《振動力學》習題集(含答案解析)

1、1()2ll1()11l1()111精品文檔振動力學習題集（含答案）1.1 質量為 m 的質點由長度為 l、質量為 m 的均質細桿約束在鉛錘平面內(nèi)作微幅擺動， 如圖 e1.1 所示。求系統(tǒng)的固有頻率。lxm1m解：系統(tǒng)的動能為：t =其中 i 為桿關于鉸點的轉動慣量：圖 e1.11 1 m xl& + ix&22 2i =0m 1 dx x l 2=0m 1 1 x 2 dx = m ll 32則有：1 1 1t = ml 2 x&2+ m l 2 x&2= 3m +m l 2 6 62x&2系統(tǒng)的勢能為：u =mgl (1-cosx )+mg (1-cosx2)利用x&=wx n和1 1 1

2、mglx 2 + m glx 2 = 2 m +m glx =2 4 4t =u可得：2w =n3(2m+m )g 2(3m+m )l1.1&b& &2 221&精品文檔1.2 質量為 m、半徑為 r 的均質柱體在水平面上作無滑動的微幅滾動，在 ca=a 的 a 點 系有兩根彈性剛度系數(shù)為 k 的水平彈簧，如圖 e1.2 所示。求系統(tǒng)的固有頻率。kaakrcq圖 e1.2解：如圖，令 q 為柱體的轉角，則系統(tǒng)的動能和勢能分別為：t = i q2 = 21 1 3mr + mr q2= mr q2 2 2 4u =2 k (r+a)q2=k(r+a)2 2q2利用q=wqn和 t =u 可得：w

3、 =n4k (r+a)2 r +a 4 k=3mr 2 r 3m.123j2 12 23 3&()n精品文檔1.3 轉動慣量為 j的圓盤由三段抗扭剛度分別為k1，k2和k3的軸約束，如圖 e1.3 所示。求系統(tǒng)的固有頻率。kjk圖 e1.3k解：系統(tǒng)的動能為：t =12q&2k 和 k 相當于串聯(lián)，則有：2 3q=q +q, k 2 3以上兩式聯(lián)立可得：q =k2 2q3 3kq = 3k +k23q,q =3k2k +k23q系統(tǒng)的勢能為：1 1 1 1 k (k+k )+kk u = k q2 + k q2 + k q2 = 1 2 3 2 3 q22 2 2 2 k +k2 3利用q=w

4、qn和t =u可得：k k +k (k+k w = 2 3 1 2 3j k +k2 3).12( )( )12( )0 112( )21 2 3e =1 2 3精品文檔1.4 在圖 e1.4 所示的系統(tǒng)中，已知ki(i=1,2,3),m, a 和 b，橫桿質量不計。求固有頻率。x1k1abk2f =ba +bmga xx0bx2k3mgmf =aa +bmg圖 e1.4答案圖 e1.4解：對 m進行受力分析可得：mg =k x3 3，即x =3mgk3如圖可得：f mgb f mga x = 1 = , x = 2 =k a +b k k a +b k 1 1 22a (x-x ) a2 k

5、 +b 2 kx =x +x=x + 2 1 = 1 2 mga +b a +b k k1 2x =x +x = 0 3則等效彈簧剛度為：a2 k +b 2 k 1 11 2 + mg = mg a +b k k k k1 2 3 0k =e(a+b)2kkka 2 k k +b 2 k k +(a+b)2kk1 3 2 3 1 2則固有頻率為：wn=k k k k (a+b)2m mk k (a+b)2+k(ka2+kb 2 )1 2 3 1 2.x02k精品文檔1.7 質量 m 在傾角為 a 的光滑斜面上從高 h 處滑下無反彈碰撞質量 m ，如圖 e1.7 所1 2示。確定系統(tǒng)由此產(chǎn)生的自

