2020-2021學年新教材數(shù)學人教A版選擇性必修第一冊課后提升訓練:3.3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)_第1頁
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文檔簡介

1、好好學習,天天向上第三章圓錐曲線的方程3.3拋物線3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達標練1.已知拋物線c:y2=x的焦點為f,a(x0,y0)是c上一點,若af|=54x0,則x0等于()a.1b。2c.4d.8解析拋物線c:y2=x的焦點為f14,0,a(x0,y0)是c上一點,|af=54x0,54x0=x0+14,解得x0=1。答案a2。若拋物線y2=4x上一點p(x0,y0)到點(5,0)的距離最小,則點p的橫坐標x0為()a.1b.2c。3d.4解析p(x0,y0)在拋物線y2=4x上,y02=4x0,則點p與點(5,0)的距離d=(x0-5)2+y02=x02-10

2、x0+25+4x0=(x0-3)2+16.x00,當x0=3時,點p與點(5,0)的距離最小,此時x0=3。答案c3.過點p(0,1)與拋物線y2=2x有且只有一個交點的直線有()a。4條b.3條c。2條d。1條解析(1)當過點p(0,1)的直線存在斜率時,設(shè)其方程為y=kx+1,由方程組y=kx+1,y2=2x,消y得k2x2+(2k-2)x+1=0,若k=0,則-2x+1=0,解得x=12,此時直線與拋物線只有一個交點12,1;若k0,令=(2k2)2-4k2=0,解得k=12,此時直線與拋物線相切,只有一個交點。(2)當過點p(0,1)的直線不存在斜率時,該直線方程為x=0,與拋物線相切

3、,只有一個交點。綜上,過點p(0,1)與拋物線y2=2x有且只有一個交點的直線有3條.答案b4.過拋物線y2=2px(p0)的焦點,且垂直于x軸的弦為ab,o為拋物線的頂點,則aob的度數(shù)()a。小于90b。等于90c。大于90d。不能確定解析設(shè)拋物線y2=2px的焦點為f,則其坐標為p2,0,將x=p2代入拋物線的方程,解得ap2,p,bp2,-p.在直角三角形aof中,|of|af,故aof45。由拋物線的對稱性可知,aob=aof+bof45+45=90。答案c5.已知正三角形的一個頂點位于坐標原點,另兩個頂點在拋物線y2=2x上,則這個正三角形的邊長是。解析根據(jù)拋物線的對稱性可知,正三

4、角形另外兩個頂點關(guān)于x軸對稱,設(shè)一個頂點坐標為y022,y0,邊長為a,則有tan6=2y0y02,解得y0=23,故邊長a=43。答案436。過拋物線y2=2px(p0)的焦點f且傾斜角為45的直線交拋物線于a,b兩點,若|ab|=8,則p=.解析fp2,0,直線ab的方程為y=xp2,將其與y2=2px聯(lián)立,消去y,得x2-3px+p24=0.設(shè)a(xa,ya),b(xb,yb),由根與系數(shù)的關(guān)系知xa+xb=3p,xaxb=p24。ab|=2(xa+xb)2-4xaxb=4p=8,解得p=2。答案27。(2019全國,理19)已知拋物線c:y2=3x的焦點為f,斜率為32的直線l與c的交

5、點為a,b,與x軸的交點為p。(1)若af|+bf|=4,求l的方程;(2)若ap=3pb,求ab。解設(shè)直線l:y=32x+t,a(x1,y1),b(x2,y2).(1)由題設(shè)得f34,0,故af|+bf|=x1+x2+32,由題設(shè)可得x1+x2=52.由y=32x+t,y2=3x可得9x2+12(t1)x+4t2=0,則x1+x2=12(t-1)9.從而12(t-1)9=52,得t=-78。所以l的方程為y=32x-78。(2)由ap=3pb可得y1=3y2。由y=32x+t,y2=3x可得y2-2y+2t=0。所以y1+y2=2。從而3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入c的方程得

