了對(duì)倒立擺系統(tǒng)控制的研究。1966年schaefer和cannon應(yīng)用bang-bang控制理論，將一個(gè)曲軸穩(wěn)定于倒置位置。在60年代后期，作為一個(gè)典型的不穩(wěn)定、嚴(yán)重非線性系統(tǒng)的例證，倒立擺系統(tǒng)的概念被提了出來(lái)。人們習(xí)慣于用它來(lái)檢驗(yàn)控制方法對(duì)不穩(wěn)定、非線性和快速系統(tǒng)的控制處理能力。因而受到了普遍的重視。1.1當(dāng)前國(guó)內(nèi)外控制理論發(fā)展概述自動(dòng)控制自從其產(chǎn)生以來(lái)，廣泛的應(yīng)用在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運(yùn)輸和國(guó)防各個(gè)方面，凡是控制性

11、能要求較高的場(chǎng)合，都離不開(kāi)自動(dòng)控制?，F(xiàn)代化的機(jī)械設(shè)備、生產(chǎn)線、車(chē)間，甚至整個(gè)工廠都是電氣化和自動(dòng)化的。它們由各種電動(dòng)機(jī)、電器元件、半導(dǎo)體器件等設(shè)備，按一定規(guī)律組成系統(tǒng)，對(duì)生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行自動(dòng)控制。自動(dòng)控制是一門(mén)理論性很強(qiáng)的工程技術(shù)，我們把實(shí)現(xiàn)這種技術(shù)的理論叫做“自動(dòng)理論”。在國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門(mén)中，由于廣泛應(yīng)用了自動(dòng)控制技術(shù)，改善了勞動(dòng)條件，提高了產(chǎn)品質(zhì)量和勞動(dòng)生產(chǎn)率。近幾十年來(lái)，隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用，在宇宙航行、導(dǎo)彈制導(dǎo)以及核動(dòng)力等高新技術(shù)領(lǐng)域中，自動(dòng)控制更具有特別重要的作用。不僅如此，自動(dòng)控制技術(shù)的應(yīng)用范圍現(xiàn)己擴(kuò)展到生物、醫(yī)學(xué)、環(huán)境、經(jīng)濟(jì)管理和其它許多社會(huì)生活領(lǐng)域中，自動(dòng)控制已成為現(xiàn)代社會(huì)

12、活動(dòng)中不可缺少的重要組成部分?？刂评碚撗芯咳绾胃倪M(jìn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的性能以達(dá)到所需目標(biāo)，這個(gè)廣義定義包含了人類(lèi)活動(dòng)的許多方面?？刂评碚撛噲D以定量方式描繪這些問(wèn)題，并集中于尋求一些精確的數(shù)學(xué)描述方法?？刂评碚撚袃蓚€(gè)目標(biāo):了解基本控制原理:以數(shù)學(xué)表達(dá)它們，使它們最終能用以計(jì)算進(jìn)入系統(tǒng)的控制輸入，或用以設(shè)計(jì)自動(dòng)控制系統(tǒng)。更進(jìn)一步說(shuō)，控制科學(xué)不僅用以處理單個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，還用以處理在觀察輸出和系統(tǒng)本身帶有不確定性條件下的復(fù)雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。自動(dòng)控制理論是研究自動(dòng)控制共同規(guī)律的技術(shù)科學(xué)。它的發(fā)展初期，是以反饋理論為基礎(chǔ)的自動(dòng)調(diào)節(jié)原理，并主要用于工業(yè)控制。第二次世界大戰(zhàn)期間，為了設(shè)計(jì)和制造飛機(jī)及船用自動(dòng)駕駛儀、火炮定位系統(tǒng)

13、、雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)以及其它基于反饋原理的軍用裝備，進(jìn)一步促進(jìn)并完善了自動(dòng)控制理論的發(fā)展。到戰(zhàn)后，己形成完整的自動(dòng)控制理論體系，這就是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的經(jīng)典控制理論，它主要研究單輸入一單輸出、線性定常系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題。一般處理的系統(tǒng)是單變量的系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單，基本分析和結(jié)合的方法是基于頻率法、根軌跡法、相平面法等，描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程或傳遞函數(shù)。然而經(jīng)典控制理論對(duì)干非線性時(shí)變系統(tǒng)卻難以奏效。到了50年代中期，由于空間技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)代控制理論應(yīng)運(yùn)而生?，F(xiàn)代控制理論主要研究具有高性能、高精度的多變量變參數(shù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題?，F(xiàn)代控制理論是基于系統(tǒng)內(nèi)部描述的狀態(tài)方程進(jìn)行時(shí)域分析的狀態(tài)空間方法

14、、最優(yōu)控制、最優(yōu)濾波、系統(tǒng)辯識(shí)和自適應(yīng)控制等等?，F(xiàn)代控制理論運(yùn)用狀態(tài)空間理論解決了多輸入多輸出問(wèn)題，對(duì)象的模型采用內(nèi)部模型以解析運(yùn)算為主要手段，實(shí)現(xiàn)某個(gè)或某幾個(gè)性能指標(biāo)的最優(yōu)。所研究的對(duì)象可以為線性定常系統(tǒng)，也可以為非線性時(shí)變系統(tǒng)?，F(xiàn)代控制理論也要求建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，但對(duì)于實(shí)際的工業(yè)系統(tǒng)，不是每個(gè)工業(yè)被控對(duì)象都能建立數(shù)學(xué)模型，而且隨著科學(xué)技術(shù)的突飛猛進(jìn)，對(duì)工業(yè)過(guò)程控制的要求越來(lái)越高，不僅要求控制的精確，而且更注重控制的魯棒性、實(shí)時(shí)性、容錯(cuò)性及對(duì)控制參數(shù)的自適應(yīng)和自學(xué)習(xí)能力，另外需要控制的工業(yè)過(guò)程日趨復(fù)雜，過(guò)程嚴(yán)重的非線性和不確定性，使許多系統(tǒng)無(wú)法用數(shù)學(xué)模型精確描述，這樣建立在數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上的