6、由振動。m112kam2hxxx圖 e1.7解：對 m 由能量守恒可得（其中 v 的方向為沿斜面向下）： 1 1答案圖 e1.7m gh =112m v 21 1，即v = 2 gh1對整個系統(tǒng)由動量守恒可得：m v =(m+m )v1 1 1 2 0，即v =0m1m +m122 gh令m2引起的靜變形為x2，則有：m g sin a =kx 22，即x =2m g sin2ka令 m + m 引起的靜變形為 x ，同理有： 1 2 12(m+m )gsin x = 1 212得：ax =x -x = 0 12 2則系統(tǒng)的自由振動可表示為：m g sin1kax =x cos w t + 0

7、 nx&0wnsin w tn其中系統(tǒng)的固有頻率為：w =nkm +m1 2注意到v0與x方向相反，得系統(tǒng)的自由振動為：x =x cos0w t -nv0wnsinw tn.liq=-kqaa-cqllq+3clq+3ka00精品文檔1.9 質量為 m、長為 l 的均質桿和彈簧 k 及阻尼器 c 構成振動系統(tǒng)，如圖 e1.9 所示。 以桿偏角 q 為廣義坐標，建立系統(tǒng)的動力學方程，給出存在自由振動的條件。若在彈簧原長 處立即釋手，問桿的最大振幅是多少？發(fā)生在何時？最大角速度是多少？發(fā)生在何時？是否 在過靜平衡位置時？aokckqacq&圖 e1.9解：利用動量矩定理得：& &，答案圖 e1.9

8、12i = ml3ml2 & 2 &2q=0，wn=3ka 2ml 23clml22=2xwn，3c 1 2 a mk x= 1 c 2m w l 3 nl mgl mg =kq a a， q =2 2ka 21.12 面積為 s、質量為 m 的薄板連接于彈簧下端，在粘性流體中振動，如圖 e1.12 所示。作用于薄板的阻尼力為f =md2 sv，2s 為薄板總面積，v 為速度。若測得薄板無阻尼自由振動的周期為t0，在粘性流體中自由振動的周期為td。求系數(shù) m 。.n精品文檔圖 e1.12解：平面在液體中上下振動時：m&x&+2msx&+kx =0wn=k 2p=m t0，w =wd n1 -x

9、2=2ptd2ms ms m2s 2=2xw x= ， x2 =m mw kn2p 2p=t td 0k -m2s 2 1 -x2=kk -m2s 2 2pm m=k st t0 dt 2 -t 2 d 02.1 圖 e2.2 所示系統(tǒng)中，已知 m，c，k1，k2，f 和w 。求系統(tǒng)動力學方程和穩(wěn)態(tài)響 0應。.22111222111()1 121 121k +k1 2222 2()21112精品文檔kck x2m&x&c x&2mmxkcmckxkcxk (x-x1 1)c (x&-x&)1 1圖 e2.1答案圖 e2.1(a)答案圖 e2.1(b)解：等價于分別為 x 和 x 的響應之和。先

10、考慮 x ，此時右端固結，系統(tǒng)等價為圖（a），受1 2 1力為圖（b），故：m&x+(k+k)x+(c+c)x&=kx+cx&1 2 1 2 1 1m&x&+cx&+kx=kasin w +c a w cos wt1 1 1 1 1 1 1（1）c =c +c ， k =k +k1 2 12，w =nk +k1 2m（1）的解可參照釋義（2.56），為：k a y t = 1 1ksin (wt-q) (1-s2)+(2xs)2c a w+ 1 1 1kcos (wt-q) (1-s2)+(2xs)2（2）其中：w 2xs s = 1 ，q =tg -1w 1 -sn21 +(2xs)2 cw

11、 = 1 + 1 2=(k+k )2+(c+c)2w21 2 1 2 1 k +k1 2(1-s2)+(2xs)2 w2m (c+c)w = 1- 1 + 1 2 1k +k k +k1 2 1 2(k+k -mw2 )+(c+c)2w2 = 1 2 1 1 2 1k +k1 2故（2）為：x(t)=k a sin (wt-q)+cawcos(wt-q1 1 1 1 1 1 1 1 1 k +k -mw2 +(c+c )2w21 2 1 1 2 1)=a1k 2 +c 2w2(k+k -mw2 )+(c+c1 2 1 1 2)2w21sin(wt-q+q 1 12).2()2ix精品文檔q1=

