洛必達(dá)法則使用中常見錯(cuò)誤

1、洛必達(dá)法則使用中的5種常見錯(cuò)誤求極限是微積分中的一項(xiàng)非?；A(chǔ)和重要的工作。在建立了極限的四則運(yùn)算法則，反函數(shù)求導(dǎo)法則，以及復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則和求導(dǎo)證明之后，對(duì)于 普通的求極限問題，都可以通過上述法則來解決，但是對(duì)于形如：0,0,0,1 ,00 （其中后面3種可以通過A elnA進(jìn)行轉(zhuǎn)換）0的7種未定型，上述法則往往顯得力不從心，而有時(shí)只能是望塵莫及。17世紀(jì)末期的法國(guó)數(shù)學(xué)家洛必達(dá)給出了一種十分有效的解決方案，我們稱之為洛必達(dá)法則（L,Hospital Rule ）。雖然這個(gè)法則實(shí)際上是瑞士數(shù)學(xué)家約翰第一伯努力在通信中告訴洛必達(dá)的。在使用洛必達(dá)法則解題過程中，可能會(huì)遇到的一些常見誤區(qū)和盲點(diǎn)。本

2、文的目的不是為了追求解題技 巧，而是為了培養(yǎng)一種好的解題習(xí)慣。以減少在用洛必達(dá)法則解題過程中可能出現(xiàn)的失誤。首先，復(fù)述洛必達(dá)法則的其中一種情形：Hospital Rule : 1 lim f (x) lim g(x) 0x ax a 702 在某 U (a,)內(nèi)，f (x), g (x)存在，且 g (x)0maH X（或者）則limx af(x) g(x)limx af (x) g(x)失誤一不預(yù)處理例1錯(cuò)誤：1lim xexlix 0x正確:11J-elim xexlim .x 0x 01x失誤二急躁蠻干x0limx錯(cuò)解lim3學(xué)x 1 2x x 4x正確解：lim 3x 12x3x3 3

3、x 2x2 4x 3応：錯(cuò)解Hm0xe cosxxsin x1(ex)limx 0A)xx e正確解：limx 0x 1ex ()x1()xlim 嚴(yán) x 1 6x2 2xlimx 1 12x-lim 2 x 1 123x23lim 廠x 1 6x 2x 46x lim x 1 12x2xe sin xlimx 0 sin x xcosxx . esin xcos limx 0 sin x xcosxxsin xcosxlimx 0 cosx cosx xsin x更好的解法：limx 0xxe cosx e cosxlim 2xsin xx 0 xmoH Xsin x2x經(jīng)驗(yàn)：先考慮無窮小代

4、換 （與“0”結(jié)合），后考慮洛必達(dá)法則上面的例子啟發(fā)我們，在應(yīng)用洛必達(dá)法則之前要進(jìn)行預(yù)處理，以簡(jiǎn)化計(jì)算2 11 cos x xsin2x lim2x 0x2(ex21)limx.2 . sin x xsin xcosxx2x2limxsin x(sin x xcosx)x4sin x=limx 0xcosx3xxsin x lim 廠 x 0 3x 失誤三 對(duì)離散點(diǎn)列求導(dǎo)例4求nlim錯(cuò)解：屬于0型,先進(jìn)行變形limn1 In nlim ennlimneln nnlimnee0錯(cuò)誤原因:f(n)n n是離散的點(diǎn)列,系列孤立的點(diǎn),連續(xù)都談不上，更不用說可導(dǎo)。正確的解:limxlimxxlim1I

5、n xexln xlimxxexlimxex1e01正確解:1存在x sin x般”到“特殊”的過程）x sin x不存在，所以lim不存在xlimxlim (1xsin x 丄)x例6:錯(cuò)解:limx2x cosx3x sin x2 sin x limxcosx，因?yàn)閘imx2 sinx不存在，所以lim3 cosxx2x cosx 十亠不存在3x sin x正確解:2x cosx limx 3x si nxlimx2 cosxx3 sin x失誤五濫用導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性3x例7設(shè)f (x)在某U(0,)存在，且f (0)1, f (0)2 求 limx 01 f (x)對(duì)于側(cè)重于計(jì)算的填空題和

6、選擇題，我們主要驗(yàn)證111, 一般可以不必去驗(yàn)證21， 3|的驗(yàn)證級(jí)別最x1錯(cuò)解：lim 一 lim x 01 f(x) x 0 f (x)錯(cuò)誤原因：f (x)在x=0處未必連續(xù)。(選擇題可以用此解法，這是一種策略)lim1一x 0 f (x) 1X11 (導(dǎo)數(shù)定義)2x正確解：limx 01 f(x)limx 0 f(x) f(0) f (0)例8 f(x)在x處二階可導(dǎo)，求”叫丄侖h) 2f (x) f (x h)h2錯(cuò)解1 :叫Hh叫 Jh=1 |im f(X h) f (x) f (x h) f (x) 2h 0hlim f(x h) f(x)2 h 0hf (x h) f (x)h1

7、 .=lim f (x) f (x) = 02 h 0錯(cuò)誤原因：沒有分清在極限過程中錯(cuò)解 2 : lim f(X h)2f2X)h 0h2量 常 是a-T叫Hh錯(cuò)誤原因：二階導(dǎo)函數(shù)未必連續(xù)，即:f moHh注：由f(X)存在，但f(X)不一定連續(xù)，所以第 2個(gè)等號(hào)后面不符合羅必達(dá)法則的條件正確解：叫HhmHh=1|im f(X h) f (x) f (x) f (x h) 2h 0hlim f(x h) f(x)2 h 0hf (x h) f (x)h1=-f (x) f (x) f (x)(這是由導(dǎo)數(shù)定義得到的)2經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：與” 0”結(jié)合，先驗(yàn)后導(dǎo)，搖擺失效“驗(yàn)”有三個(gè)方面，按照需要判斷優(yōu)先級(jí)別0i是不是0,20),g(x)是不是可導(dǎo) 3 lim丄是不是一個(gè)確定的常數(shù)或者g