15、古典和現(xiàn)代控制方法將面臨空前的挑戰(zhàn)，同時(shí)也給智能控制方法的發(fā)展帶來(lái)了良好的機(jī)遇。自動(dòng)控制理論己經(jīng)過(guò)八十余年的歷程，具備了從經(jīng)典到現(xiàn)代嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚擉w系。自動(dòng)控制概念滲入不同學(xué)科，狀態(tài)空間描述方法廣泛用于許多領(lǐng)域。自動(dòng)控制理論對(duì)科技進(jìn)步功不可沒(méi)堪稱(chēng)二十世紀(jì)偉大科技成就之一。但如任何其他理論一樣，也有其局限性，即僅當(dāng)所研究的被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型存在解析解時(shí)，才能求得控制律，而目前的數(shù)學(xué)只能求出線性和一些典型非線性情況的解析解。這就是說(shuō)，控制理論所依賴(lài)的工具數(shù)學(xué)，限制了其應(yīng)用。對(duì)于簡(jiǎn)單的被控對(duì)象，即使存在非線性，若控制要求不高，也可通過(guò)相對(duì)平衡點(diǎn)的小偏離線性化把所論問(wèn)題規(guī)劃到線性范疇，或可采用相平面等非線性

16、理論加以解決。而隨著人類(lèi)社會(huì)的進(jìn)步，面對(duì)的被控對(duì)象日趨復(fù)雜，其非線性特性可能不符合小偏離線性化的條件，甚至難以建立數(shù)學(xué)模型，致使自動(dòng)控制理論面臨嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。目前，自動(dòng)控制理論還在繼續(xù)發(fā)展，并且跨越學(xué)科界限，正向以控制論、信息論、仿生學(xué)為基礎(chǔ)的智能控制理論深入。智能控制是人工智能，自動(dòng)控制與計(jì)算機(jī)相結(jié)合的產(chǎn)物，利用人類(lèi)智能實(shí)現(xiàn)控制目的。是被控系統(tǒng)的高度復(fù)雜性、高度不確定性以及人們對(duì)控制性能要求越來(lái)越高的產(chǎn)物。我們認(rèn)為，智能控制系統(tǒng)具有能夠處理高度非線性和復(fù)雜性的被控對(duì)象并對(duì)系統(tǒng)和環(huán)境的不確定性變化具有高度動(dòng)態(tài)適應(yīng)能力的自主系統(tǒng)，其本質(zhì)是對(duì)動(dòng)態(tài)的感知、學(xué)習(xí)和適應(yīng)能力。其主要具有聯(lián)想記憶和學(xué)習(xí)能力、

17、動(dòng)態(tài)自適應(yīng)能力和組織協(xié)調(diào)能力?，F(xiàn)在最有潛力的控制方法主要有基于模糊邏輯的模糊控制系統(tǒng)，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的神經(jīng)控制系統(tǒng)以及基于知識(shí)的專(zhuān)家控制系統(tǒng)。1.2倒立擺系統(tǒng)的歷史 自從20世紀(jì)50年代倒立擺系統(tǒng)成為控制實(shí)驗(yàn)室的經(jīng)典工具以來(lái)，關(guān)于倒立擺控制的論述可以分為兩個(gè)主要的方面: 1）理論方面:依靠計(jì)算機(jī)仿真對(duì)控制方法的可行性進(jìn)行驗(yàn)證;2）實(shí)驗(yàn)方面:調(diào)查引起計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果和實(shí)時(shí)控制之間性能差異的物理不確定性。 在理論方面，chung和litt對(duì)單軸倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)進(jìn)行了辨識(shí)，并分別設(shè)計(jì)了自適應(yīng)自整定反饋控制器和pd反饋控制器來(lái)保持倒立擺在垂直向上方向的穩(wěn)定。1989年，anderson和grantham運(yùn)

18、用函數(shù)最小化和lyapunov穩(wěn)定方法成功產(chǎn)生了一個(gè)優(yōu)化反饋控制器。1992年，renders和soudak通過(guò)相平面分析，得到了一個(gè)線性控制器。1995年，任章等應(yīng)用振蕩控制理論，通過(guò)在倒立擺支撐點(diǎn)的垂直方向上加入一個(gè)零均值的高頻振蕩信號(hào)，改善了倒立擺系統(tǒng)本身的穩(wěn)定性。1998年，蔣國(guó)飛等將q學(xué)習(xí)算法和bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有效結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)未離散化的倒立擺的無(wú)模型學(xué)習(xí)控制。2001年，單波等利用基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)控制算法對(duì)倒立擺的控制進(jìn)行了仿真。在兩軸倒立擺方面，sabba把系統(tǒng)穩(wěn)定尺度作為一個(gè)無(wú)限維不等式，從而避免了lyapunov方法。1996年，翁正新等，利用帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制器對(duì)二軸倒

19、立擺系統(tǒng)進(jìn)行了仿真控制。1997年，翁正新等利用同樣的方法對(duì)傾斜導(dǎo)軌上的二軸倒立擺進(jìn)行了仿真控制。2000年，劉妹琴等用進(jìn)化rbf神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制二軸倒立擺。1994年，sinha和joseph利用lyapunov-floquet變換得到了三軸倒立擺系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)仿真模型(有三個(gè)控制輸入)。2001年，李洪興領(lǐng)導(dǎo)的模糊系統(tǒng)和模糊信息研究中心利用變論域自適應(yīng)模糊控制的思想在國(guó)際上首次實(shí)現(xiàn)了四軸倒立擺的仿真;同年，肖軍等提出一種基于三維模糊組合變量的控制方法，仿真結(jié)果證明了該方法的有效性。在數(shù)學(xué)模型方面，larcombe得到了在二維坐標(biāo)中的簡(jiǎn)單多軸倒立擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。1992年，larcombe和to

