5曲線在一點附近的結構

1、作者：王幼寧第二章曲線的局部微分幾何5 曲線在一點附近的結構對無逗留點的曲線，本節(jié)將具體說明由 Frenet 公式可確定其在一點附 近的許多性質曲線的局部規(guī)范形式按照 Taylor 展開式的 基本思想 ，曲線的位置向量函數在所指定的任意 點鄰近都可以用適當次數的多項式向量函數來 逼近對于 C3 弧長 s參數化曲線 C: r r(s) ，任取其上一點 P0: r(s0) ，不妨設 s0 0 ，則有 Peano余項 形式的 Taylor 展開式(5.1)2sr(s) r(0) sr (0) 2 r (0)s33s r (0)o(s3) ，其中余項 o(s3) 是 s3 的高階無窮小向量 若 C 無

2、逗留點，則上式可用Frenet 標架表出 事實上，記r(0); T(0), N(0), B(0) r0; T0 , N0 , B0 ， (0) 0， (0) 0， 則易知有(5.2) r(0) T0 , r (0) 0N0 , r (0)(0)N0 0 0T0 0B0 此式說明： 通過對線性無關向量組 r (s), r (s), r (s) 進行規(guī)范的 Schmidt 正交化，所得到的標準單位正交基實際上就是 Frenet 標架基向量組 T(s), N(s), B(s) 同時，取 r0; T0 , N0 , B0 為 E3 的一個新的單位正交右手標 架，所建立的新直角坐標系坐標記為 (x*,

3、y*, z*) ，則此時曲線 C 的參數方 程轉化為r* r*(s) (x*( s), y*( s), z*( s) x*( s)T0 + y*( s)N0 + z*( s)B 0 ，其中 r*(s) r(s)x*(5.3)y*z*r0 由此，將 (5.2) 式代入 (5.1) 式， 260 s3 ox*(s3)20 s26(0 ) s3 oy*(s3) ，0 0 3 306 0 s3 oz* (s3)C 的分量形式即為其中余項 ox* ( s3), oy*(s3), oz*(s3) 分別是 s3 的高階無窮小此式稱為曲線 C 在 點 P0 處的 標準展開 或局部規(guī)范形式 ，或稱為 Bouqu

4、et 公式 作者：王幼寧曲線的局部近似曲線對于撓曲線，其 局部規(guī)范形式的主要部分 確定了一條三次多項式曲線(5.4) C*: r*(s) (s , 02s , 0 60 s ) 直接計算 表明，其位置向量的導向量函數在P0 點與曲線 C 具有相同的取值進一步， 曲線 C* 與曲線 C 在 P0 點具有相同的 Frenet 標架以及相同的 曲率值和撓率值 （參見習題 ）；這說明它們的幾何行為在 P0 點附近也是很 接近的曲線 C* 稱為曲線 C在 P0點的局部 近似曲線 注意， 曲線 C* 與 曲線 C 的弧長參數并不一定一致 （ 參見習題 ），只是上述各取值相同之處 一定包含著所考慮的點 P0

5、 而已但無論如何， 從逼近的角度去看，近似曲 線的局部形狀已經足以反映出原有撓曲線的局部形狀為觀察 近似曲線 （5.4） 在 P0 點附近的圖形 ，可以通過觀察其 向 Frenet 標架坐標面上的投影曲 線的圖形而進行，從而得到其基 本特征 向密切平面上的投影曲 線為拋物線(5.5)02 y* x* 2 ， y*2 x* ，z* 0 ；向從切平面的投影曲線為立方拋物線(5.6)z*y*0 0 x*36 x*向法平面的投影曲線為半立方拋物線右旋上升”穿過法平面和密切平面而去圖2-9示意了 當 0 0 時，近似曲線和原曲線都是從密切平面“下方”曲線和原曲線都是從密切平面“上方”“右旋下降”穿過法平

6、面和密切平 面而去 此時曲線的局部基本狀況分別類似于右旋上升的圓柱螺線和右旋 下降的圓柱螺線并且， (5.3) 式和 (5.4) 式說明 主法向量總是指向原曲線 和近似曲線 “凹”的一側，曲線局部也總是落在這一側三曲線的切觸為了比較兩條曲線 在某個局部的接近程度 ，通常為了方便而將所考慮 的一對對應點視為兩條曲線的公共點如果還想知道這兩條曲線的位置差 異程度，那么，引進所謂切觸及其階數的概念將是方便的設相交于點 P0 的曲線 C: r(s) 和曲線 C*: r*(s) 同時以 s 為弧長參數 ， 并且不妨設 OP0 r(s0) r*( s0) ，則兩條曲線上的 點的對應關系規(guī)定為取相 同的參數

7、值 ，幾何意義即為對應點到公共交點P0 的弧段具有相同的有向長度此時， 對應點之間在 E3 中的距離 若為它們 到交點 P0 的弧段長度 的高 階無窮小，即(5.8)lsims r(s) r*(s) 0 ，s s0s s0則稱兩條曲線 C和 C* 在點 P0切觸若正整數 n使(5.9)lsims r( s(s) rs0*()ns)s s0(s s0)lsims0 r (ss) sr0)*(n+s1)則稱兩條曲線 C 和 C* 在點 P0 有 n 階切觸 (或 n 階密切 )(5.3) 式和 (5.4) 式說明 撓曲線及其近似曲線有至少二階切觸作者：王幼寧從 (5.1) 式和 (5.2) 式還可

8、以看到， 相切的兩條曲線若在切點具有相同 的非零曲率值和相同的有向密切平面，則它們在切點有 至少 二階切觸 由 此， 密切平面上存在以曲率半徑為半徑的圓周與原曲線有 至少 二階切觸 ； 稱該圓周為原曲線在切觸點的 曲率圓周 ，稱曲率圓周的圓心為原曲線的 曲 率中心 曲線與曲面的接近程度也可以用 同樣的方法 進行考察習題 對于以 (5.3) 式確定的無逗留點的 C3 弧長 s 參數化曲線 C: r r(s) ，以 (5.4) 式確定 了曲線 C* 試證：參數 s不一定是 C* 的弧長參數，但在點 s 0 處C* 和 C具有 相同的曲率和撓率 已知兩條正則曲線關于一張平面對稱，并且按對稱關系確定了點點對應試證： 在對應點，這兩條曲線具有相同的曲率和符號相