2020-2021學(xué)年新教材數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊(cè)課后提升訓(xùn)練：3.3.2　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

1、好好學(xué)習(xí)，天天向上第三章圓錐曲線的方程3.3拋物線3.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.已知拋物線c：y2=x的焦點(diǎn)為f，a（x0,y0）是c上一點(diǎn),若af|=54x0,則x0等于(）a.1b。2c.4d.8解析拋物線c：y2=x的焦點(diǎn)為f14,0,a(x0,y0)是c上一點(diǎn),|af=54x0,54x0=x0+14,解得x0=1。答案a2。若拋物線y2=4x上一點(diǎn)p(x0,y0)到點(diǎn)（5，0)的距離最小,則點(diǎn)p的橫坐標(biāo)x0為()a.1b.2c。3d.4解析p(x0,y0)在拋物線y2=4x上，y02=4x0,則點(diǎn)p與點(diǎn)（5，0)的距離d=(x0-5)2+y02=x02-10

2、x0+25+4x0=(x0-3)2+16.x00，當(dāng)x0=3時(shí),點(diǎn)p與點(diǎn)（5，0)的距離最小,此時(shí)x0=3。答案c3.過點(diǎn)p(0,1)與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有（)a。4條b.3條c。2條d。1條解析（1）當(dāng)過點(diǎn)p（0，1）的直線存在斜率時(shí),設(shè)其方程為y=kx+1，由方程組y=kx+1,y2=2x,消y得k2x2+(2k-2)x+1=0,若k=0,則-2x+1=0，解得x=12，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)12,1;若k0,令=(2k2）2-4k2=0，解得k=12,此時(shí)直線與拋物線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)。(2)當(dāng)過點(diǎn)p(0，1)的直線不存在斜率時(shí),該直線方程為x=0，與拋物線相切

3、，只有一個(gè)交點(diǎn)。綜上,過點(diǎn)p(0，1）與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有3條.答案b4.過拋物線y2=2px（p0)的焦點(diǎn),且垂直于x軸的弦為ab，o為拋物線的頂點(diǎn)，則aob的度數(shù)(）a。小于90b。等于90c。大于90d。不能確定解析設(shè)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為f,則其坐標(biāo)為p2,0，將x=p2代入拋物線的方程，解得ap2,p,bp2,-p.在直角三角形aof中，|of|af，故aof45。由拋物線的對(duì)稱性可知,aob=aof+bof45+45=90。答案c5.已知正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=2x上,則這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)是。解析根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，正三

4、角形另外兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為y022,y0,邊長(zhǎng)為a，則有tan6=2y0y02，解得y0=23,故邊長(zhǎng)a=43。答案436。過拋物線y2=2px（p0）的焦點(diǎn)f且傾斜角為45的直線交拋物線于a,b兩點(diǎn),若|ab|=8,則p=.解析fp2,0，直線ab的方程為y=xp2,將其與y2=2px聯(lián)立，消去y,得x2-3px+p24=0.設(shè)a(xa，ya)，b(xb，yb）,由根與系數(shù)的關(guān)系知xa+xb=3p，xaxb=p24。ab|=2(xa+xb)2-4xaxb=4p=8,解得p=2。答案27。(2019全國(guó)，理19）已知拋物線c：y2=3x的焦點(diǎn)為f，斜率為32的直線l與c的交

5、點(diǎn)為a，b,與x軸的交點(diǎn)為p。（1)若af|+bf|=4,求l的方程;（2）若ap=3pb，求ab。解設(shè)直線l：y=32x+t,a（x1,y1),b（x2,y2).(1)由題設(shè)得f34,0，故af|+bf|=x1+x2+32,由題設(shè)可得x1+x2=52.由y=32x+t,y2=3x可得9x2+12（t1）x+4t2=0,則x1+x2=12(t-1)9.從而12(t-1)9=52,得t=-78。所以l的方程為y=32x-78。（2)由ap=3pb可得y1=3y2。由y=32x+t,y2=3x可得y2-2y+2t=0。所以y1+y2=2。從而3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入c的方程得

6、x1=3，x2=13.故ab=4133.8.如圖，已知拋物線c:y2=2px過點(diǎn)a（1,1）.(1)求拋物線c的方程.（2)過點(diǎn)p（3，1)的直線與拋物線c交于m，n兩個(gè)不同的點(diǎn)(均與點(diǎn)a不重合）.設(shè)直線am,an的斜率分別為k1,k2，求證:k1k2為定值。解（1)由題意得2p=1，所以拋物線方程為y2=x.(2)設(shè)m（x1，y1），n（x2,y2),直線mn的方程為x=t（y+1）+3,代入拋物線方程，整理得y2tyt-3=0。因?yàn)?(t+2）2+80,所以y1+y2=t，y1y2=t3.所以k1k2=y1-1x1-1y2-1x2-1=y1-1y12-1y2-1y22-1=1(y1+1)(