20、rsney發(fā)現(xiàn)了簡(jiǎn)單多軸倒立擺系統(tǒng)平衡狀態(tài)的辨識(shí)方程。隨后，larcombe把符號(hào)算法應(yīng)用于兩軸倒立擺系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)線性化動(dòng)態(tài)方程，并且計(jì)算了系統(tǒng)的特征方程和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。2001年，史曉霞等建立了二軸倒立擺的數(shù)學(xué)模型;同年，張葛祥等建立了三軸倒立擺的數(shù)學(xué)模型，并分析了系統(tǒng)的可控制性和可觀測(cè)性，給出了智能控制算法的思路。在實(shí)驗(yàn)方面，單軸倒立擺系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)最早出現(xiàn)在roberge的論文中。1963年higdon和cannon提出了平行倒立擺的問(wèn)題。koenigsberg和fredrick則使用了基于觀測(cè)器的輸出反饋控制器和狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器。mori等設(shè)計(jì)了一個(gè)組合控制器，既可以擺起倒立擺，還可以維持它在垂直

21、向上方向上的平衡。1992年simth和blackburn利用高頻垂直振蕩獲得穩(wěn)定的倒置狀態(tài)；同年，ostertag和carvalho- ostertag開(kāi)發(fā)了一個(gè)帶摩擦力補(bǔ)償?shù)姆€(wěn)定模糊控制器。wei等利用bang-bang非線性控制器擺起了倒立擺并穩(wěn)定在垂直向上方向。1996年，張乃堯等實(shí)現(xiàn)了倒立擺的雙閉環(huán)模糊控制。1998年，王佳斌用b-p網(wǎng)絡(luò)控制倒立擺。對(duì)于二軸倒立擺，sturegeon和loscuttof認(rèn)為只有全階觀測(cè)器才能實(shí)現(xiàn)它的穩(wěn)定;但furuta等，證明了這種結(jié)論的錯(cuò)誤性并在1978年利用一個(gè)線性函數(shù)觀測(cè)器穩(wěn)定了同一系統(tǒng)。1980年，furuta等控制了傾斜導(dǎo)軌上的同一系統(tǒng)，并

22、能保持小車(chē)的正確定位。zu-ren等在1984年運(yùn)用部分狀態(tài)和線性函數(shù)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)，在模擬計(jì)算機(jī)上應(yīng)用了同一算法，1987年他們使用離散二次性能指標(biāo)修改了這一控制器。1993年，van der linden和lambrechts在運(yùn)用h二理論設(shè)計(jì)倒立擺的控制器時(shí)考慮了干摩擦。yamakita等運(yùn)用學(xué)習(xí)控制方法成功擺起了二軸倒立擺系統(tǒng)，而且在1994年他們運(yùn)用這相同的控制方法使倒立擺在四種平衡狀態(tài)中互相切換。1995年，程福雁等利用參變量模糊控制對(duì)二軸倒立擺進(jìn)行實(shí)時(shí)控制，取得了較好的效果。1999年，李巖等運(yùn)用基于pd控制的專(zhuān)家智能控制本實(shí)現(xiàn)了二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制。2000年，林紅等利用最優(yōu)反饋調(diào)

23、節(jié)器使其在倒立位置保持平衡，并在鋸齒波信號(hào)的作用下有規(guī)律地移動(dòng)，直止無(wú)限遠(yuǎn)處。在三軸倒立擺方面，furuta和meier等分別利用帶函數(shù)觀測(cè)器和降階觀測(cè)器的lqr方法設(shè)計(jì)了反饋控制器。1999年，李德毅利用云控制方法有效地實(shí)現(xiàn)了單電機(jī)控制的一、二、三軸倒立擺的多種不同動(dòng)平衡姿態(tài)，并給出了詳細(xì)試驗(yàn)結(jié)果;同年，張飛舟等采用相平面分析法并結(jié)合人的控制經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了一、二、三軸倒立擺的擬人智能控制。2000年，楊亞煒等利用擬人智能控制成功實(shí)現(xiàn)了在傾斜導(dǎo)軌上三軸倒立擺的穩(wěn)定，并可以控制三軸倒立擺沿水平或傾斜導(dǎo)軌自由行走。1.3倒立擺控制系統(tǒng)的發(fā)展動(dòng)向倒立擺的運(yùn)動(dòng)與雜技頂桿表演類(lèi)似，雜技頂桿表演是人們熟悉的

24、演藝，不僅是其技藝的精湛。更重要的是其物理機(jī)制與控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)。它深刻地揭示了自然界一種基本的規(guī)律，即一個(gè)自然不穩(wěn)定的被控對(duì)象，通過(guò)控制手段可使之具有良好的穩(wěn)定性。這一規(guī)律己成為當(dāng)今航空航天器設(shè)計(jì)的基本思想，即犧牲飛行器的自然穩(wěn)定性來(lái)確保它的機(jī)動(dòng)性。不難理解，當(dāng)今高速飛行器外形的選擇無(wú)不與其控制手段有關(guān)。綜上所述，不難看出雜技演員頂桿的物理機(jī)制可簡(jiǎn)化成一個(gè)倒置的物理擺，也就是我們常稱(chēng)之為的倒立擺或稱(chēng)一級(jí)倒立擺系統(tǒng)。倒立擺系統(tǒng)是一種非線性、多變量和絕對(duì)不穩(wěn)定的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。近代機(jī)械控制系統(tǒng)中，如直升飛機(jī)、火箭發(fā)射、人造衛(wèi)星運(yùn)行及機(jī)器人舉重物、做體操和行走機(jī)器人步行控制等等，都存在有類(lèi)似于倒

25、立擺的穩(wěn)定控制問(wèn)題。自從倒立擺的概念被首次正式提出以來(lái)，倒立擺的控制一直是控制領(lǐng)域及相關(guān)領(lǐng)域經(jīng)久不衰的研究課題?？v觀倒立擺控制的研究歷史，大致有兩種發(fā)展趨勢(shì)。一方面是傳統(tǒng)的小車(chē)式倒立擺的級(jí)數(shù)逐漸增加。倒立擺裝置的研究最初始于上個(gè)世紀(jì)的五十年代，麻省理工大學(xué)(mit)電機(jī)工程系設(shè)計(jì)出單級(jí)倒立擺的實(shí)驗(yàn)設(shè)備。由此演繹，漸漸產(chǎn)生了二級(jí)、三級(jí)和多級(jí)倒立擺。目前為止，國(guó)內(nèi)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了四級(jí)小車(chē)式倒立擺實(shí)際物理系統(tǒng)的控制。另一方面是倒立擺的外形結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)了多樣化，不斷出現(xiàn)新型的倒立擺，如旋轉(zhuǎn)式倒立擺、環(huán)形倒立擺平面倒立擺等。目前倒立擺控制算法的研究已進(jìn)行得比較深入。早期的倒立擺控制方法主要是傳統(tǒng)的控制方法，如pd

