113煙臺(tái)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題061220A與答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1、 級(jí)班題號(hào)一二三四五六七總分得分閱卷 人合分 人考試時(shí)間為 120 分鐘標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(1.88) 0.97(1.43) 0.923(1.645) 0.95t 分布上側(cè)分位數(shù)t0.05 (5) 2.02t0.025 (5) 2.57t0.025 (6) 2.447提示：需要用到的數(shù)據(jù)包含在下面的表格中系院在所號(hào)學(xué) 名姓生113 煙臺(tái)大學(xué) 2006 2007學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 試卷 A一、(本題 15分)甲、乙兩個(gè)盒子 ,甲盒中有 3個(gè)白球、2個(gè)紅球,乙盒中有 4個(gè)白 球、4個(gè)紅球.從甲盒任取一個(gè)球放入乙盒 , 再?gòu)囊液腥〕鲆磺?.( 1)求乙盒中取出 的是白球的概率 ; (2) 若乙

2、盒中取出的是白球， 求甲盒中取出的球是白球的概率 .、(本題 15分)設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為fX (x)2(1 x2)求隨機(jī)變量 Y arctanX 的概率密度 fY (y).三 、( 本 題 15 分 ) 設(shè) X 、Y 是 正 值 隨 機(jī) 變 量 , 且 對(duì) 任 意 的 x, y 0 , P(X x) 2 x, P(Y y) 2 y, P(X x,Y y) 2 x y. 求 X 、Y的聯(lián)合 分布函數(shù).四、（ 本題 15 分） 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為sinx, 0 x ，f （x） 20,其它.試求sin X 的數(shù)學(xué)期望和方差 .五、（本題 15分）一種大型客車的安全載重量為

3、4 噸,設(shè)每個(gè)成年人的體重是隨機(jī) 變量,它們相互獨(dú)立 ,服從相同的分布 ,每個(gè)成年人的平均體重為 65公斤,標(biāo)準(zhǔn)差 為10公斤.問(wèn)搭乘 60名成年人不超過(guò)安全載重量的的概率是多少？六、（本題 10 分）設(shè)電子元件的壽命 X 服從正態(tài)分布 ,從中任意抽取 10個(gè)元件測(cè) 定其壽命, 算得樣本均值 X 1500 （小時(shí)）, 樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 s 14（小時(shí)）, 試求總 體X 的均值 的置信度為 0.99的置信區(qū)間 .(1485.6,1514.4).七、（本題 15分）設(shè) X, X 2 , , X n 是總體 X 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 , X 的密度函數(shù)為其中未知參數(shù)0.f (x, ) (1 x) 1 0,求參

4、數(shù) 的極大似然估計(jì)量x 0,x 0,煙臺(tái)大學(xué) 20062007學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 試卷 A參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 考試方式： 閉 卷 筆 試 (開卷、閉卷、其他) 院系： 年級(jí)： 專業(yè)： 理工經(jīng)濟(jì)、解: 設(shè) A “甲盒中取到白球”， B “乙盒中取到白球”(1) 乙盒中取到白球的概率3分P(B) P(A)P(B|A) P(A)P(B|A)3 5 2 4 235 9 5 9 45(2) 若第二次取到的是紅球，則第一次取到的是紅球的概率P(A|B)P(AB)P(B)P(A)P(B| A)P(B)3 5 45 155 9 23 235分2分5分B、解: (1)因?yàn)?lim F(x) lim(A

5、 2) A, 利用分布函數(shù)的規(guī)范性 lim F(x) 1得x xx2xA13分又xlim2 0F(x) 0, F(2) 1B , 利用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的連續(xù)性得4B4( 2)隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)2分f (x) dF(x) dxx30,x2x25分(3) X 落在區(qū)間 2, 4 內(nèi)的概率P(X 2, 4) F(4)4 4 3F(2) (1 442) (1 242 ) 345分4 81 2或 P(X 2, 4)3 dx 4 2 42 x3x2 4113).4 164三、解: 對(duì)任意的 x, y 0, 設(shè)A X x , B X y , 則P(A) e x, P(B) e 2yP(AB

6、) e x 2y. 由對(duì)立事件概率公式和概率的的加法公式F(x, y) P(AB) 1 P(A B) 1 (P(A) P(B) P( AB)1ex2 yx 2yee0分而當(dāng) x 0或 y 0時(shí)，顯然有3分F(x, y) 0.四、解 : (1)0, x 0 或y 0 e x e 2y e x 2y, x 0且y 0 隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望2 2 2xf (x)dx 2 xcos xdx 02F(x, y)2分EX5分EX22 2 2 2 x2 f (x)dx2 x2 cos2 xdx22 2 x2(1 cos2x)dx024214) 12 25分隨機(jī)變量 X 的方差DX EX2 (EX)2 E

7、X 2125分五、解: 設(shè)第i 個(gè)成年人的體重為 Xi，i 1,2, ,60.依題意， X1,X2, , X60 獨(dú)立同分布，且 EXi 故由獨(dú)立同分布的中心極限定理 ( Levy-Linderberg), 搭乘 60 人不超載的概率 60P( Xi 4000)i165,DX i 10.60i 1 Xi n 4000 60 65 P( i 1 n 60 10 ) P(U 1.29) (1.29) 0.90.105分其中隨機(jī)變量 U 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 .六、解: 設(shè)第i 天炮彈命中顆數(shù)為 Xi，i 1,2, ,100.依題意， X1, X2, ,X100 獨(dú)立同分布，且 EXi 4, DXi 1.5.故由獨(dú)立同分布的中心極限定理 ( Levy-Linderberg) 可得100P(380X i 420)i1100380 400i 1X i 100 4 420 400P( i 1 i ) 3 15 100 1.5 153分2分分2分(1.33) ( 1.33) 2 (1.33) 1 0.82.七、解 : 似然函數(shù)nL( )f (xi , ) ( 1)n(x1x2 xn) , xi 0, i 1,n.i1(2) 對(duì)數(shù)似然函數(shù)lnL(