6、x1=3,x2=13.故ab=4133.8.如圖,已知拋物線c:y2=2px過點a(1,1).(1)求拋物線c的方程.(2)過點p(3,1)的直線與拋物線c交于m,n兩個不同的點(均與點a不重合).設(shè)直線am,an的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值。解(1)由題意得2p=1,所以拋物線方程為y2=x.(2)設(shè)m(x1,y1),n(x2,y2),直線mn的方程為x=t(y+1)+3,代入拋物線方程,整理得y2tyt-3=0。因為=(t+2)2+80,所以y1+y2=t,y1y2=t3.所以k1k2=y1-1x1-1y2-1x2-1=y1-1y12-1y2-1y22-1=1(y1+1)(

7、y2+1)=1y1y2+y1+y2+1=1-t-3+t+1=12,故k1k2是定值。能力提升練1。(多選題)拋物線y2=2px(p0)的焦點為f,ab是經(jīng)過拋物線焦點f的弦,m是線段ab的中點,經(jīng)過a,b,m作拋物線的準線l的垂線ac,bd,mn,垂足分別是c,d,n,其中mn交拋物線于點q,連接qf,nf,nb,na.下列說法正確的是()a。mn|=12abb.fnabc。q是線段mn的一個三等分點d.qfm=qmf解析如圖,由拋物線的定義,得ac=|af|,|bd=|bf|。又mn=|ac|+bd2,則mn|=|af|+|bf|2=12ab,a正確.由|mn|=12ab|,|am=mb,得

8、mn|=am,所以man=mna.而mna=can,所以man=can,所以ancanf,可知acn=afn=90,所以fnab,b正確。在rtmnf中,qn|=|qf,可知qnf=qfn,所以qfm=qmf,d正確.由qfm=qmf,可知qf=|qm,所以nq=|qm,即q是mn的中點,故c不正確。答案abd2.已知拋物線x2=2py(p0)的焦點為f,過點f且傾斜角為150的直線l與拋物線在第一、二象限分別交于a,b兩點,則|bf|af|等于()a.3b.7+43c。13d。3+22解析(方法1)設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),直線l的方程為x=-3y-p2,則x2=2py,x=-3

9、y-p2,消去x,得12y220py+3p2=0.點a在第一象限,解得y1=p6,y2=3p2,|bf|af|=y2+p2y1+p2=3p2+p2p6+p2=3.故選a.(方法2)如圖,過點a,b作準線的垂線,垂足分別為a,b,則由拋物線的定義知|bb|=bf,aa=|af|.過點a作bb的垂線ae,則|be=bb|-aa=bf|-|af|,易知bae=30,故be|=12|ab|,所以bf-af=12(|bf+|af|),因此bf|=3af,故|bf|af|=3。答案a3.已知f為拋物線y2=x的焦點,點a,b在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),oaob=6(其中o為坐標原點),則abo與afo面

10、積之和的最小值是()a.1728b。3c.338d.3132解析設(shè)直線ab的方程為x=ty+m,則直線ab與x軸的交點為m(m,0),則m0.設(shè)點a(x1,y1),b(x2,y2).把x=ty+m代入y2=x,可得y2-tym=0,滿足0,則y1y2=-m.oaob=6,x1x2+y1y2=6,從而(y1y2)2+y1y2-6=0.點a,b位于x軸的兩側(cè),y1y2=-3,故m=3。不妨設(shè)點a在x軸上方,則y10,又f14,0,y2=-3y1,sabo+safo=123(y1y2)+1214y1=138y1+92y1291316=3132,當且僅當138y1=92y1,即y1=61313時,取等

11、號,abo與afo面積之和的最小值是3132。答案d4.已知拋物線的方程為y2=2px(p0),o為坐標原點,a,b為拋物線上的點,若oab為等邊三角形,且面積為483,則p的值為.解析設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2)。oa=|ob|,x12+y12=x22+y22。又y12=2px1,y22=2px2,x22-x12+2p(x2-x1)=0,即(x2x1)(x1+x2+2p)=0.又x1,x2與p同號,x1+x2+2p0.x2x1=0,即x1=x2。根據(jù)拋物線對稱性可知點a,b關(guān)于x軸對稱,由oab為等邊三角形,不妨設(shè)直線ob的方程為y=33x,由y=33xy2=2px,解得b(6p,2

