436期：立體幾何中的軌跡問題探索(教師講義)

1、x1n1122立體幾何中的軌跡問題探索1如圖為正方體abcd -a b c d1 1 1 1，動點 m 從 b 點出發(fā)，在正方體表面沿逆時針方向運動一周后，再回到 b 的運1 1動過程中，點 m 與平面a dc1 1的距離保持不變，運動的路程 與l = ma + mc +md1 1之間滿足函數(shù)關(guān)系l = f (x)，則此函數(shù)圖象大致是( )a bc【答案】c【解析】【分析】d先由題意，得到點 m 在db ac1的邊上沿逆時針方向運動，設(shè)正方體abcd -a b c d1 1 1 1的棱長為 1，取線段 b a 1的中點為n，根據(jù)題意確定當動點 m 運動到點n時，l = na + nc +nd

2、l =l =l n 1 1 a b c，同理得到動點 m 運動到線段 ac 或 cb1【詳解】的中點時，也符合上式，根據(jù)變化情況，結(jié)合選項，即可得出結(jié)果.由題意可知：點 m 在db ac1的邊上沿逆時針方向運動，設(shè)正方體abcd -a b c d1 1 1 1的棱長為 1，取線段 b a 1的中點為n，則當動點 m 運動到點n時，2l = na + nc +nd = 6 + 2 + 3 =l =l =l ，a b c1同理，當動點 m 運動到線段ac或 cb1的中點時，計算得 l = ma + mc +md =1 1符合 c 選項的圖像特征.故選：c26 + 2 + 3 =l =l =l .a

3、 b c11x【點睛】本題主要考查空間幾何體中的軌跡問題，熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征即可，屬于?？碱}型.2已知異面直線 a 、b成 60角，其公垂線段為 ef ，| ef |=2，長為 4 的線段 ab 的兩端點分別在直線 a 、b上運動，則 ab 中點的軌跡為（ ）a橢圓b雙曲線 c圓 d以上都不是【答案】a【解析】【分析】根據(jù)條件畫出合適的示意圖，確定 ab, ef 的中點 o, p 所在的平面，建立合適坐標系，先根據(jù)余弦定理求出om , on 之間的關(guān)系，然后利用 p 的坐標形式表示出 om , on 之間的關(guān)系，由此得到對應(yīng)的軌跡形狀.【詳解】如圖所示：設(shè) ef 的中點為o，過o作 ef

4、 的垂面 a ，則 ab 的中點 p 必在平面 a 內(nèi)，設(shè) a, b 在平面內(nèi)的射影點為 m , n ，因為 ap =bp =2 ，am =bn =1，所以 mn =2 3，以mon的角平分線為 軸，o為坐標原點建立平面直角坐標系如圖所示：( )1 2 3設(shè) om =m ， on =n，由余弦定理可知： mn 2 =12 =m 2 +n 2 -2 mn cos60 0 ，所以 m 2 +n 2 -mn =12 ，又因為mox =nox =30，設(shè)p(x, y) 32x = m +n 2，所以 2 y = (m-n) 2 2 3m = x +2 y 3，所以 n = x -2 y 3，將上述結(jié)果

5、代入等式 m 2 +n 2 -mn =12 中化簡可得：x 29+y2=1，故軌跡是橢圓.故選：a.【點睛】本題考查立體幾何中的軌跡問題，難度較難.處理立體幾何中的軌跡問題的方法：首先根據(jù)空間中的點線面位置關(guān)系確定出線段的長度，然后將問題統(tǒng)一到一個平面中并在該平面中建立合適的平面直角坐標系，借用坐標表示線段間的長 度關(guān)系，進而化簡可得軌跡方程即可判斷軌跡形狀.3如圖所示，在棱長為 a 的正方體abcd -a b c d1 1 1 1中， e是棱 dd 的中點， f 是側(cè)面 cdd c 1 1 1上的動點，且 b f / /1面 a be ，則 f 在側(cè)面 cdd c 1 1 1上的軌跡的長度是