12、tg-12xs1 -s2=tg-1cw (k+k ) (c+c )w 1 1 2 =tg -1 1 2 1w2m k +k -w2m 1 - 1 1 2 1k +k1 2考慮到x (t)的影響，則疊加后的 2c w q =tg -1 1 1k1x(t)為：x(t)=2i =1a k 2 +c 2w2 i i i ik +k -mw2 +(c+c1 2 i 1 2)2w2isin wt-tg -1(c+c )w c w 1 2 i +tg -1 i i k +k -w2m k 1 2 i i2.1 一彈簧質量系統(tǒng)沿光滑斜面作自由振動，如圖 t 2-1 所示。已知，a=30，m = 1kg，k =

13、 49 n/cm，開始運動時彈簧無伸長，速度為零，求系統(tǒng)的運動規(guī)律。kma0xaamg圖 t 2-1答案圖 t 2-1解：mg sina =kx ， x = 0 0mg sin ak=19.8 4912=0.1cmwnk 49 10 -2= = =70m 1rad/sx =x cos w t =-0.1cos 70t 0 ncm.2112 122精品文檔2.2 如圖 t 2-2 所示，重物 w 懸掛在剛度為 k 的彈簧上并處于靜平衡位置，另一重物1w2從高度為 h 處自由下落到w1上而無彈跳。求w2下降的最大距離和兩物體碰撞后的運動規(guī)律。kx1x12wx0h圖 t 2-2w平衡位置x答案圖 t

14、 2-2解：w h =21 w2 v 2 ， v = 2 gh 2 g 2 2動量守恒：w w +w w 2 v = 1 2 v ， v = 2g g w +w1 22 gh平衡位置：w =kx ， x = 1 1 1w1kw +w =kx 1 2 12，x =12w +w1 2k故：x =x -x = 0 12 1w2kw =nk(w+w1 2)kg=g w +w1 2故：x =-x cos 0=-x cos0w t +nw t +nx&0wnv12wnsinsinw tnw tn.121222()( )()2n 精品文檔2.4 在圖 e2.4 所示系統(tǒng)中，已知 m，k1，k2，f0和w，初

15、始時物塊靜止且兩彈簧均為原長。求物塊運動規(guī)律。kkxmxk x1 1k (x-x2 2 1)k (x-x2 2 1)mf sin0wtf sin0wtm&x&2圖 e2.4答案圖 e2.4解：取坐標軸 x 和 x ，對連接點 a 列平衡方程：1 2-k x +k (x-x )+fsin wt =0 1 1 2 2 1 0即：(k+k )x=k x +f sin 1 2 1 2 2 0wt（1）對 m 列運動微分方程：m&x=-k (x-x2 2 2 1)即：m&x&+kx =k x 2 2 2 2 1（2）由（1），（2）消去 x 得：1k k fkm&x&+1 2 x = 0 2 sin k

16、 +k k +k1 2 1 2wt（3）故：w 2nk k= 1 2m k +k12)由（3）得：f k w x t = 0 2 sin wt - sin w t m k +k w2 -w2 w1 2 n n2.5 在圖 e2.3 所示系統(tǒng)中，已知 m，c，k， f 和 w，且 t=0 時，0x =x ， x&=v 0 0，求.02精品文檔系統(tǒng)響應。驗證系統(tǒng)響應為對初值的響應和零初值下對激勵力響應的疊加。kmf cos0wtc圖 e2.3解：x (t)=e-xwt(ccos w t +d sin w t )+acos (wt-qd d)fa = 0 k1(1-s2)+(2xs)2，q=tg -

17、12xs1 -s2x(0)=x=c+a cos q c =x -a cos q0 0x&(t)=-xwe-xw0t(ccoswt+dsinwt)0 d d+e -xw0t(-cwsinwt +dw cos w t )-awsind d d d(wt-q)x&(0)=v=-xwc+dw+awsin0 0 dv +xwcq d = 0 0wd-awsin qwd求出 c，d 后，代入上面第一個方程即可得。2.7 由一對帶偏心質量的等速反向旋轉齒輪構成的振動機械安裝在彈簧和阻尼器構成 的支承上，如圖 e2.7 所示。當齒輪轉動角速度為w 時，偏心質量慣性力在垂直方向大小為mew2sinwt。已知偏心