26、控制和基于線性模型的狀態(tài)反饋控制。e.eastuood等在1967年和bryson等在1970年先后應(yīng)用狀態(tài)狀態(tài)反饋方法對(duì)倒立擺模型進(jìn)行控制，并取得成功;1975年shozo mori應(yīng)用此方法和硬件狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)懸掛式倒立擺模型控制成功;繼而1987年kac.check等實(shí)現(xiàn)了對(duì)球平衡模型的控制。之后隨著一些控制理論的發(fā)展和完善，許多特殊的控制方法逐漸被應(yīng)用到倒立擺系統(tǒng)上。隨著魯棒控制理論的提出與發(fā)展，尤其是自從1981年，zames在其論文中引入范數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，標(biāo)志著控制理論的誕生以來(lái)，各種魯棒控制算法逐漸被應(yīng)用在倒立擺系統(tǒng)上。其中基于數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真研究的有:翁正新等利

27、用魯棒狀態(tài)反饋控制器對(duì)二級(jí)倒立擺和傾斜導(dǎo)軌上的倒立擺進(jìn)行了控制；樓順天等利用時(shí)變不確定性關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的魯棒自適應(yīng)控制方法對(duì)互耦雙倒立擺系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了控制；劉珊中等利用狀態(tài)反饋和kalman濾波相結(jié)合的方法實(shí)現(xiàn)了二級(jí)倒立擺的控制。對(duì)實(shí)際倒立擺系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)控制的有；一級(jí)倒立擺的實(shí)物控制，鐘瑞麟等利用基于lmi的狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)原理實(shí)現(xiàn)了二級(jí)倒立擺的控制；薛安克等基于魯棒lq控制實(shí)現(xiàn)了一級(jí)倒立擺的控制及最優(yōu)控制實(shí)現(xiàn)了二級(jí)倒立擺的控制。從倒立擺魯棒控制的文獻(xiàn)中可以看出，基于各種魯棒控制原理設(shè)計(jì)的控制器最終都是得到一組狀態(tài)反饋系數(shù)，這對(duì)控制器本身并沒(méi)有變化，只是給同樣的控制器賦予了不同的含義，并用不同的方式得到控制器的

28、參數(shù)而已。隨著模糊控制的發(fā)展，其相應(yīng)控制理論在二十世紀(jì)八十年代末開(kāi)始應(yīng)用于倒立擺系統(tǒng)。起初是單純的模糊控制，由于模糊控制的控制規(guī)則較多，導(dǎo)致相應(yīng)控制器的參數(shù)太多而無(wú)法很好地選取。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論及遺傳算法等漸漸成熟起來(lái)時(shí)，倒立擺的控制過(guò)程中往往是結(jié)合幾種算法進(jìn)行設(shè)計(jì)得到其控制器。例如基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的bp網(wǎng)絡(luò)、 rbf網(wǎng)絡(luò)、 hopfield網(wǎng)絡(luò)、模擬退火算法、遺傳算法等設(shè)計(jì)的模糊控制算法，大大減小了模糊控制器設(shè)計(jì)的復(fù)雜度。當(dāng)前，倒立擺的控制規(guī)律可總結(jié)如下:1）pid控制，通過(guò)對(duì)倒立擺物理模型的分析，建立倒立擺的動(dòng)力學(xué)模型，然后使用狀態(tài)空間理論推導(dǎo)出其非線性模型，再在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化得到倒立擺系

29、統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程，于是設(shè)計(jì)出pid控制器實(shí)現(xiàn)其控制。 2）狀態(tài)反饋控制，通過(guò)對(duì)倒立擺物理模型的分析，建立倒立擺的動(dòng)力學(xué)模型，然后使用狀態(tài)空間理論推導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程，應(yīng)用狀態(tài)反饋和kalman濾波相結(jié)合的方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制。3）利用云模型實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制，用云模型構(gòu)成語(yǔ)言值，用語(yǔ)言值構(gòu)成規(guī)則，形成一種定性的推理機(jī)制。這種擬人控制不要求給出被控對(duì)象精確的數(shù)學(xué)模型，僅僅依據(jù)人的經(jīng)驗(yàn)、感受和邏輯判斷，將人用自然語(yǔ)言表達(dá)的控制經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)語(yǔ)言原子和云模型轉(zhuǎn)換到語(yǔ)言控制規(guī)則器中，就能解決非線性問(wèn)題和不確定性問(wèn)題。4）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制，已經(jīng)得到證明，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(neural network，nn

30、)能夠任意充分地逼近復(fù)雜的非線性關(guān)系，nn能夠?qū)W習(xí)與適應(yīng)嚴(yán)重不確定性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，所有定量或定性的信息都等勢(shì)分布貯存于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的各種神經(jīng)元，故有很強(qiáng)的魯棒性和容錯(cuò)性；也可將q學(xué)習(xí)算法和bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有效結(jié)合，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)未離散化的倒立擺的無(wú)模型學(xué)習(xí)控制。5）遺傳算法(genetic algorithms ga)，高曉智在michine的倒立擺控制boxes方案的基礎(chǔ)上，利用ga對(duì)每個(gè)box中的控制作用進(jìn)行了尋優(yōu)，結(jié)果表明ga可以有效地解決倒立擺的平衡問(wèn)題。6）自適應(yīng)控制，主要是為倒立擺設(shè)計(jì)出自適應(yīng)控制器。7）模糊控制，主要是確定模糊規(guī)則，設(shè)計(jì)出模糊控制器實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制。8）使用幾種智能控制算法相