6、( )aaba2c 2ad2 a2【答案】d【解析】【分析】設(shè) h ， i分別為 cc1、c d1 1邊上的中點，由面面平行的性質(zhì)可得 f 落在線段 hi 上，再求 hi 的長度即可.3【詳解】解：設(shè)g， h ， i 分別為 cd 、 cc 、1c d1 1邊上的中點，則 abeg 四點共面，且平面 a bge / /1平面 b hi1，又q b f / /1面 a be ，1 f 落在線段 hi 上，q 正方體 abcd -a b c d 中的棱長為 a ， 1 1 1 11 2 hi = cd = a ，2 1 2即 f 在側(cè)面 cdd c1 1上的軌跡的長度是22a 故選： d 【點睛】

7、本題考查了面面平行的性質(zhì)及動點的軌跡問題，屬中檔題.4已知直線 a 平行于平面a，且它們的距離為2 d，我們把到直線 a 與到平面 a 的距離都相等的點構(gòu)成的集合定義為集合a，那么集合 a 中同屬于某個平面的點構(gòu)成的圖形不可能是（ ）a橢圓【答案】a【解析】【分析】b兩條平行直線 c一條直線 d拋物線把問題放在正方體 abcd-efgh 中去，建立空間直角坐標系，找出關(guān)于 【詳解】x, y, z的方程，通過方程判斷可能的圖形如圖在棱長為2d正方體 abcd-efgh 中，將面 abcd 當作平面 a，將直線 eh 當作直線 a ，其距離為正方體的棱長2d，如圖，建立空間直角坐標系，auuur

8、uuuur設(shè)點 m( x, y, z)，則點 m 到平面 的距離為 z ，e (2 d ,0,2 d ), h (0,0,2 d），uuur uuuur he =(2 d ,0,0), hm =( x , y , z -2 d），uuur uuuurhe hm| cos |= uuur uuuur =he hm 2d x22dx+y 2 +( z -2 d )2則uuur uuuursin = 1 -(2 dx2 d x 2 +y 2 +( z -2 d ) 2)2=y 2 +( z -2 d ) 2 x 2 +y 2 +( z -2 d ) 2點 m 到直線 a 的距離為：uuuur uuu

9、r uuuurmh sin = x 2 +y 2 +( z -2 d ) 2 x2y 2 +( z -2 d ) 2 +y 2 +( z -2 d )2=y 2 +( z -2 d )2， z = y 2 +( z -2 d )2，整理得：y2 +4 d 2-4 dz =0當 z =d 時， y 2 =0 ，即 y =0 ，一條直線，c 有可能；當z d時，y 2 =4 d ( z -d )，即y = 4d ( z -d )，兩條平行線，b 有可能；當 z 不取常數(shù)，為一個變量時，y2 +4 d 2-4 dz =0是一個拋物線的方程，d 有可能；方程y2 +4 d 2-4 dz =0任何時候都

10、不可能是橢圓的方程，故 a 不可能故選：a【點睛】5本題考查利用空間直角坐標解決空間圖形的軌跡問題，是一道難題5在正方體abcd -a b c d 的側(cè)面 abb a1 1 1 1 1 1內(nèi)有一動點 p 到直線a b1 1與直線bc的距離相等，則動點 p 所在的曲線的形狀為（ ）a bc d【答案】b【解析】【分析】由 bc 平面abb a1 1可知 p 到直線bc的距離即為 p 到點 b 的距離，從而可得其軌跡為拋物線的一部分且過點 a ，依次判斷各個選項即可. 【詳解】q bc 平面abb a1 1， pb 平面abb a1 1 pb bc p 到直線 bc 的距離為 pb ，即 p 點到

11、點 b 的距離 p 點軌跡是以 b 為焦點，a b1 1所在直線為準線的拋物線的一部分又 p 在平面abb a 上， ab =aa 1 1 1 p 點軌跡過點 aa, c中軌跡不是拋物線，則 a, c 錯誤； d 中軌跡不過 a ，則 d 錯誤.故選： b【點睛】本題考查立體幾何中點的軌跡的求解，關(guān)鍵是能夠通過線面垂直關(guān)系確定動點軌跡為拋物線的一部分.6給定正三棱錐p -abc，點 m 為底面正dabc內(nèi)(含邊界)一點，且 m 到三個側(cè)面 pab ,pbc , pca的距離依次成( )( )等差數(shù)列，則點 m 的軌跡為( ) a橢圓的一部分c雙曲線的一部分【答案】b【解析】【分析】b一條線段d

