待定系數法及其在中學數學的應用

1、待定系數法及其在中學數學的應用 Application of undetermined coefficients in the elementary mathematics論文作者： 專業(yè)：數學與應用數學（師范）指導老師： 完成時間：2010年11月14日摘 要首先用兩道數學題引出待定系數法，然后給出待定系數法的定義、解題步驟，歸集常用待定系數法解題的題型，具體給出在每個類型中的某一個或者幾個代表例子來說明待定系數法在具體題目中的解題運用。最后小結待定系數法的意義，并指出其特殊性，即并不是所有題用待定系數法解題都是最簡便的 First using two mathematic problems

2、 to extract the method of undermined coefficients, and then giving out the definition and solving steps of method of undermined coefficients. Next, collecting the math types which use the method of undermined coefficients. And then show out one or a few representative examples of each type to illust

3、rate how undetermined coefficient method in solving specific use in the math exercises. At last, summing the significance of method of undermined coefficients, pointing out its particularity that not all the problems solved by the method of undermined coefficients are the most convenient.關鍵詞：待定系數法；因

4、式分解；函數解析式；數列通項；不等式；向量Keywords：method of undetermined coefficients；Factoring decomposition；Analytical formula；Sequences of the general term；inequality；vector目 錄1引言 42待定系數法的定義 43待定系數法的過程 44待定系數法解題的常用題型 45待定系數法實例 4 5.1待定系數法進行因式分解 4 5.2待定系數法求部分分式和 5 5.3待定系數法求函數解析式 6 5.4待定系數法求數列通項 8 5.5待定系數法求其它問題 96總結 11

5、7參考文獻 128致謝 121引言在數學解題過程中，有時候無法直接求的題目的答案如：對因式分解，將表示為的方冪的形式這個時候引進待定系數法，建立等式關系，能夠達到解決問題的結果待定系數法是一種基本的數學方法，是一種很好的解決問題的手段2待定系數法的定義待定系數法是根據已知條件，建立起給定的算式和所求的結果之間的恒等式，得到以需要待定的系數為未知數的方程或方程組，解方程或方程組得到待定的系數的一種數學方法3待定系數法的步驟（1）確定所求問題的待定系數，建立條件與結果含有待定的系數的恒等式（2）根據恒等式列出含有待定的系數的方程或方程組（3）解方程或方程組以確定待定的系數4應用待定系數法解題的常用

6、題型（1）用待定系數法進行因式分解，如：對因式分解（2）用待定系數法求函數解析式，如：已知函數，（其中，）的圖像與軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖像上一個最低點為，求其解析式（2009年陜西高考）（3）用待定系數法求數列通項式，如：已知等差數列滿足：，的前項和為，求（2010年山東高考）（4）用待定系數法求解的其它類型如：不等式問題、三角函數問題、向量問題、求部分分式和等等5待定系數法求解實例51 待定系數法進行因式分解例1 分解因式： 分析：這是一個關于的四次多項式，由于次數相對過高，不能使用十字相乘分組分解法又有困難經過驗證由沒有有理根但是次數是確定的，我們能夠根據次數大概猜測其

7、因式分解以后的形式，這個時候我們可以引進待定系數法進行因式分解解：設= =，比較等式兩邊的多項式對應項的系數，列出方程組，得，解該方程，得到，所以評析：與這個類型題相似解題的還有解方程、解不等式如把題目改成解方程，或者解不等式這兩種類型的題型的做法跟本題因式分解方法相同52用待定系數法求部分分式和例2將化為部分分式之和 分析：這類型的問題思路基本上跟因式分解類似，首先用未知數表示化為部分分式和以后的形式，展開后，根據分子、分母的多項式分別相等可列出含有未知數的方程組，解方程組，代入所設的部分和即可得結果解：由于，則可設，則,由相等的多項式各項系數相等可列出方程組,解以上方程組得 ,故=53用待

8、定系數法求函數解析式例3已知橢圓 的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點，為頂點的三角形的周長為一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設為該雙曲線上已于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為，和，求橢圓和雙曲線的標準方程（2010年山東高考）分析：要用待定系數法求解解析式，首先要知道函數解析式的形式，然后用字母表示出解析式然后根據題目中給出的已知條件解出未知數，最后寫出解析式解：設橢圓的半焦距為c，由題意可得：橢圓的離心率為，根據幾何關系，可得到關系式，聯立上兩式解方程組，得，又根據關系式，可得故橢圓的標準方程為由題意可設等軸雙曲線的標準方程為，又由于等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，所以有評析