7、y2+1)=1y1y2+y1+y2+1=1-t-3+t+1=12,故k1k2是定值。能力提升練1。（多選題)拋物線y2=2px（p0）的焦點(diǎn)為f，ab是經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)f的弦,m是線段ab的中點(diǎn),經(jīng)過a,b，m作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線ac,bd，mn,垂足分別是c,d,n,其中mn交拋物線于點(diǎn)q,連接qf,nf,nb,na.下列說法正確的是()a。mn|=12abb.fnabc。q是線段mn的一個(gè)三等分點(diǎn)d.qfm=qmf解析如圖,由拋物線的定義，得ac=|af|，|bd=|bf|。又mn=|ac|+bd2，則mn|=|af|+|bf|2=12ab,a正確.由|mn|=12ab|,|am=mb，得

8、mn|=am，所以man=mna.而mna=can,所以man=can,所以ancanf，可知acn=afn=90，所以fnab,b正確。在rtmnf中，qn|=|qf,可知qnf=qfn,所以qfm=qmf，d正確.由qfm=qmf，可知qf=|qm，所以nq=|qm,即q是mn的中點(diǎn)，故c不正確。答案abd2.已知拋物線x2=2py(p0)的焦點(diǎn)為f，過點(diǎn)f且傾斜角為150的直線l與拋物線在第一、二象限分別交于a，b兩點(diǎn),則|bf|af|等于（)a.3b.7+43c。13d。3+22解析(方法1）設(shè)a（x1，y1)，b（x2,y2),直線l的方程為x=-3y-p2，則x2=2py,x=-3

9、y-p2,消去x，得12y220py+3p2=0.點(diǎn)a在第一象限，解得y1=p6，y2=3p2,|bf|af|=y2+p2y1+p2=3p2+p2p6+p2=3.故選a.(方法2）如圖,過點(diǎn)a，b作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為a，b,則由拋物線的定義知|bb|=bf，aa=|af|.過點(diǎn)a作bb的垂線ae,則|be=bb|-aa=bf|-|af|,易知bae=30，故be|=12|ab|,所以bf-af=12(|bf+|af|），因此bf|=3af，故|bf|af|=3。答案a3.已知f為拋物線y2=x的焦點(diǎn),點(diǎn)a,b在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，oaob=6(其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)），則abo與afo面

10、積之和的最小值是（)a.1728b。3c.338d.3132解析設(shè)直線ab的方程為x=ty+m，則直線ab與x軸的交點(diǎn)為m(m,0),則m0.設(shè)點(diǎn)a(x1,y1)，b(x2,y2）.把x=ty+m代入y2=x，可得y2-tym=0，滿足0,則y1y2=-m.oaob=6,x1x2+y1y2=6,從而（y1y2)2+y1y2-6=0.點(diǎn)a，b位于x軸的兩側(cè)，y1y2=-3,故m=3。不妨設(shè)點(diǎn)a在x軸上方，則y10,又f14,0,y2=-3y1,sabo+safo=123（y1y2)+1214y1=138y1+92y1291316=3132，當(dāng)且僅當(dāng)138y1=92y1，即y1=61313時(shí)，取等

11、號(hào),abo與afo面積之和的最小值是3132。答案d4.已知拋物線的方程為y2=2px(p0),o為坐標(biāo)原點(diǎn)，a，b為拋物線上的點(diǎn)，若oab為等邊三角形,且面積為483,則p的值為.解析設(shè)a(x1，y1)，b（x2,y2)。oa=|ob|，x12+y12=x22+y22。又y12=2px1,y22=2px2，x22-x12+2p(x2-x1)=0,即（x2x1）(x1+x2+2p)=0.又x1,x2與p同號(hào)，x1+x2+2p0.x2x1=0，即x1=x2。根據(jù)拋物線對(duì)稱性可知點(diǎn)a，b關(guān)于x軸對(duì)稱，由oab為等邊三角形，不妨設(shè)直線ob的方程為y=33x，由y=33xy2=2px，解得b（6p，2