12、拋物線的一部分根據(jù) m 到三個側(cè)面 pab ,pbc , pca的距離依次成等差數(shù)列可設(shè)距離分別為d -a , d , d +a,根據(jù)等體積法可求得 d 為常數(shù)。作平面 a/ /平面pbc,且平面 a 與平面pbc的距離為 d,則平面a 與平面abc的交線即為點 m 的軌跡.【詳解】根據(jù) m 到三個側(cè)面 pab ,pbc , pca的距離依次成等差數(shù)列可設(shè)距離分別為d -a , d , d +a正三棱錐各個側(cè)面面積為 s,體積為 v則v =1 1 1 vs d -a + sd + s d +a 化簡可得 v =sd ,即 d = 為常數(shù) 3 3 3 s作平面 a/ / 平面 pbc ,且平面

13、a 與平面 pbc 的距離為 d ,則平面 a 與底面 abc 的交線即為點 m 的軌跡 可知 m 為一條線段故選:b【點睛】本題考查了空間幾何體中的軌跡問題,三棱錐等體積法的應(yīng)用,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.7設(shè)點 m 是長方體abcd -a b c d1 1 1 1的棱 ad 的中點，aa =ad =4 1，ab =5，點 p 在面bcc b1 1上，若平面d pm1分別與平面 abcd 和平面bcc b1 1所成的銳二面角相等，則 p 點的軌跡為（ ）a橢圓的一部分【答案】c【解析】【分析】b拋物線的一部分 c一條線段 d一段圓弧根據(jù)公式cosq=s s得到s =sdmdp dc

14、pm11，計算得到 p 到直線c m1 1的距離為定值，得到答案.【詳解】7111 1設(shè) p 在平面abcd的投影為 p ，平面 d pm 與平面1 1abcd所成的銳二面角為a則cos a =sdmdpsdd pm1m 在平面bcc b1 1的投影為bc中點 m ，平面 d pm 1 1與面bcc b1 1所成的銳二面角為b則cosb=ssdcpm1dd pm1故sdmdpsdd pm1=ssdcpm1dd pm1即s =sdmdp dcpm11得到1 12 5 = c m h, h = 5 2 2即 p 到直線c m11的距離為定值，故 p 在與c m11平行的直線上bcc b又點 p 在

15、面上，故軌跡為一條線段. 1 1故答案選 c【點睛】本題考查了立體幾何二面角，軌跡方程，通過cos q =s s可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵.8如圖為正方體 abcd-a b c d ，動點 m 從 b 點出發(fā)，在正方體表面沿逆時針方向運動一周后，再回到 b 的運動過程中，1 1 1 1 1 1點 m 與平面 a dc 的距離保持不變，運動的路程 x 與 l=ma +mc +md 之間滿足函數(shù)關(guān)系 l=f（x），則此函數(shù)圖象大致是（ ）1 1 1 1a bc d【答案】c【解析】【分析】先找到點 m 的路線，把其路線分成六小段，分析從 p 到 b 過程函數(shù)的單調(diào)性得解.1【詳解】由于點 m 與平

16、面 a dc 的距離保持不變，所以點 m 在平面 b ac 上，1 1 1運動的路線為b a c b 1 1,設(shè)點 p 為 b c 的中點，1l=ma +mc +md 中，ma +md 是定值， pc 是定值， 1 1 1 1mc =1pc 2 +pm 2 ， 1當 m 從 c 到 b ,運動到 pb 段時，運動的路程 x 慢慢變大時， pm 變大，mc 變大，1 1 1所以函數(shù)是增函數(shù)，所以 c 正確；（類似討論由 b 到 a，由 a 到 c 的過程，l=ma +mc +md 之間滿足函數(shù)關(guān)系 l=f（x）1 1 1故選：c【點睛】本題主要考查立體幾何軌跡問題，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，意在考

17、查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能 力.9如圖，在正方體abcd -a b c d1 1 1 1中，點 p 在側(cè)面add a1 1及邊界上運動，并且保持bp ac1，則動點 p 的軌跡是（ ）a線段a d1b線段ad1cad 的中點與a d1 1的中點連成的線段d aa 的中點與 dd 的中點連成的線段 1 19【答案】a【解析】【分析】先由ac a b , ac bd 1 1 1得ac 1平面a db1,再判斷動點 p 的軌跡即可得解.【詳解】解：連接 a d ，由 ac a b, ac bd 得 ac 平面 a db , 1 1 1 1 1 1即點 p 在線段a d1上運動時，總有