18、重 w = 125.5 n，偏心距 e = 15.0 cm，支承彈簧總剛度系數(shù) k = 967.7n/cm，測得垂直方向共振振幅x =1.07 cmm，遠離共振時垂直振幅趨近常值x =0.32cm0。求支承阻尼器的阻尼比及在w =300 r min運行時機器的垂直振幅。.()22精品文檔mew2sinwt12mew212mew2圖 e2.7解：mex t = ms 2(1-s2)+(2xs)2sin(wt-q)，q=tg-12xs1 -s 2s=1 時共振，振幅為：me 1x = =1.07cm 1 m 2x（1）遠離共振點時，振幅為：x =2mem=0.32cm（2）由（2） m =mex2

19、由（1） x=me 1 me 1 x = = 2 =0.15 m 2 x me x 2 x 2 x1 2 1 1k ww =300 r min ， w =， s = 00m w1故：mex = ms 2(1-s2)+(2xs)2=3.8 10-3m2.7 求圖 t 2-7 中系統(tǒng)的固有頻率，懸臂梁端點的剛度分別是k1及k3，懸臂梁的質量.1234121233e精品文檔忽略不計。kkk1k2k3k無質量kk4mm圖 t 2-7答案圖 t 2-7解：k 和 k1 2為串聯(lián)，等效剛度為：k kk = 1 2k +k12。（因為總變形為求和）k12和k3為并聯(lián)（因為k12的變形等于k3的變形），則：k

20、123和k4k kkk +kk +k kk=k +k = 1 2123+k = 1 2 1 3 2 3 k +kk +k121 2為串聯(lián)（因為總變形為求和），故：k k k k k +k k k +k k k k = 123 4 = 1 2 4 1 3 4 2 3 4k +k k k +k k +k k +k k +k k 123 4 1 2 1 3 2 3 1 4 2 4故：wn=kem2.9 如圖 t 2-9 所示，一質量 m 連接在一剛性桿上，桿的質量忽略不計，求下列情況系 統(tǒng)作垂直振動的固有頻率：（1）振動過程中桿被約束保持水平位置；.2()() ()()()()2()2e精品文檔（2

21、） 桿可以在鉛錘平面內(nèi)微幅轉動；（3） 比較上述兩種情況中哪種的固有頻率較高，并說明理由。x1k1k2f =1l2l +l1 2mgl1xxl2x2ml1l2mglf = 1 mgl +l1 2圖 t 2-9答案圖 t 2-9解：（1） 保持水平位置：（2） 微幅轉動：w =nk +k1 2mx =x +x= 1f (x-x )l 1 + 2 1 1k l +l1 1 2l mg l l l = 2 + 1 1 - 2 mg l +l k l +l l +l k l +l k1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1l mg l l k -l k= 2 + 1 1 1 2 2 mgl +l k

22、 l +l l +l k k1 2 1 1 2 1 2 1 2l k (l+l )+l2k -l l k= 2 2 1 2 1 1 1 2 2 mgl +l k k1 2 1 2=l 2 k +l 2 k1 1 2 2 mg l +l k k1 2 1 2故：(l+l )2kk k = 1 2 1 2l 2 k +l 2 k 1 1 2 2wn=kem2.10 求圖 t 2-10 所示系統(tǒng)的固有頻率，剛性桿的質量忽略不計。.122aa 12a精品文檔kf1amglkx1xam圖 t 2-10答案圖 t 2-10解：m 的位置：mgx =x +x = +xk2amgl =f a ， f = 1