9、：用待定系數法求方程的解析式，不僅可以求橢圓、雙曲線，一次函數、二次函數等簡單能估計其解析式形式的題型例4是否分別存在滿足下列條件的函數：（1）是三次函數，且，；（2）是一次函數，且 如存在，求出的表達式；若不存在，說明理由分析：首先假設函數存在，用字母設出函數的解析式，利用已知的條件建立方程或方程組，解方程組，求出未知數，寫出函數解析式解：（1）設，則由題意可建立方程式，得，解以上方程組，得，故存在滿足條件的的函數存在，表達式為（2）假設存在，由是一次函數可知是二次函數，故可設，則將和代入已知條件，得，整理得，由等式兩邊各項系數相等，可建立方程組，解以上方程組可得，所以滿足條件的存在，表達式

10、為評析：利用待定系數法求解函數解析式，可以使問題簡化54用待定系數法求數列通項式例5已知數列中，設，求數列的通項公式（2010高考全國卷一）分析：利用待定系數法求數列的解析式，首先把某些已知條件轉化成我們熟知的簡單的數列的形式，比如等差數列、等比數列等，用字母表示，然后根據數列的性質，解出未知數，即可得結果解：，則，即（1）則可設，即通過與（1）式比較，可解得則又有，故故是首項為，公比為4的等比數列，即則評析：對，當時，若為等差數列，則，則只需要要用疊加法即可求解對，當且時，若為等差數列，則可設，那么可設，即，通過所設的式子與原式的對比可設方程組，解方程組得，故數列為等差數列最后可以根據等差數

11、列的性質及題目給出的條件求出數列的通項式用待定系數法求其它問題例6已知二次函數，且滿足，求的取值范圍分析：如果直接把和1代入二次函數的解析式，求出和的取值，再通過和的范圍求出，這樣不僅在求解的操作上增加了難度，而且有可能擴大解集所以這個時候用待定系數法，用、表示，建立者之間的關系，這樣解題比較快捷，范圍也比較準確解：設，則有，比較等式兩邊和之前的系數，可列出方程組，解方程組，得，即，又有，則評析：用待定系數法可以整體使用條件，避免出現錯誤例7若向量,是不共線的兩向量，且，（），則A，B，C三點共線的條件是（ ）A BC D 分析：用待定系數法解決這種向量問題，可以先根據向量的關系，設出待定的未

12、知數，列出相應的方程組，解方程組，求待定的未知數，然后就可求的題目所要求解的答案解：求A，B，C三點共線的條件即為求向量和向量的條件，則根據向量共線的條件可知，存在（且），使，即由向量和不共線，則根據，前的系數相等可列出方程組，則可解得，故可得到，即選答案D評析：這類題型總的來說是根據向量的相等來建立等式的，從而得出待定的系數，解出所求的答案例8設，求函數的最小值分析：看到本題，容易想到用均值不等式來進行求解由于，則有，當且僅當即時取到等號但是我們知道，故顯然這樣解這道題是錯誤的解這道題需要拆項，但是直接拆項會有一定的難度，而待定系數法可以使拆項變得簡單解：設存在，使得，由均值不等式可有，當且

13、僅當時成立，而，則，此時，即即有，則評析：用此方法解題，在解題中要注意取時的條件，用此條件可以解出題目的正確答案待定系數法實際就是將待定的未知數與已知數建立等式關系，從而列出方程或方程組，解方程或方程組即可得待定的未知數之后就只需根據題目給出的條件，解題即可用待定系數法解題，思路較為清晰，操作比較方便，在很多解題過程中都可以用到但是在解題過程中，待定系數法并不是最為簡單，最為合適的方法如例8中，我們還可以根據復合函數的單調性做：，已知在上單調遞減，故這樣解題，比起用待定系數法，不但思路明白清晰，而且計算簡單。因此，解題時要根據具體的題目，選擇簡單又適合的方法參考文獻1 葉立軍.初等數學研究M.

14、上海:華東師范大學出版社, 2008,43-44.2 周燕華.待定系數法求通項J數理天地高中版.2008,（1）:1315.3 趙欽榮,張允翠.用待定系數法解題舉例J.數學愛好者.2008,（4）:4950.4 李亞麗.待定系數法在不等式中的應用J.中學生數理化高二版.2006,（6）:2223.5 黃兆麟.待定系數法因式分解二次六項式J.中學生數學.2010,（4）:19.致謝 感謝杭州師范大學對我的培養(yǎng)，學校里濃厚的學習氛圍，舒適的學習環(huán)境給我些論文提供了很大的空間。感謝李祖泉老師在這段時間對我的悉心指導，在我迷惑的時候為我指點迷津，幫助我開拓思路。讓我能夠順利地完成論文。感謝我的同學在這

15、段時間對我的幫助，使我能夠更快地完成論文。總之，我要感謝我的老師、同學、家人在我寫論文期間對我的所有幫助和支持，再一次送上我誠摯的祝福。謝謝！tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92t

16、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