18、bp ac1，即動點 p 的軌跡是線段 a d ，1故選 a.【點睛】本題考查了線面垂直及線線垂直的判定，屬基礎(chǔ)題.10美學四大構(gòu)件是:史詩、音樂、造型、建筑等，繪畫和數(shù)學素描是學習繪畫的必要一步，它包括了明暗素描和結(jié)構(gòu)素描而學習幾何體結(jié)構(gòu)素描是學習素描最重要的一步，某同學在畫“切面圓柱體”(用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體)的過程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個橢圓，若“切面所在平面與底面成 60角， 則該橢圓的離心率為()a12b22c32d13cx, yx, y【答案】c【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，得到橢圓的半長軸和半短軸與圓柱底面圓的半徑之間的關(guān)系，然后算出

19、 ，從而得到離心率. 【詳解】設(shè)圓柱底面圓的半徑為 r，與底面成 60角的平面截圓柱，橢圓的半長軸長是 2r，半短軸長是 r， c = e =3 rc 3= ，a 2故選 c【點睛】本題考查二面角轉(zhuǎn)化為平面角求線段之間的關(guān)系，求橢圓的離心率，屬于簡單題.11已知正方體abcd -a b c d1 1 1 1的棱長為 2，p 是底面abcd上的動點,pa pc1，則滿足條件的點 p 構(gòu)成的圖形的面積等于（ ）a12bp4c4 -p4d72【答案】a【解析】【分析】p 是底面abcd上的動點，因此只要在底面上討論即可，以ab , ad為 軸建立平面直角坐標系，設(shè)p ( x, y )，根據(jù)已知列出

20、滿足的關(guān)系 【詳解】111 1 1 13b1 1 111111 1 11111111 113如圖，以 ab , ad 為 x, y 軸在平面abcd內(nèi)建立平面直角坐標系，設(shè)p ( x , y ) ，由 pa pc1得x 2 +y 2 ( x -2) 2 +( y -2) 2 +2 2 ，整理得 m , n，則 p 點在 dcmn 內(nèi)部（含邊界），x +y -3 0 ，設(shè)直線 l : x +y -3 =0與正方形 abcd 的邊交于點易知m (1,2)，n (2,1)，cm =cn =1，sdcmn=1 1 11=2 2故選 a【點睛】本題考查空間兩點間的距離問題，解題關(guān)鍵是在底面 決abcd上

21、建立平面直角坐標系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解12長方體 的最小值為（ ）中，是對角線1 上一點，是底面 上一點，若 = 2， = 1= 1，則 +1a23+12c3d2【答案】a【解析】【分析】將 繞邊 旋轉(zhuǎn)到 的位置，使得平面 和平面 在同一平面內(nèi)，則 到平面 的距離即為 的最小值，利用勾股定理解出即可?！驹斀狻繉?繞邊 旋轉(zhuǎn)到 的位置，使得平面 和平面 在同一平面內(nèi)，+過點 作 平面 ，交 于點 ，垂足為點 ，則 為+ 的最小值。 = 2， = = 1， = 2 + 1 + 1 = 2， = = 3，1 sin1 = 1 = 2 ， 1 = 30， = 2 = 60， = sin =

22、3 32= ，故選：a。 2【點睛】本題考查空間距離的計算，將兩折線段長度和的計算轉(zhuǎn)化為同一平面上是解決最小值問題的一般思路，考查空間想象 能力，屬于中等題。13已知正方體abcd -a b c d1 1 1 1的棱長為 1，e 是棱d c1 1的中點，點 f 在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，且ef / /+ 22平面a bc1 1，則動點 f 的軌跡所形成的區(qū)域面積是（ ）a98b32c3 34d 2【答案】c【解析】【分析】分別取棱 cc 、 bc 、 ab 、 aa 、 a d1 1 1 1的中點 m 、 n 、 g 、 q 、 p ，證明平面emngqp / /平面a bc1 1，從而動