23、1mgla， x =1mglak1x a a mgl 21 = ， x = x =x l l a 2 ka 1mg mgl 2 1 l 2 x =x +x = + = + k a 2 k k a 2 k 2 1 2 1mg=a 2 k +l 2 k 1 2 mga 2 k k1 2 k =ea 2 k k1 2 a 2 k +l 2 k12，w =nkem2.11 圖 t 2-11 所示是一個倒置的擺。擺球質量為 m，剛桿質量可忽略，每個彈簧的剛度為k2。（1）求倒擺作微幅振動時的固有頻率；（2）擺球質量 m 為 0.9 kg 時，測得頻率(fn)為1.5 hz，m 為 1.8 kg 時，測得

24、頻率為0.75 hz，問擺球質量為多少千克時恰使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？.1 1i= mlq2q2= ka- mglq2= ka-mgl q2q2q& &ka+mgl - mglq2= ka-mgl q2q21 2 3 4精品文檔mk/2 k/2零平衡位置lql cosqa圖 t 2-1答案圖 t 2-11(1)零平衡位置答案圖 t 2-11(2)解：（1）t =1 1 u =2 k 2 2 & 2 &2 2(qa)2-mgl(1-cosq)1 2 1 1 (2 ) 2 2 2利用tmax=umax=wq，max n maxka2 -mgl ka 2 gw =n= - = ml 2 ml 2

25、lg ka 2 -1l mgl-（2）若取下面為平衡位置，求解如下：t =1 1iq2 = ml 2q2 2 2u =2 1 1 k 2 2 (qa)2+mglcos1q= ka22q2+mgl 1-2sin 2q2=1 2 1 1 (2 ) 2 2 2+mglddt(t+u)=0，2 ml 2q&q&+2q(ka2-mgl)q&=0ml 2q&+(ka2-mgl)q=0wn=ka2 -mglml 22.17 圖 t 2-17 所示的系統(tǒng)中，四個彈簧均未受力，k = k = k = k = k，試問：.12341231234221221精品文檔（1）若將支承緩慢撤去，質量塊將下落多少距離？ （

26、2）若將支承突然撤去，質量塊又將下落多少距離？kkkmk圖 t 2-17解：k =k +k =2 k 23 2 3k k 2 k = 1 23 = kk +k 31 23k k 1 k = 123 4 = kk +k 2123 4（1）mg =k x1234 0，x =02mgk（2）x(t)=xcos 0w t ， xnmax=2 x =04mgk2.19 如圖 t 2-19 所示，質量為 m 的均質圓盤在水平面上可作無滑動的滾動，鼓輪繞 軸的轉動慣量為 i，忽略繩子的彈性、質量及各軸承間的摩擦力，求此系統(tǒng)的固有頻率。r1irx&mrmkk圖 t 2-19解：系統(tǒng)動能為：.22212222

27、1 r 2 2221r2120231精品文檔1 1 x& 1 1 1 x& t = m x&2+ i + m x&2+ m r 2 2 r2 2 2 2 r1 i 3 = m + + m x&2=12m x&2e系統(tǒng)動能為：1 1 r v = k x 2 + k 12 2 r2x 21 = 2k +k2 1r 2 1 r 22x2=12k xe2根據(jù)：tmax=vmax，x&max=w xn maxw 2n=r 2k +k 12 1 2i 3m + + mr 2 222.20 如圖 t 2-20 所示，剛性曲臂繞支點的轉動慣量為 i，求系統(tǒng)的固有頻率。m2kkblam1k圖 t 2-20解：系

28、統(tǒng)動能為：.012(1 1 11231 (1)q&nljq=-kqaa-cqll j =，+3cl+3kaq=0q 2q 2n精品文檔t =1 i q&2+1m (q&a)2+1m()q&l2 2 2 2=12i +m a0 12+m l22)q&2系統(tǒng)動能為：v =k (qa)2+k(ql)2+k(qb)2 2 2 2= k a22+k l22+k b32q2根據(jù)：tmax=vmax，=wqmax n maxk a 2 +k l 2 +k b 2w2 = 1 2 3i +m a2 +m l 20 1 22.24 一長度為 l、質量為 m 的均勻剛性桿鉸接于 o 點并以彈簧和粘性阻尼器支承，如

