二次微分方程通解

1、第六節(jié) 二階常系數齊次線性微分方程教學目的：使學生掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，了解二階常系數非齊次線性微分方程的解法教學重點：二階常系數齊次線性微分方程的解法教學過程：一、二階常系數齊次線性微分方程 二階常系數齊次線性微分方程 方程y py qy 0稱為二階常系數齊次線性微分方程其中 p、q 均為常數如果 y1、y2是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關解那么 y C1y1 C2y2 就是它的通解我們看看 能否適當選取r 使 y erx 滿足二階常系數齊次線性微分方程為此將 y erx 代入方程y py qy 0得(r 2 pr q)erx 0由此可見只要 r 滿足代數方程r2

2、pr q 0 函數 y erx 就是微分方程的解特征方程 方程 r2 pr q 0 叫做微分方程 y py qy 0 的特征方程 特征方程的兩個根 r1、r2 可用公式p p2 4qr1,22求出特征方程的根與通解的關系(1) 特征方程有兩個不相等的實根r1、r2時 函數 y1 er1x、 y2 er2 x是方程的兩個線性無關的解這是因為y er1x函數 y1 er1x 、 y2 er2x 是方程的解 又 1 er x e(r1 r2)x 不是常數y2 e 2因此方程的通解為y C1er1x C2er2x(2)特征方程有兩個相等的實根 r1 r2時 函數 y1 er1x 、y2 xer1x是二

3、階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關的解這是因為 y1 er1x 是方程的解 又(xer1x ) p(xer1x) q( xer1x) (2r1 xr12)er1x p(1 xr1)er1x qxer1xer1x(2r1 p) xer1x (r12 pr1 q) 0所以 y2 xer1x 也是方程的解且 yy21 xeer11x x 不是常數因此方程的通解為y C1er1x C2xer1x(3) 特征方程有一對共軛復根 r1, 2i 時 函數 y e( i )x、y e( i )x是微分方程的兩個線性無關的復數形式的解 函數 y e xcos x、y e xsin x 是微分方程的兩個線性無

4、關的實數形式的解函數 y1 e( i )x和 y2 e( i )x 都是方程的解 而由歐拉公式 得y1 e( i )x e x(cos x isin x)y2 e( i )x e x(cos x isin x) y1 y2 2e xcos x e xcos x 12(y1 y2)1y1 y2 2ie xsin x e xsin x 21i (y1 y2) 故 e xcos x、y2 e xsin x也是方程解 可以驗證 y1 e xcos x、 y2 e xsin x 是方程的線性無關解因此方程的通解為y e x(C1cos x C2sin x ) 求二階常系數齊次線性微分方程 y py qy

5、 0 的通解的步驟為 第一步 寫出微分方程的特征方程2 r pr q 0第二步 求出特征方程的兩個根 r1、 r2第三步 根據特征方程的兩個根的不同情況 寫出微分方程的通解例 1 求微分方程 y 2y 3y 0的通解解 所給微分方程的特征方程為2 r 2r 3 0 即 (r 1)(r 3) 0其根 r1 1 r2 3 是兩個不相等的實根 因此所求通解為y C1e x C2e3x例 2 求方程 y 2y y 0滿足初始條件 y|x 0 4、y|x 0 2的特解解 所給方程的特征方程為22r2 2r 1 0 即 (r 1)2 0其根 r1 r2 1 是兩個相等的實根 因此所給微分方程的通解為y (

6、C1 C2x)e x將條件 y|x 0 4 代入通解 得 C1 4 從而y (4 C2x)e x 將上式對 x 求導 得y (C2 4 C2x)e x再把條件 y |x 0 2 代入上式 得 C2 2 于是所求特解為x (4 2x)e x例 3 求微分方程 y 2y 5y 0 的通解解 所給方程的特征方程為2r 2r 5 0特征方程的根為 r1 1 2i r2 1 2i 是一對共軛復根 因此所求通解為xy e (C1cos2x C2sin2 x)n 階常系數齊次線性微分方程 方程y(n) p1y(n 1) p2 y(n 2)pn 1y pny 0稱為 n 階常系數齊次線性微分方程 其中 p1