23、點 f 的軌跡所形成的區(qū)域是平面emngqp，再求面積得解.【詳解】如圖，分別取棱 cc、1bc、 ab 、 aa 、 a d1 1 1的中點 m 、 n 、g、 q 、 p ，則 pe / / ac / / gn ， em / / a b / / gq ， pq / / bc / / mn ，1 1 1 1平面emngqp / /平面a bc1 1，q點 f 在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，若ef / /平面a bc1 1，動點 f 的軌跡所形成的區(qū)域是平面emngqp，q 正方體 abcd -a b c d1 1 1 1的棱長為 1， pe =em =mn =ng =gq =pq =22，

24、pn = 2 ， e 到 pn 的距離d = (2 2 6 ) 2 -( ) 2 =2 4 4，動點 f 的軌跡所形成的區(qū)域面積：s =2 s梯形pnme26 3 3 =2 =2 4 4故選：c【點睛】本題考查動點 f 的軌跡所形成的區(qū)域面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、空間想象能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、132數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題14已知正方體abcd -a b c d 的棱長為 a ，定點 m 在棱 ab 上(不在端點 a, b 上)，點 p 是平面1 1 1 1abcd內(nèi)的動點，且點 p 到直線 a圓【答案】d【解析】【分析】a

25、 d1 1的距離與點 p 到點 m 的距離的平方差為 a 2 ，則點 p 的軌跡所在的曲線為 b橢圓 c雙曲線 d拋物線作 pf ad ，pe a d1 1，連接 ef ，以 a 為原點建立空間直角坐標系，利用勾股定理和兩點間距離公式構(gòu)造pe2-pm2=a2，整理可得結(jié)果.【詳解】作 pf ad ，pe a d1 1，垂足分別為f , e以 a 為原點建立如下圖所示的空間直角坐標系：設(shè)m (0,t,0 )，p(x,y,0)由正方體特點可知， pf 平面add a1 1 pe 2 =y 2 +a 2，pm2=x2+(y-t) pe 2 -pm 2 =y 2 +a 2 -x 2 -(y-t)2=a

26、2，整理得：x 2 =2ty -t2 p 的軌跡是拋物線本題正確選項： d【點睛】本題考查立體幾何中點的軌跡問題，關(guān)鍵是能夠通過建立空間直角坐標系，求出動點滿足的方程，從而求得軌跡. 15給定正三棱錐 pabc，m 點為底面正三角形 abc 內(nèi)（含邊界）一點，且 m 到三個側(cè)面 pab、pbc、pac 的距離依次 成等差數(shù)列，則點 m 的軌跡為（ ）a雙曲線的一部分 b圓的一部分 【答案】cc一條線段 d拋物線的一部分 d+ 則 s d a +（ ）【解析】【分析】先設(shè)點 m 到三個側(cè)面 pab、pbc、pca 的距離為 da，d，d+a，正三棱錐 pabc 中各個側(cè)面的面積為 s，體積為 v

27、，用 等體積法可得 d 為常數(shù)，作平面面 pbc 且它們的面面距離為 d，則與面 abc 的交線即為點 m 的軌跡【詳解】設(shè)點 m 到三個側(cè)面 pab、pbc、pca 的距離為 da，d，d+a正三棱錐 pabc 中各側(cè)面的面積為 s，體積為 v，1 1 13 3 3（d+a ）v，即 sdv，所以 d 為常數(shù)作平面使面 pbc 且它們的距離為 d，則與面 abc 的交線即為點 m 的軌跡又 m 點為底面正三角形 abc 內(nèi)（含邊界）一點，所以 m 的軌跡為一條線段故選：c【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列、體積法的應(yīng)用、軌跡方程等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想熟記正 四面體的結(jié)構(gòu)

28、特征與體積公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題16如圖， ab 是平面 a 的斜線段， a 為斜足，點 c 滿足 （ ）sin cab =lsin cba(l0)，且在平面a 內(nèi)運動，則a當 l=1時，點 c 的軌跡是拋物線b當l=1時，點c的軌跡是一條直線c當l=2時，點c的軌跡是橢圓d當l=2 時，點 c 的軌跡是雙曲線拋物線【答案】b【解析】【分析】當l=1時，bc =ac，故c的軌跡為線段 ab 的中垂面與 a 的交線，當l=2時，bc =2 ac，在平面a 內(nèi)建立坐標系，設(shè)c ( x, y)，求出c的軌跡方程得出結(jié)論【詳解】15a2 a在dabc中，sin cab =lsin cba(l0)，由正