29、 圖 t 2-24 所示。寫出運動微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和無阻尼固有頻率的表達式。kcokqacq&al圖 t 2-24解：利用動量矩方程，有：& &2 & &ml13答案圖 t 2-242mlwn=3ka 2ml 23clml22=2xwn，x=12 2 3ka 2 2a mk c = mw = m =3 3 ml 2 l 3.a&mqll+cqaa+kqbb=0q+caq+kbn精品文檔2.25 圖 t 2-25 所示的系統(tǒng)中，剛桿質量不計，寫出運動微分方程，并求臨界阻尼系數(shù) 及阻尼固有頻率。cmacq&akbbl圖 t 2-25k qbl答案圖 t 2-25mql解：& &ml2 &

30、 2 &2q=0wn=kb 2 b k=ml 2 l mcaml22ca 2 ca 2 m=2xw ， x= =2ml 2w 2 mlb k nw =w 1 -x2 d n=b k c 2 a 4 m 11 - = 4kml 2 b 2 -c 2 a 4 l m 4m 2l 2b 2 k 2 ml 2由x=1 c = g2bla 2mk2.26 圖 t 2-26 所示的系統(tǒng)中，m = 1 kg，k = 144 n / m，c = 48 n s / m，l = l =1.&m ql l +cql l +kmlq+clq+kl&123精品文檔0.49 m，l = 0.5 l， l = 0.25 l

31、，不計剛桿質量，求無阻尼固有頻率w2 3n及阻尼z。m mqm ql1l1l2ocl3kc ql3k ql2圖 t 2-26解：受力如答案圖 t 2-26。對 o 點取力矩平衡，有：答案圖 t 2-25& &1 1 3 32 & 2 &1 3ql l =0 2 22q=02m q+1 1cq+ kq=0 16 4 w 2n=1 k =364 m w =6 rad / s n1c16m=2zwnc 1 z= =0.2516m 2wn4.7 兩質量均為 m 的質點系于具有張力 f 的弦上，如圖 e4.7 所示。忽略振動過程中弦 張力的變化寫出柔度矩陣，建立頻率方程。求系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)，并計算主

32、質量、主剛 度、簡正模態(tài)，確定主坐標和簡正坐標。ml lmlfq1fyfq2yfqf圖 e4.7答案圖 e4.7(1).2233(22 1(2l l l111+0 m &yl -1 2 y2 221-1 2 -l y2122 12精品文檔解：sinq =&q= 1 1y y -y y 1 ， sin q =&q=2 1 ， sin q =&q=2 l l l根據(jù)m1和m2的自由體動力平衡關系，有：m &y&=-fsin 1 1q +f sin1y y -y fq =&-f1 +f 2 1 = y -2 yl l l)y -y y fm &y&=-fsinq-f sin q =&-f2 1 -f

33、 2 = y -2 y 2 2 3 1 2)故：m 0 &y&f2 -1y =0當 m = m 時，令： 1 2y =y sin1 1wt ， y =y sin 2 2wt，l=w2mlf代入矩陣方程，有：2-l -1 y =02 -l-1-12 -l=(2-l)2-1=(l-1)(l-3)=0l1,2=1,3根據(jù)w2 =1(2-l)y-y=0得：1 2f f f 3 f l = ， w2 = l =ml ml ml mly 1 y 1 1 = =1 ， 1 = =-1 y 2 -l y 2 -l2 1 2 2-1.01.01.0 1.0第一振型第二振型答案圖 e4.7(2).mkmx =0 xkmkx =0，kmk x =w2xkx =0 i j-1t km km mkmk1精品文檔4.11 多自由度振動系統(tǒng)質量矩陣 m 和剛度矩陣 k 均為正定。對于模態(tài)xi和xj及自然數(shù) n 證明：解：x ti( -1) t ( -1)j i jkx =w2j jmxj，等號兩邊左乘km-1km -1kx =w2km -1mx =w2kx j j j jj，等號兩邊左乘xtix ti j j i j，當 時重復兩次：km-1kx =w2j