飲酒與駕車的關系(04年國家數(shù)學建模一等獎)

1、飲酒與駕車的關系本文2004年獲得國家數(shù)學建模一等獎，并且在工程數(shù)學核心期刊發(fā)表。摘要針對酒后駕車問題，本文從實際情況出發(fā)并結合題設作出了合理的假設，并考慮了影響體液中酒精含量變化的因素吸收過程和代謝過程的同時進行，建立了一般微分方程模型。進而考慮到飲酒的快慢的不同，于是在一般模型的基礎上又得出了兩個具體的模型。接下來用常數(shù)變易法對各個模型進行求解，而且由題得知題中所給的數(shù)據(jù)符合具體模型，于是我們用最小二乘法并借助于matlab軟件，對模型所得的體液中酒精濃度關于時間的表達式進行擬合，得到了模型中吸收能力系數(shù)和代謝能力系數(shù)的值分別為2.0261和0.1842，到此時我們得到了可以用來解答題中問

2、題的模型的解。于是我們就根據(jù)已知條件分別判斷各問題符合的模型，再逐步地采用mathematica軟件來一一解答了各個問題。解答問題1時，得到下午6點的體液中酒精的含量為18.8198毫克/百毫升，小于國家標準規(guī)定的20毫克/百毫升，而凌晨2點的為20.3968毫克/百毫升，大于國家標準規(guī)定的20毫克/百毫升，如此通過定量的分析合理的解釋了大李遇到的情況；在問題2中我們得到兩種情況下分別在飲酒后11.6341小時、12.7169小時內駕車就會違反國家新標準，而通過對題中數(shù)據(jù)的分析比較可知此結果是很符合實際的；問題3中采用了作圖的方法并結合了高等數(shù)學中關于求駐點及求極值的相關知識，在問題2的前提條

3、件下結合兩種不同的情況來說明如何估計體液中酒精含量達到最大時的時間，如：在問題2中對兩種飲酒方式求得分別在飲酒后1.35067小時和2.62436小時時體液中酒精含量達到最大值：124.638毫克/百毫升和116.682毫克/百毫升；對于第四個小問題，先根據(jù)模型求解出酒精被吸收的百分比，再由求無窮等比數(shù)列的極限得出體內酒精濃度的極限值，進一步算出每天酒精涉入量的極限安全值為8399.7毫克,相當于0.387瓶啤酒所含的酒精量。本文的最大特色在于運用合理的假設建立了一個針對酒后駕車問題的一般的微分方程模型，然后用常數(shù)變易法求出了其通解，這使得我們一開始就站在一個很高的理論高度，在這個理論的指導下

4、，各種具體問題都變得非常容易求解，這就極大的簡化了計算。此外，我們還對一般的模型進行了誤差和靈敏度分析，利用微分方程的穩(wěn)定性理論嚴格的證明了微分方程對初值與非齊次項都是漸進穩(wěn)定的，這表明我們的模型是完全可行的。一、問題的提出據(jù)報載，2003年全國道路交通事故死亡人數(shù)為10.4372萬，其中因飲酒駕車造成的占有相當?shù)谋壤ａ槍@種嚴重的道路交通情況，國家量監(jiān)督檢驗檢疫局2004年5月31日發(fā)布了新的車輛駕駛人員血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗國家標準。新標準規(guī)定，車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升為飲酒駕車（原標準是小于100毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或

5、等于80毫克百毫升為醉酒駕車（原標準是大于或等于100毫克百毫升）。大李在中午12點喝了一瓶啤酒，下午6點檢查時符合新的駕車標準，緊接著他在吃晚飯時又喝了一瓶啤酒，為了保險起見他呆到凌晨2點才駕車回家，又一次遭遇檢查時卻被定為飲酒駕車，這讓他既懊惱又困惑，為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結果會不一樣呢？請你參考下面給出的數(shù)據(jù)（或自己收集資料）建立飲酒后血液中酒精含量的數(shù)學模型，并討論以下問題：1. 對大李碰到的情況做出解釋；2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多長時間內駕車就會違反上述標準，在以下情況下回答：1） 酒是在很短時間內喝的；2） 酒是在較長一段時間（比如2小時）內喝的。3. 怎樣估計