12、3p)，ob=(6p)2+(23p)2=43p,oab的面積為483，34(43p)2=483,解得p2=4,p=2。答案25。(2019山東高三模擬考試)直線l過拋物線c：y2=2px(p0)的焦點(diǎn)f（1，0）,且與c交于a,b兩點(diǎn),則p=，1|af|+1|bf|=.解析由題意知p2=1，從而p=2，所以拋物線方程為y2=4x.當(dāng)直線ab斜率不存在時(shí),x=1代入y2=4x，解得y1=2，y2=2,即af|=bf=2,從而1|af|+1|bf|=1.當(dāng)直線ab斜率存在時(shí),設(shè)ab的方程為y=k(x-1），顯然k0,聯(lián)立y=k(x-1),y2=4x,消去y，整理得k2x2（2k2+4)x+k2=0

13、，設(shè)a(x1,y1）,b(x2,y2），則x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,從而1|af|+1|bf|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1+x2+x1x2+1=x1+x2+2x1+x2+2=1。答案216。設(shè)a,b為曲線c:y=x24上兩點(diǎn),a與b的橫坐標(biāo)之和為4。（1）求直線ab的斜率;(2）設(shè)m為曲線c上一點(diǎn),c在m處的切線與直線ab平行，且ab=2|mn|,求直線ab的方程.解（1）設(shè)a（x1,y1),b(x2，y2），則x1x2，y1=x124，y2=x224,x1+x2=4,于是直線ab的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.(2)由y=x24，得y=x2.

14、設(shè)m(x3,y3),由題設(shè)知x32=1,解得x3=2,于是m(2，1).設(shè)直線ab的方程為y=x+m,故線段ab的中點(diǎn)為n(2,2+m）,|mn=m+1.將y=x+m代入y=x24,得x24x4m=0。當(dāng)=16（m+1）0,即m1時(shí),x1=2+2m+1,x2=2-2m+1,從而ab=2|x1x2|=42(m+1).由題設(shè)知|ab|=2|mn|，即42(m+1)=2（m+1）,解得m=7,或m=1(舍).所以直線ab的方程為y=x+7.7。（2019全國(guó),文21)已知點(diǎn)a,b關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)o對(duì)稱，ab=4,m過點(diǎn)a，b且與直線x+2=0相切。（1)若a在直線x+y=0上,求m的半徑；(2)是否存在

15、定點(diǎn)p，使得當(dāng)a運(yùn)動(dòng)時(shí),|ma-|mp|為定值？并說明理由。解(1)因?yàn)閙過點(diǎn)a，b，所以圓心m在ab的垂直平分線上.由已知a在直線x+y=0上，且a，b關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)o對(duì)稱，所以m在直線y=x上,故可設(shè)m（a，a)。因?yàn)閙與直線x+2=0相切，所以m的半徑為r=|a+2.由已知得|ao=2，又moao，故可得2a2+4=（a+2）2，解得a=0或a=4.故m的半徑r=2或r=6。（2）存在定點(diǎn)p(1,0),使得ma|-|mp|為定值.理由如下:設(shè)m（x，y),由已知得m的半徑為r=|x+2,ao=2。由于moao,故可得x2+y2+4=（x+2)2,化簡(jiǎn)得m的軌跡方程為y2=4x.因?yàn)榍€c：

16、y2=4x是以點(diǎn)p（1，0)為焦點(diǎn)，以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,所以|mp=x+1。因?yàn)閙a|mp=r-mp=x+2-(x+1）=1，所以存在滿足條件的定點(diǎn)p.素養(yǎng)培優(yōu)練(2020云南師大附中高三月考)已知拋物線e:y2=2px(p0）,過其焦點(diǎn)f的直線與拋物線相交于a（x1，y1)、b（x2，y2）兩點(diǎn),滿足y1y2=4。(1）求拋物線e的方程；（2）已知點(diǎn)c的坐標(biāo)為（-2,0）,記直線ca、cb的斜率分別為k1，k2，求1k12+1k22的最小值。解(1)因?yàn)橹本€ab過焦點(diǎn)fp2,0，設(shè)直線ab的方程為x=my+p2,將直線ab的方程與拋物線e的方程聯(lián)立x=my+p2,y2=2px,消去x得y22mpyp2=0,所以有y1y2=-p2=-4,p0,p=2，因此,拋物線e的方程為y2=4x；（2）由(1）知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為f(1,0），設(shè)直線ab的方程為x=my+1，聯(lián)立拋物線的方程y24my-4=0，所以y1+y2=4m，y1y2=4，則有1k1=m+3y1,1k2=m+3