31、結(jié)合實(shí)現(xiàn)倒立擺的控制，比如模糊自適應(yīng)控制，分散魯棒自適應(yīng)控制等等。9）采用遺傳算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的方法，首先建立倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后為其設(shè)計(jì)出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，再利用改進(jìn)的遺傳算法訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制，采用ga學(xué)習(xí)的nn控制器兼有nn的廣泛映射能力和ga快速收斂以及增強(qiáng)式學(xué)習(xí)等性能。1.4現(xiàn)代控制在倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制中的應(yīng)用在古典控制理論中，主要考察系統(tǒng)輸出與輸入的關(guān)系，因而整個(gè)理論是基于傳遞函數(shù)來(lái)分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)的理論。而傳遞函數(shù)是從系統(tǒng)的外部觀察系統(tǒng)時(shí)得出的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種描述，不涉及系統(tǒng)內(nèi)部的動(dòng)態(tài)過(guò)程，因而傳遞函數(shù)被稱(chēng)為系統(tǒng)的外部描述模型。從能否完全揭示系統(tǒng)的

32、全部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)來(lái)論，傳遞函數(shù)顯然有其不足之處。在現(xiàn)代控制理論中，系統(tǒng)是用一組狀態(tài)變量構(gòu)成一階微分方程組來(lái)描述的，這組狀態(tài)變量能夠表達(dá)系統(tǒng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的全部動(dòng)態(tài)過(guò)程，因而它能更深刻地刻劃系統(tǒng)的特征。由于系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述不但能反映系統(tǒng)外部的行為，而且能揭示系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，所以它稱(chēng)為系統(tǒng)的內(nèi)部描述模型。由于狀態(tài)空間方法可以很方便地處理初始條件，又可以適用于非線性系統(tǒng)、多輸入多輸出系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)、隨機(jī)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)，同時(shí)又可以很方便地用計(jì)算機(jī)求解，所以它很快就發(fā)展起來(lái)，得到廣泛的應(yīng)用。線性系統(tǒng)理論是現(xiàn)代控制理論中最基本的部分，也是比較成熟的部分。要分析一下系統(tǒng)的特性，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。經(jīng)典控制

33、理論中用微分方程、傳遞函數(shù)和頻率特性來(lái)描述，而這里則是狀態(tài)方程來(lái)描述。狀態(tài)方程不但描述了系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，而且描述了系統(tǒng)內(nèi)部一些狀態(tài)變量的隨時(shí)間變化關(guān)系。如何建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程，由狀態(tài)方程如何分析系統(tǒng)的響應(yīng)特性?系統(tǒng)的穩(wěn)定性如何?系統(tǒng)狀態(tài)變量的能控性與能觀測(cè)性又如何?系統(tǒng)的性能指標(biāo)不滿(mǎn)足要求時(shí)，如何利用狀態(tài)反饋來(lái)改善系統(tǒng)的性能使之適合人們的需要?如果狀態(tài)變量不能直接得到，如何根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的觀測(cè)量來(lái)重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)，設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器等等問(wèn)題，都是線性系統(tǒng)理論要解決的主要問(wèn)題。由于這些分析綜合系統(tǒng)的方法都是建立在對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)方程的分析上，或者說(shuō)這些方法是研究在由這些狀態(tài)變量所張成的狀態(tài)空間中對(duì)狀態(tài)軌線如

34、何起作用的。所以這些方法也稱(chēng)為狀態(tài)空間分析方法。應(yīng)用線性控制理論的方法實(shí)現(xiàn)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，必須將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行近似線性化處理。狀態(tài)空間方法在倒立擺系統(tǒng)中應(yīng)用較早。a.e .b ryson等在1970年對(duì)一級(jí)倒立擺進(jìn)行控制獲得成功。s. mori等在1976年對(duì)懸掛式倒立擺控制成功。k. furuta等在1978年和1980年完成了對(duì)二級(jí)倒立擺和傾斜軌道式二級(jí)倒立擺的控制。在國(guó)內(nèi)尹征琦等采用模擬調(diào)節(jié)器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)小車(chē)一二級(jí)擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。梁任秋等討論了設(shè)計(jì)小車(chē)一二級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)字控制器的一般方法。任章、徐建民利用振蕩控制原理，提出了在倒立擺的支承點(diǎn)的垂直方向上加入一零均值的高頻

35、振蕩信號(hào)(apaz)以改善倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性，為解決倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制問(wèn)題提供了一種新的方法?？偟膩?lái)說(shuō)，在倒立擺平衡位置附近的小范圍內(nèi)，通過(guò)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行近似線性化處理，狀態(tài)反饋控制原理可以解決常規(guī)倒立擺的穩(wěn)定控制問(wèn)題。但狀態(tài)反饋控制需要構(gòu)造狀態(tài)觀測(cè)器，這項(xiàng)工作往往較為復(fù)雜。黃永宣運(yùn)用經(jīng)典控制理論解決了小車(chē)一單擺系統(tǒng)初始狀態(tài)在倒立點(diǎn)位置附近的小范圍穩(wěn)定控制問(wèn)題。應(yīng)用傳統(tǒng)控制理論的方法實(shí)現(xiàn)倒擺系統(tǒng)的控制，其特點(diǎn)是設(shè)法調(diào)整閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布以構(gòu)成閉環(huán)穩(wěn)定的倒立擺控制系統(tǒng)，但其局限性十分明顯，穩(wěn)定控制的范圍有限，難于處理更為復(fù)雜的復(fù)合擺系統(tǒng)。1.5對(duì)倒立擺系統(tǒng)研究的意義在控制理論發(fā)展

36、的過(guò)程中，某一理論的正確性及在實(shí)際應(yīng)用中的可行性需要一個(gè)按其理論設(shè)計(jì)的控制器去控制一個(gè)典型對(duì)象來(lái)驗(yàn)證這一理論，倒立擺就是這樣一個(gè)被控對(duì)象。倒立擺本身是一個(gè)自然不穩(wěn)定體，在控制過(guò)程中能夠有效地反映控制中的許多關(guān)鍵問(wèn)題，如鎮(zhèn)定問(wèn)題，非線性問(wèn)題，魯棒性問(wèn)題，隨動(dòng)問(wèn)題以及跟蹤問(wèn)題等。倒立擺的典型性在于:作為一個(gè)裝置，成本低廉，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，形象直觀，便于實(shí)現(xiàn)模擬和數(shù)字兩者不同的方式的控制:作為一個(gè)被控對(duì)象，又相當(dāng)復(fù)雜，就其本身而言，是一個(gè)高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性、強(qiáng)耦合的快速性系統(tǒng)，只有采取行之有效的控制方法方能使之穩(wěn)定。對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制，其穩(wěn)定效果非常明了，可以通過(guò)擺動(dòng)角度、位移和穩(wěn)定時(shí)間直接