6、血液中的酒精含量在什么時間最高。4. 根據(jù)你的模型論證：如果天天飲酒，是否還能開車？ 5. 根據(jù)你做的模型并結合新的國家標準寫一篇短文，給想喝一點酒的司機如何駕車提出忠告。參考數(shù)據(jù)1. 人的體液占人的體重的65%至70%，其中血液只占體重的7%左右；而藥物（包括酒精）在血液中的含量與在體液中的含量大體是一樣的。2. 體重約70kg的某人在短時間內喝下2瓶啤酒后，隔一定時間測量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到數(shù)據(jù)見附錄。二、問題假設為了更簡便的解決問題，我們在研究這個問題的過程中作出以下假設：1. 假設整體過程中人沒有攝入任何影響代謝的藥類物質和作劇烈性運動。2. 人的吸收速率和代謝速率是

7、恒定的。3. 血液與體液中酒精的濃度相同。4. 酒精代謝速率與當前血液中酒精濃度成正比。5. 人體體液對酒精吸收速率與當前腸胃中酒精含量成正比。6. 人體自身產(chǎn)生的酒精忽略不計。7. 忽略不同人對酒精代謝能力的差異。三、符號說明變 量含 義單 位備 注吸收能力系數(shù)1/小時代謝能力系數(shù)1/小時開始飲酒時人體體液中的酒精濃度毫克/百毫升人喝下酒精的總量毫克一瓶啤酒中酒精的量約為21700毫克5人體液所占的體積百毫升約為420百毫升4時間小時較長時間飲酒時的持續(xù)時間小時酒精由腸胃進入人體體液的速率毫克/小時酒精由口進入腸胃的速率毫克/小時t時刻體液中酒精的量毫克時刻腸胃中酒精的量毫克在t時刻人體體液

8、（或血液）中的酒精濃度毫克/百毫升四、問題分析及模型的建立1問題分析依常識，我們知道酒精無需經(jīng)過消化系統(tǒng)即可被腸胃直接吸收，進入血管，在幾分鐘后迅速擴散到人體全身，且參與代謝，即吸收過程和代謝過程是同時進行的。由此我們可以知道血液中酒精濃度同時受吸收和代謝影響。而由假設和題目的條件可知，體液中酒精濃度和血液中的酒精濃度是一樣的，所以我們只考慮體液中酒精濃度的變化。接下來我們將分別對吸收過程和代謝過程作分析和討論：（1）吸收過程在此過程中我們考慮的是腸胃吸收酒精進入體液所引起的酒精量的增量，其中用代表時刻酒精由腸胃進入人體體液的速率（單位：毫克/小時），則時間段內體液中酒精量的增量可表示為：。再

9、以表示人喝下酒精的總量，以剛開始飲酒的時刻為記時的初始時刻，即=0，由于喝下的酒精在時間無窮長時總會被全部吸收，故有：（2）代謝過程在此過程中我們考慮的是機體代謝排出體液中酒精所引起的量的變化，這里我們認為酒精的代謝的速率與當前體液中含有的酒精量成正比關系，設比例系數(shù)為b，以表示t時刻體液中酒精的量，則時間段內體液中酒精量的減少量可表示為：。結合以上兩個過程，依據(jù)量守恒定律，在時間段內有：體液中酒精量的變化量 = 吸收進入體液的酒精量 - 代謝了的酒精的量即得方程：兩邊同除后讓取極限得微分方程：根據(jù)體液中酒精的量與體液中酒精濃度間的關系，在上式兩邊同時除以得酒精濃度滿足的微分方程：2模型建立根

10、據(jù)以上分析，我們可以得出血液中酒精濃度關于時間變化的一般模型：一般模型： 由題中可知，酒可以在很短時間內喝完，也可以在一段較長的時間內喝完，這樣將有兩個不同的吸收速率，即可以得到兩個不同的表達式，于是可以得到兩個具體模型。第一個模型是考慮短時飲酒效應，第二個模型考慮的是長時飲酒效應。具體模型的建立：由于考慮的是短時的飲酒效應，可以認為人飲入的酒量在最初時間就全部存在于機體的腸胃中，以表示時刻腸胃中酒精的量，即有,從生物機體對酒精吸收的規(guī)律，可以知道腸胃中酒精的減少速率與剩余量成正比，設比例系數(shù)為，由此有微分方程：而又很容易想到酒精進入人體體液的速率與腸胃中酒精的減少速率是一個相當過程，這樣便可