7、p2pn 1 pn 都是常數n 階常系數齊次二階常系數齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 可推廣到 線性微分方程上去引入微分算子 D 及微分算子的 n 次多項式L(D)=D n p1Dn 1 p2 Dn 2pn 1D pn則 n 階常系數齊次線性微分方程可記作(Dn p1Dn 1 p2 Dn 2pn1D pn)y 0或 L(D)y 0注 D叫做微分算子 D0y y Dy y D2y y D3y yDny y(n)分析 令 y erx 則rx n n 1 n 2 rx rxL(D)y L(D)e (r p1r p2 rpn 1r pn)e L(r)e因此如果 r 是多項式 L(r)的根

8、 則 y erx是微分方程 L(D)y 0 的解n 階常系數齊次線性微分方程的特征方程 n n 1 n 2L(r) r p1rp2 rpn 1r pn 0稱為微分方程 L(D)y 0 的特征方程特征方程的根與通解中項的對應單實根 r 對應于一項 Cerx一對單復根 r1 2 i 對應于兩項 e x(C1cos x C2sin x) k 重實根 r 對應于 k 項 erx(C1 C2xCk xk 1)一對 k 重復根 r1 2i 對應于 2k 項e x(C1 C2xCk xk 1)cos x ( D1 D2xDk xk 1)sin x例 4 求方程 y(4) 2y 5y 0 的通解解 這里的特征

9、方程為r4 2r3 5r2 0 即 r2(r 2 2r 5) 0 它的根是 r1 r2 0 和 r3 4 1 2i 因此所給微分方程的通解為xy C1 C2x e (C3cos2x C4sin2x) 例 5 求方程 y(4) 4y 0的通解 其中 0 解 這里的特征方程為r4 4 0 它的根為 r1,2(1 i) r3,4(1 i)因此所給微分方程的通解為y e 2 (C1 cos x C2 sin122xe 2 (C3cos x C4sinx)二、二階常系數非齊次線性微分方程簡介二階常系數非齊次線性微分方程 方程y py qy f(x)稱為二階常系數非齊次線性微分方程其中 p、q 是常數二階

10、常系數非齊次線性微分方程的通解是對應的齊次方程 的通解 y Y(x)與非齊次方程本身的一個特解 y y*(x) 之和 y Y(x) y*(x)當 f(x)為兩種特殊形式時 方程的特解的求法一、 f(x) Pm(x)e x 型當 f(x) Pm(x)e x 時 可以猜想 方程的特解也應具有這種形式 因此 設特解形式為 y* Q(x)e x 將其代入方程 得等式2Q (x) (2 p)Q (x) ( 2 p q)Q(x) Pm(x)22(1) 如果 不是特征方程 r2 pr q 0 的根 則 2 p q 0 要使上式成立 Q(x)應設為 m 次多項 式Qm(x) b0xm b1xm 1bm 1x

11、bm通過比較等式兩邊同次項系數 可確定 b0 b1bm 并得所求特解y* Qm(x)e x22(2) 如果 是特征方程 r2 pr q 0 的單根 則 2 p q 0 但 2 p 0 要使等式 2Q (x) (2 p)Q (x) ( 2 p q)Q(x) Pm(x)成立 Q(x)應設為 m 1 次多項式Q(x) xQ m( x)Qm(x) b0x b1xbm 1x bm通過比較等式兩邊同次項系數 可確定 b0 b1bm 并得所求特解y* xQ m(x) e x22(3) 如果 是特征方程 r2 pr q 0 的二重根 則 2 p q 0 2 p 0 要使等式2Q (x) (2 p)Q (x)

12、( 2 p q)Q(x) Pm(x) 成立 Q(x)應設為 m 2 次多項式2Q(x) x2Qm(x)m m 1Qm(x) b0x b1xbm 1x bm通過比較等式兩邊同次項系數 可確定 b0 b1bm 并得所求特解y* x2Qm(x)e x綜上所述 我們有如下結論 如果 f(x) Pm(x)e x 則二階常系數非齊次線性微分方程 y py qy f( x)有形如y* xkQm(x)e x的特解 其中 Qm(x)是與 Pm(x)同次的多項式 而 k 按 不是特征方程的根、是特征方程的單根或 是特征方程的的重根依次取為 0、1或 2例 1 求微分方程 y 2y 3y 3x 1的一個特解解 這是