12、3p),ob=(6p)2+(23p)2=43p,oab的面積為483,34(43p)2=483,解得p2=4,p=2。答案25。(2019山東高三模擬考試)直線l過拋物線c:y2=2px(p0)的焦點f(1,0),且與c交于a,b兩點,則p=,1|af|+1|bf|=.解析由題意知p2=1,從而p=2,所以拋物線方程為y2=4x.當直線ab斜率不存在時,x=1代入y2=4x,解得y1=2,y2=2,即af|=bf=2,從而1|af|+1|bf|=1.當直線ab斜率存在時,設(shè)ab的方程為y=k(x-1),顯然k0,聯(lián)立y=k(x-1),y2=4x,消去y,整理得k2x2(2k2+4)x+k2=0

13、,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,從而1|af|+1|bf|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1+x2+x1x2+1=x1+x2+2x1+x2+2=1。答案216。設(shè)a,b為曲線c:y=x24上兩點,a與b的橫坐標之和為4。(1)求直線ab的斜率;(2)設(shè)m為曲線c上一點,c在m處的切線與直線ab平行,且ab=2|mn|,求直線ab的方程.解(1)設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,于是直線ab的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.(2)由y=x24,得y=x2.

14、設(shè)m(x3,y3),由題設(shè)知x32=1,解得x3=2,于是m(2,1).設(shè)直線ab的方程為y=x+m,故線段ab的中點為n(2,2+m),|mn=m+1.將y=x+m代入y=x24,得x24x4m=0。當=16(m+1)0,即m1時,x1=2+2m+1,x2=2-2m+1,從而ab=2|x1x2|=42(m+1).由題設(shè)知|ab|=2|mn|,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7,或m=1(舍).所以直線ab的方程為y=x+7.7。(2019全國,文21)已知點a,b關(guān)于坐標原點o對稱,ab=4,m過點a,b且與直線x+2=0相切。(1)若a在直線x+y=0上,求m的半徑;(2)是否存在

15、定點p,使得當a運動時,|ma-|mp|為定值?并說明理由。解(1)因為m過點a,b,所以圓心m在ab的垂直平分線上.由已知a在直線x+y=0上,且a,b關(guān)于坐標原點o對稱,所以m在直線y=x上,故可設(shè)m(a,a)。因為m與直線x+2=0相切,所以m的半徑為r=|a+2.由已知得|ao=2,又moao,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故m的半徑r=2或r=6。(2)存在定點p(1,0),使得ma|-|mp|為定值.理由如下:設(shè)m(x,y),由已知得m的半徑為r=|x+2,ao=2。由于moao,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化簡得m的軌跡方程為y2=4x.因為曲線c:

16、y2=4x是以點p(1,0)為焦點,以直線x=-1為準線的拋物線,所以|mp=x+1。因為ma|mp=r-mp=x+2-(x+1)=1,所以存在滿足條件的定點p.素養(yǎng)培優(yōu)練(2020云南師大附中高三月考)已知拋物線e:y2=2px(p0),過其焦點f的直線與拋物線相交于a(x1,y1)、b(x2,y2)兩點,滿足y1y2=4。(1)求拋物線e的方程;(2)已知點c的坐標為(-2,0),記直線ca、cb的斜率分別為k1,k2,求1k12+1k22的最小值。解(1)因為直線ab過焦點fp2,0,設(shè)直線ab的方程為x=my+p2,將直線ab的方程與拋物線e的方程聯(lián)立x=my+p2,y2=2px,消去x得y22mpyp2=0,所以有y1y2=-p2=-4,p0,p=2,因此,拋物線e的方程為y2=4x;(2)由(1)知拋物線的焦點坐標為f(1,0),設(shè)直線ab的方程為x=my+1,聯(lián)立拋物線的方程y24my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=4,則有1k1=m+3y1,1k2=m+3

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