37、度量，控制好壞一目了然。理論是工程的先導(dǎo)，對(duì)倒立擺的研究不僅有其深刻的理論意義，還有重要的工程背景。從日常生活中所見(jiàn)到的任何重心在上、支點(diǎn)在下的控制問(wèn)題，到空間飛行器和各類(lèi)伺服平臺(tái)的穩(wěn)定，都和倒立擺的控制有很大的相似性，故對(duì)其的穩(wěn)定控制在實(shí)際中有很多用場(chǎng)，如海上鉆井平臺(tái)的穩(wěn)定控制、衛(wèi)星發(fā)射架的穩(wěn)定控制、火箭姿態(tài)控制、飛機(jī)安全著陸、化工過(guò)程控制等都屬這類(lèi)問(wèn)題。因此對(duì)倒立擺機(jī)理的研究具有重要的理論和實(shí)際意義，成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。在穩(wěn)定性控制問(wèn)題上，倒立擺既具有普遍性又具有典型性。倒立擺系統(tǒng)可以用多種控制理論和方法來(lái)實(shí)現(xiàn)其穩(wěn)定控制，如pid、自適應(yīng)、狀態(tài)反饋、智能控制、模糊控制及人工神

38、經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)等，都能在倒立擺系統(tǒng)控制上得到實(shí)現(xiàn)，而且當(dāng)一種新的控制理論和方法提出以后，在不能用理論加以嚴(yán)格證明時(shí)，可以考慮通過(guò)倒立擺裝置來(lái)驗(yàn)證其正確性和實(shí)用性。機(jī)器人行走類(lèi)似雙倒立擺，盡管第一臺(tái)機(jī)器人在美國(guó)面世已三十多年，機(jī)器人的關(guān)鍵技術(shù)仍未很好解決。因此，倒立擺成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題，人們把它喻為:“任何一個(gè)自動(dòng)控制部門(mén)都追求的皇冠上的珍珠”。1.6 本文的主要工作 倒立擺系統(tǒng)在控制系統(tǒng)研究中受到普遍重視?！暗沽[系統(tǒng)”已被公認(rèn)為自動(dòng)控制理論中的典型試驗(yàn)設(shè)備，也是控制理論在教學(xué)和科研中不可多得的典型物理模型，通過(guò)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究，不僅可以解決控制中的理論問(wèn)題，還能將控制理論所涉及的三

39、個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科:力學(xué)、數(shù)學(xué)和電學(xué)(含計(jì)算機(jī))有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，在倒立擺系統(tǒng)中進(jìn)行綜合應(yīng)用。在實(shí)際教學(xué)中，作為驗(yàn)證控制策略的一種手段，倒立擺系統(tǒng)被提了出來(lái)。由于計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果與實(shí)際實(shí)驗(yàn)總存在很大的差別，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研制為學(xué)生提供了理論與室踐結(jié)合的可能本文通過(guò)對(duì)環(huán)型二級(jí)倒立擺系統(tǒng)特點(diǎn)的分析和數(shù)學(xué)模型的建立，選擇了線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator lqr)控制環(huán)型二級(jí)倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定在垂直向上的平衡點(diǎn)上。線性二次型調(diào)節(jié)器問(wèn)題在現(xiàn)代控制理論中占有非常重要的位置,受到控制界的普遍重視。線性二次型(lq) 性能指標(biāo)易于分析、處理和計(jì)算,而且通過(guò)線性二次型最優(yōu)設(shè)計(jì)方法得到的

40、倒立擺系統(tǒng)具有較好的魯棒性與動(dòng)態(tài)特性以及能夠獲得線性反饋結(jié)構(gòu)等優(yōu)點(diǎn)，因而在實(shí)際的倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。 環(huán)型倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立所謂系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，就是利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來(lái)反映系統(tǒng)內(nèi)部之間、內(nèi)部與外部某些因素之間的精確的定量的表示。它是分析、設(shè)計(jì)、預(yù)報(bào)和控制一個(gè)系統(tǒng)的基礎(chǔ)。所以，要對(duì)一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究，首先要建立它的數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型有兩種方法:一種是從基本物理定律，即利用各個(gè)專(zhuān)門(mén)學(xué)科領(lǐng)域提出來(lái)的物質(zhì)和能量的守恒性和連續(xù)性原理，以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)推導(dǎo)出模型。這種方法得出的數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為機(jī)理模型或解析模型，這種建立模型的方法稱(chēng)為解析法。另一種是從系統(tǒng)運(yùn)行和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)的模型(模

41、型結(jié)構(gòu)和參數(shù))，這種方法稱(chēng)為系統(tǒng)辯識(shí)。倒立擺的形狀較為規(guī)則，而且是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)，無(wú)法通過(guò)測(cè)量頻率特性方法獲取其數(shù)學(xué)模型。故適合用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行理論推導(dǎo)。.環(huán)型倒立擺的特點(diǎn)總的來(lái)說(shuō)，倒立擺系統(tǒng)一直是自動(dòng)控制、機(jī)械電子等領(lǐng)域中非常典型的教學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)備, 因?yàn)榈沽[控制系統(tǒng)的線性設(shè)計(jì)非常直觀地說(shuō)明現(xiàn)代線性控制理論的優(yōu)點(diǎn)和有效性, 同時(shí)它還涉及到系統(tǒng)辨識(shí)、非線性系統(tǒng)的線性化、執(zhí)行電機(jī)的控制等方面. 因而倒立擺系統(tǒng)一直是控制理論界關(guān)注的焦點(diǎn), 人們將各種先進(jìn)的控制算法運(yùn)用到倒立擺系統(tǒng)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證. 倒立擺的研究始于20 世紀(jì)60 年代, 當(dāng)時(shí)主要集中在直線軌道的倒立擺系統(tǒng)的線性控制. 近10 年來(lái),