13、二階常系數非齊次線性微分方程 且函數 f(x)是 Pm(x)e x 型(其中 Pm(x) 3x 1 0) 與所給方程對應的齊次方程為y 2y 3y 0 它的特征方程為2r 2r 3 0由于這里 0 不是特征方程的根 所以應設特解為y* b0x b1 把它代入所給方程 得3b0x 2b0 3b1 3x 1比較兩端 x 同次冪的系數 得3b0 32b0 3b1 13b0 3 2b0 3b1 1由此求得 b0 1 b1 13 于是求得所給方程的一個特解為1y* x 13 例 2 求微分方程 y 5y 6y xe2x的通解 解 所給方程是二階常系數非齊次線性微分方程且 f(x)是 Pm(x)e x型(

14、其中 Pm(x) x 2)與所給方程對應的齊次方程為y 5y 6y 0它的特征方程為2r2 5r 6 0特征方程有兩個實根 r1 2 r2 3 于是所給方程對應的齊次方程的通解為2x 3xY C1e C2e由于 2 是特征方程的單根 所以應設方程的特解為2xy* x(b0x b1)e2x把它代入所給方程 得2b0x 2b0 b1 x比較兩端 x 同次冪的系數 得2b0 12b0 b1 02b0 1 2b0 b1 0由此求得 b01 b1 1 于是求得所給方程的一個特解為02y* x( 21x 1)e2x從而所給方程的通解為y C1e2x C2e3x 21(x2 2x)e2x提示2x 2 2xy

15、* x(b0x b1)e2x (b0x2 b1x)e2x( b0x2 b1x)e2x (2 b0x b1) (b0x2 b1x) 2e2x(b0x2 b1x)e2x 2b0 2(2b0x b1) 2 (b0x2 b1x) 22e2x y* 5y* 6y* ( b0x2 b1x)e2x 5(b0x2 b1x)e2x 6( b0x2 b1x)e2x2b0 2(2b0x b1) 2 (b0x2 b1x) 22e2x 5(2 b0x b1) (b0x2 b1x) 2e2x 6(b0x2 b1x)e2x 2x 2x2b0 4(2b0x b1) 5(2b0x b1)e2x 2b0x 2b0 b1e2x方程

16、 y py qy e xPl (x)cos x Pn(x)sin x的特解形式應用歐拉公式可得e xPl(x)cos x Pn(x)sin xe xPl(x)ei x e i x2Pn(x)ei x e i x2i12Pl (x) iPn(x)e( i )x 21Pl(x) iPn(x)e( i )xP(x)e( i )x P(x)e( i )x其中 P(x) 12(Pl Pni) P(x) 12(Pl Pni) 而 m max l n 設方程 y py qy P(x)e( i )x 的特解為 y1* xkQm(x)e( i )x 則 y1* xkQm(x)e( i )必是方程 y py qy

17、 P(x)e( i ) 的特解 其中 k 按 i 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或 1于是方程 y py qy e xPl(x)cos x Pn(x)sin x 的特解為y* xkQm(x)e( i )x xkQm(x)e( i )xxke xQm(x)(cos x isin x) Qm(x)(cos x isin x)xk e xR(1)m(x)cos x R(2)m(x)sin x綜上所述 我們有如下結論如果 f(x) e x Pl(x)cos x Pn(x)sin x 則二階常系數非齊次線性微分方程y py qy f(x)的特解可設為y* xke xR(1)m(x)cos x

18、R(2)m(x)sin x其中 R(1)m(x)、 R(2)m(x)是 m 次多項式 m max l n 而 k 按 i (或 i )不是特征方程的根或是 特征方程的單根依次取 0 或 1例 3 求微分方程 y y xcos2x 的一個特解解 所給方程是二階常系數非齊次線性微分方程且 f(x)屬于 e xPl(x)cos x Pn(x)sin x型 (其中 0 2 Pl(x) x Pn(x) 0) 與所給方程對應的齊次方程為y y 0它的特征方程為r2 1 0由于這里 i 2i 不是特征方程的根 所以應設特解為y* (ax b)cos2x (cx d )sin2x把它代入所給方程 得( 3ax 3b 4c)cos2x (3cx 3d 4a)sin2x xcos2x比較兩端同類項的系數 得 a 13 b 0 c 0 d 4939于是求得一個特解為 y* 1 xcos2x