29、弦定理可得：bcac=l，當 l =1 時， bc =ac，過 ab 的中點作線段 ab 的垂面 b ，則點 c 在 a 與 b 的交線上，即點 c 的軌跡是一條直線，當 l =2 時， bc =2 ac，設(shè) b 在平面 內(nèi)的射影為 d ，連接 bd ， cd，設(shè) bd =h， ad =2 a，則 bc = cd2+h2 ，在平面 a 內(nèi)，以 ad 所在直線為 x 軸，以 ad 的中點為 y 軸建立平面直角坐標系，設(shè)c ( x, y)，則 ca =( x +a ) 2 +y 2 ， cd = ( x -a ) 2 +y 2 ， cb = ( x -a ) 2 +y 2 +h 2 ， ( x -

30、a )2+y2+h2=2 ( x +a )2+y2 5 ，化簡可得 x + a +y 3 216 a 2 h 2 = + .9 3c的軌跡是圓故選：b【點睛】本題考查軌跡方程的求解與判斷，分類討論思想，屬于中檔題17如圖，直二面角a-ab -b，p a ，c b ，d b，且 ad ab ，bc ab，ad =5 ，bc =10 ，ab =6 ，apd =cpb，則點 p 在平面 內(nèi)的軌跡是（ ）a圓的一部分b橢圓的一部分 c一條直線 d兩條直線【答案】a【解析】【分析】以 ab 所在直線為 x 軸， ab 的中垂線為 y 軸，建立平面直角坐標系，寫出點 a ， b 的坐標，根據(jù)條件得出rtd

31、apdrtdcpb ，設(shè)出點 p 的坐標，利用兩點間的距離公式及相似，即可得到軌跡方程，從而判斷其軌跡y2【詳解】解：以 ab 所在直線為 x 軸， ab 的中垂線為 軸，建立平面直角坐標系，設(shè)點p (x,y )，a(-3,0)，b(3,0)，q ad ab ，bc ab，則 ad a， bc a， ad =5 ，bc =10，ab =6， apd =cpb， rt dapd : rt dcpb，ap =bp(x+3)2+y (x-3)2+y22=ad 5 1= =bc 10 2，即(x -3)2+y2=4(x+3)+y2 ，整理得：(x +5)2+y2=16，故點 p 的軌跡是圓的一部分，故

32、選 a .【點睛】本題以立體幾何為載體考查軌跡問題，綜合性強，考查了學生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和知識方法的遷移能 力，同時考查了運算能力，轉(zhuǎn)化能力，屬于難題18已知點 p 是單位正方體abcd -a b c d 的對角面 bb d d1 1 1 1 1 1上的一動點，過點 p 作垂直于平面bb d d1 1的直線，與正方體的側(cè)面相交于 m 、 n 兩點，則 dbmn 的面積的最大值為（ ）a64b12c32d62【答案】a【解析】【分析】根據(jù)題意和正方體的特征，分析點 p 動的過程中，x 隨著 y 變化情況作出軌跡圖象，數(shù)形結(jié)合能求出結(jié)果 【詳解】解：由題意知，mn平面 bb d d，

33、其軌跡經(jīng)過 b，d 和側(cè)棱 aa ，cc 的中點 e，f，1 1 1 1 1如圖，設(shè)正方體中心為 o ,當 p 點在線段 bo 上運動時，mn 隨 bp 的增大而線性增大，所 bmn 的面積表達式應(yīng)是開口1 117向上的二次函數(shù)圖像遞增的一部分; 當 p 點在線段 d o 上運動時, mn 隨 d p 的增大而線性減小，所 bmn 的面積表達1 1 1式應(yīng)是開口向下的二次函數(shù)圖像遞減的一部分.所以當 mn 與 ef 重合時，bmn 的面積取最大值，此時，bmbn，mn，bmn故選：a【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的變化，根據(jù)幾何體的特征和條件進行分析兩個變量的變化情況，再用圖象表示出來，考查了作