42、 三級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)成功更是掀起了一股研究的熱潮, 與此同時(shí), 旋轉(zhuǎn)軌道的環(huán)型倒立擺系統(tǒng)由于其自身的特點(diǎn)也開(kāi)始受到研究者的關(guān)注。環(huán)型倒立擺系統(tǒng)是一種典型的非線性系統(tǒng), 它具有如下特性:1) 不確定性. 主要是模型的參數(shù)誤差以及機(jī)械傳動(dòng)過(guò)程中的減速齒輪間隙所導(dǎo)致, 不過(guò)與直線型倒立擺系統(tǒng)相比, 由于沒(méi)有了導(dǎo)軌上拖動(dòng)小車(chē)的皮帶, 影響程度有所改善.2) 耦合特性. 從系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中可以看到, 環(huán)型倒立擺擺桿和水平的連桿之間, 以及多級(jí)倒立擺系統(tǒng)的上下擺桿之間都具有較強(qiáng)耦合。3) 開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng). 倒立擺桿有兩個(gè)平衡狀態(tài): 垂直向下和垂直向上. 垂直向下的狀態(tài)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn), 而垂直向上的狀

43、態(tài)是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn), 開(kāi)環(huán)時(shí)微小的擾動(dòng)就會(huì)使系統(tǒng)離開(kāi)平衡點(diǎn)而進(jìn)入到垂直向下的狀態(tài)中去。4) 行程無(wú)限制. 旋轉(zhuǎn)型倒立擺系統(tǒng)的連桿沒(méi)有行程限制, 而直線型的倒立擺系統(tǒng)小車(chē)的行程是有物理限制的, 因而增加了控制的約束, 使得一些算法在直線型倒立擺系統(tǒng)上無(wú)法實(shí)現(xiàn)。.lagrange方程的特點(diǎn)對(duì)于多變量、非線性系統(tǒng)，目前還沒(méi)有一個(gè)確定的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)其控制問(wèn)題.為減少實(shí)驗(yàn)的盲目性，通常先建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后進(jìn)行仿真研究，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行實(shí)際系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)。在建立倒立擺系統(tǒng)的模型時(shí)，可以采用牛頓一歐拉方程或lagrange方程來(lái)求解。用牛頓一歐拉方程推導(dǎo)時(shí)，需要解大量的微分方程，確定各質(zhì)點(diǎn)間相互作用力和運(yùn)動(dòng)方

44、面的關(guān)系， 求解聯(lián)立方程，推導(dǎo)過(guò)程顯得尤為繁瑣，復(fù)雜.這里，采用分析力學(xué)中的lagrange方程推導(dǎo)圓形軌道倒立擺系統(tǒng)模型。分析力學(xué)是在1788年lagrange發(fā)表的大型著作分析力學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一系列處理力學(xué)問(wèn)題的新方法。在分析力學(xué)一書(shū)中，lagrange是用獨(dú)立變量來(lái)描述力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)，這是一組二階常微分方程。通常把這一方程組叫做lagrange方程，其基本形式為： 其中是所研究力學(xué)體系的廣義坐標(biāo)；是作用在此力學(xué)體系上的用廣義坐標(biāo)和t表示的廣義力；t是用廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)能。從方程中可以看出，分析力學(xué)注重的不是力和加速度，而是具有更廣泛意義的能量，擴(kuò)大了坐標(biāo)的概念。lagrange方程

45、有如下的特點(diǎn):1）它是以廣義坐標(biāo)表達(dá)的任意完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式，方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度數(shù)是一致的。2）理想約束反力不出現(xiàn)在方程組中，因此在建立運(yùn)動(dòng)方程式時(shí)，只需分析已知的主動(dòng)力，而不必分析未知的約束反力。3）lagrange方程是以能量觀點(diǎn)建立起來(lái)的運(yùn)動(dòng)方程式，為了列出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式，只需要從兩個(gè)方面去分析，一個(gè)是表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)量系統(tǒng)的動(dòng)能，另一個(gè)是表征主動(dòng)力作用的動(dòng)力學(xué)量廣義力。因此用lagrange方程來(lái)求解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以大大簡(jiǎn)化建模過(guò)程。.狀態(tài)空間模型如在第一章所提到的，現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。因此，確定控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，即建立在

46、狀態(tài)空間中的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)基本問(wèn)題，也是現(xiàn)代控制理論中分析和綜合控制系統(tǒng)的前提的基礎(chǔ)上，其重要性就像經(jīng)典控制理論中確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一樣?，F(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)空間法，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是將描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的高階微分方程改寫(xiě)成一階聯(lián)立微分方程組的形式，或者將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)直接用一階微分方程組表示，寫(xiě)成矩陣形式，這樣就得到了狀態(tài)空間模型。1.連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：式中，是的系統(tǒng)控制輸入（r個(gè)）向量，是的系統(tǒng)狀態(tài)變量，則是的系統(tǒng)輸出向量。a是的系統(tǒng)矩陣（狀態(tài)矩陣），有控制對(duì)象的參數(shù)決定；b為的控制矩陣（輸入矩陣）；c為的輸出矩陣（觀測(cè)矩陣）；d為的輸入輸出矩陣（直接傳輸矩陣）。2.離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)的狀態(tài)