34、圖和讀圖能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題19歷史上，許多人研究過圓錐的截口曲線如圖，在圓錐中，母線與旋轉(zhuǎn)軸夾角為30 o，現(xiàn)有一截面與圓錐的一條母線垂直，與旋轉(zhuǎn)軸的交點o到圓錐頂點 m 的距離為 1，對于所得截口曲線給出如下命題：1 曲線形狀為橢圓；2 點 o 為該曲線上任意兩點最長距離的三等分點；該曲線上任意兩點間的最長距離為3 2，最短距離為 3 ； 2 3該曲線的離心率為33其中正確命題的序號為 （ ）ab c d【答案】a【解析】【分析】畫出軸截面的圖像.根據(jù)選項可判斷出正確.解直角三角形計算出 ao 的長以及長軸 ab 的長，由此可判斷出正確，排除 d 選項.由于曲線是

35、連續(xù)不斷的，故任意兩點間沒有最短距離，故錯誤，排除 b,c 選項.由此得出正確結(jié)論. 【詳解】根據(jù)選項可知正確，即曲線形狀為橢圓. 畫出軸截面的圖像如下圖所示，由于amo =bmo =30o, ma ab , mo =1，所以1 1ao = mo =2 2, omb =obm =30o，即bo =mo =1，所以ao 1=bo 2，而曲線上任意兩點最長距離為 ab ，故點o為該曲線上任意兩點最長距離的三等分點，由此可判斷出正確，排除 d 選項.由于曲線是連續(xù)不斷的，故任意兩點間沒有最短距離，故錯誤，排除 b,c 選項.綜上所述，本 小題選 a.【點睛】本小題主要考查圓錐的截面問題，考查空間想象

36、能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20如圖，矩形 abcd 中， e 為邊 ab 的中點，將 v ade 沿直線 de 翻轉(zhuǎn)為 在 vade 翻轉(zhuǎn)過程中，有下列命題：va de1若 m 為線段 a c 的中點，則1 bm 是定值； 點 m 在圓上運動；一定存在某個位置，使de a c1；若a 1平面bedc，則mb p平面a de1其中正確的個數(shù)為（ ）a 1b 2c3d 4【答案】c【解析】【分析】取cd中點n，連接mn，bn，由余弦定理可得 mb2=mn2+nb2-2 mn nb cos mnb ，所以 mb 是定值，可得正確；m 是在以 b 為圓心，mb 為半徑的圓上，可得正確；由射影定理

37、可判斷；由平面 mbn p平面 a de ，1可判斷【詳解】取 cd 中點 n ，連接 nm ， bn ，191由a de =mnb 1，mn =12a d =1定值，nb =de =定值，由余弦定理可得 mb2=mn2+nb2-2 mn nb cos mnb ，所以 mb 是定值，故正確； b 是定點， m 是在以 b 為圓心， mb 為半徑的圓上，故正確， a c 在平面 abcd 中的射影為 ac，ac 與 de 不垂直，1不存在某個位置,使 dea c，故不正確.1由mn pda ， bn pde ，平面 mbn p平面 a de ， mb p平面 a de ，故正確 1 1 1故選：

38、c【點睛】本題考查線線、線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)定理，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力.21已知正方體abcd -a b c d1 1 1 1，空間一動點 p 滿足a p ab ，且 apb =adb 1 1 1 1，則點 p 的軌跡為a直線【答案】b【解析】【分析】b圓 c橢圓 d拋物線通過a p ab1 1得到點 p 在平面 a bcd1 1上；再利用adb =apb 1 1且po為 ab 的中垂線，可解得 1po為定值，由此可得 p 在球面上；通過平面與球面相交得到軌跡為圓. 【詳解】由a p ab 及 ab 平面 a bcd 1 1 1 1 1可知：點 p 在平面 a bcd1 1上設(shè)正方體棱長為1，則 ad =1 ，ab =12，b d = 31又 ad 平面abb a ，可知 ad ab 1 1 1ad 3 cos adb = =b d 31即 cos apb = 133取連接 a b 交 ab 于點 1 1o，則o為 ab 中點，連接 1poq ab 1平面 a bcd ， po 平面 a bcd1 1 1 1 ab po1又o為ab1中點，所以po為ab1中垂線 ap =pb1，令 ap =x則3 x 2 +x 2 -2 3 + 3 = x