47、空間模型為：式中，輸入向量、狀態(tài)向量、輸出向量，表示采樣點(diǎn)。為狀態(tài)矩陣，由控制對(duì)象的參數(shù)決定；為控制矩陣；為輸出矩陣；為直接傳輸矩陣。在matlab中，系統(tǒng)可用表示，用函數(shù)（）來(lái)建立控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，或者將傳遞函數(shù)模型與零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)空間模型。. 環(huán)型二級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立本文使用的固高擺控制系統(tǒng)如圖所示，包括計(jì)算機(jī)、運(yùn)動(dòng)控制卡、伺服系統(tǒng)、倒立擺本體和光電碼盤(pán)反饋測(cè)量元件等幾大部分，組成一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。圖中光電碼盤(pán)1由伺服電機(jī)自帶，對(duì)于直線型倒立擺，可以根據(jù)該碼盤(pán)的反饋通過(guò)換算獲得小車(chē)的位移，小車(chē)的速度信號(hào)可以通過(guò)差分法得到；對(duì)于環(huán)形倒立擺，則可以根據(jù)該碼盤(pán)的反饋和機(jī)構(gòu)的減

48、速比直接求得轉(zhuǎn)動(dòng)小車(chē)的角位移。各個(gè)擺桿的角度由光電碼盤(pán)測(cè)并直接反饋到控制卡，速度信號(hào)可以通過(guò)差分方法得到。計(jì)算機(jī)從運(yùn)動(dòng)控制卡中實(shí)時(shí)讀取數(shù)據(jù)，確定控制決策（電機(jī)的輸出力矩），并發(fā)送給運(yùn)動(dòng)控制卡。運(yùn)動(dòng)控制卡經(jīng)過(guò)dsp內(nèi)部的控制算法實(shí)現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)小車(chē)運(yùn)動(dòng)，保持?jǐn)[桿平衡。 圖 固高擺系統(tǒng)的硬件筐圖環(huán)型二級(jí)倒立擺的工作原理為: 電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)水平桿旋轉(zhuǎn), 由此帶動(dòng)與水平桿另一端相連的下桿和上桿在垂直方向做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)?？刂频哪康氖窍Ｍㄟ^(guò)控制電機(jī)的力矩, 并通過(guò)水平桿的作用, 達(dá)到控制上、下桿變化的角度, 使兩者共同平衡在垂直的180 度的位置上。為此, 需要首先建立被控

49、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。二級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立基于以下假設(shè): 1)每一級(jí)擺桿都是剛體.2)在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中同步帶長(zhǎng)度保持不變.3)驅(qū)動(dòng)力與放大器輸入成正比并無(wú)延遲的直接施加于小車(chē).4)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的庫(kù)侖摩擦、動(dòng)摩擦等所有摩擦力足夠小，在建模過(guò)程中可忽略不計(jì).在忽略了空氣流動(dòng)，各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成兩個(gè)勻質(zhì)桿和質(zhì)量塊組成的系統(tǒng)，如圖2所示。圖2：水平桿的質(zhì)量 0.234kg：擺桿 1 的質(zhì)量 0.09kg：擺桿 2 的質(zhì)量 0.13kg：質(zhì)量塊 1 的質(zhì)量 0.3kg：質(zhì)量塊 2 的質(zhì)量 0.178kg：水平桿長(zhǎng)度 0.221m：擺桿 1 轉(zhuǎn)動(dòng)中心到桿質(zhì)心的距離 0. 08m：擺桿 2 轉(zhuǎn)動(dòng)

50、中心到桿質(zhì)心的距離 0. 1975m：連桿與水平 x 軸的夾角（圖示順時(shí)針為正）：擺桿1與垂直向上方向的夾角（圖示順時(shí)針為正）：擺桿2與垂直向上方向的夾角（圖示順時(shí)針為正）利用拉格朗日方程推導(dǎo)環(huán)形倒立擺動(dòng)力學(xué)方程 拉格朗日方程為： 其中，為拉格朗日算子，為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，為系統(tǒng)的動(dòng)能，為系統(tǒng)的勢(shì)能。拉格朗日方程由廣義坐標(biāo) 和表示為： 其中，為系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)的兩個(gè)廣義坐標(biāo)分別是, ,。 首先計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能： 其中連桿動(dòng)能， 為擺桿 1 動(dòng)能，為擺桿 2 動(dòng)能，為質(zhì)量塊 1 動(dòng)能，為質(zhì)量塊 2 動(dòng)能。 可以得到系統(tǒng)動(dòng)能：系統(tǒng)的勢(shì)能為：（以水平桿所在的位置為零能位置

51、） 至此得到拉格朗日算子 : 由于在廣義坐標(biāo)上無(wú)外力作用，有以下等式成立： (1) (2) 展開(kāi)(1)、(2)式，得到(3)、(4)式如下： (3) (4) 將(3)式對(duì)求解代數(shù)方程，得到下式： （5）將(4)式對(duì)求解代數(shù)方程，得到下式： （6）表示成以下形式： （7） （8）取平衡位置時(shí)各變量的初值為零，將(5)式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并線性化，令帶入(5)式，得到線性化之后的公式： （9） 將(6)式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并線性化，令帶入(6)式，得到線性化之后的公式： （10）現(xiàn)在得到了一個(gè)線性微分方程，我們采用角加速度作為輸入，因此還需加上一個(gè)方程 （11） 取狀態(tài)變量如下：由(9)，(10)，(11)式得到狀態(tài)空間方程如下：3 線性二次型最優(yōu)控制器（lqr）的設(shè)計(jì)對(duì)于線性系統(tǒng)， 若取狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分作為性能指標(biāo)函數(shù)時(shí)， 這種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)化問(wèn)題稱(chēng)為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題， 簡(jiǎn)稱(chēng)線性二次型問(wèn)題。它可以把一些相互矛盾的要求統(tǒng)一在一個(gè)性能指標(biāo)中，求得系統(tǒng)的總體最優(yōu)性，它的最優(yōu)解可以寫(xiě)成統(tǒng)一的解析表達(dá)式，且可導(dǎo)致一個(gè)簡(jiǎn)單的狀態(tài)線性反饋控制律，構(gòu)成閉環(huán)控制，其計(jì)算和工程實(shí)現(xiàn)都比較容易。線性最優(yōu)控制問(wèn)題包括線性調(diào)節(jié)器和線性伺服系統(tǒng)兩類(lèi)問(wèn)題。調(diào)節(jié)器問(wèn)題是針對(duì)系統(tǒng)未處于平衡狀態(tài)(通常是狀態(tài)空間原點(diǎn))或受脈沖型擾動(dòng)時(shí)，研究利