11、以得到：再結合一般模型，我們可以得出如下模型具體模型： 具體模型的建立：在這里研究的是長時飲酒效應，可近似認為在持續(xù)飲酒的過程中酒精是勻速進入腸胃的，參照模型可有，在此我們引入函數(shù)來表示酒精進入腸胃的速率（單位：毫克/小時），表示飲酒時的持續(xù)總時間，則酒精進入腸胃的速率與整個過程中喝入的酒精量有如下關系： 而腸胃里的酒精量的變化與機體對酒精的吸收和喝入機體的酒精量都有關系，而機體對酒精的吸收速率可以與模型一樣用來表示，則時間段內有：腸胃里的酒精量的變化量 = 喝入機體的酒精量 - 機體對酒精的吸收量即得：兩邊同除后讓取極限得：而與模型一樣有： 再結合一般模型我們可以得到模型如下：具體模型： 五

12、、模型求解 對于本題的模型求解，我們分以下幾個步驟進行： step1:對一般模型進行求解。 step2:根據(jù)step1求得的結果分別對具體模型和具體模型進行求解，得到兩個模型的解的表達式。 step3:根據(jù)已有數(shù)據(jù)應用最小二乘法對具體模型進行數(shù)據(jù)擬合，分別獲得參數(shù)與的值。從而得出具體模型和具體模型的解的具體表達式。 step4:利用step3的結果分別對題中的每一問進行解答。 1一般模型的求解 觀察一般模型，這是一個一階線性常系數(shù)非齊次微分方程，其特征方程為：，故其特征根為：，于是此微分方程對應的齊次方程有通解：為任意常數(shù) 運用常數(shù)變易法，令代入原方程，得： （k為任意常數(shù)） 于是得原方程通解

13、： 由初始條件得：，故特解為：2具體模型的求解由及得：，又，于是有如下結論：（此時也是滿足的。）將其代入一般模型的特解中并化簡得：3具體模型的求解根據(jù)題設，我們取 。由及可得：又，可得：將其代入特解中并化簡得：4參數(shù)估計及具體解根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)以及所給的條件可知所給數(shù)據(jù)符合依據(jù)具體模型求得的酒精濃度關于時間變化的表達式，這里我們通過資料搜集得到信息人體中含有體液的總體積約為420百毫升4，由于常識我們很容易的知道了一瓶啤酒含有的酒精量為21700毫克。接下來我們運用最小二乘法結合matlab軟件擬合出、的值分別為：于是具體模型的解為：圖像為：（其中點為題中已知的數(shù)據(jù)點，曲線為擬合的曲線。）具體

14、模型的解為：圖像為：5問題1的解答在此問題中，大李是在下午6點時接受檢查的， 首先考慮到他喝啤酒的時間很短，則我們將此處理為具體模型的情景。在求解過程中我們以喝啤酒時刻為計算的初始時刻，而根據(jù)假設5，可以知道，又，把數(shù)據(jù)代入具體模型的解中求出第一次他在喝一瓶后6小時的血液中酒精濃度為：（毫克/百毫升）小于20毫克/百毫升,即通過檢查。7小時后血液中酒濃度為15.654毫克/百毫升。此時再喝下一瓶啤酒，我們以此刻為初始時刻，初始濃度為15.654毫克/百毫升，即：（毫克/百毫升）將此代入模型的解，依然借用mathematica軟件得出凌晨2點時血液中酒精濃度為：（毫克/百毫升）大于20毫克/百毫

15、升，即未通過檢查。6問題2的解答1）從題可知此小題的情況符合模型，且由題可知：將此代入模型的具體解，并計算出的臨界值，也就是當時的值?？山馊缦路匠蹋簯胢athematica軟件解得（小時）即短時間喝完3瓶啤酒后11.3641小時內駕車出行就會違反標準。2）從題可知此小題的情況符合模型，且由題可知：將此代入模型的解，并計算出的臨界值，也就是當時的值。這里我們同樣假設t=2，由圖像觀察可知人體內酒精濃度的降低在大于2的區(qū)域，于是可解如下方程：應用mathematica軟件解得：（小時）即用2小時喝完3瓶啤酒的方式，在開始飲酒后12.7169小時內駕車出行就會違反標準。7問題3的解答我們首先假設只

16、喝3瓶啤酒，用作圖的方式發(fā)現(xiàn)無論啤酒是在短時間內喝的還是在較長一段時間內喝的，在時只存在一個極值點并且當不斷增大時曲線逐漸趨近于軸。于是我們可以用求的駐點的方法來求的最大值點即酒精含量最高的點。在模型中，我們運用mathematica軟件求解方程得：（小時）此時最大濃度（毫克/百毫升）。我們在模型的圖像中發(fā)現(xiàn)最大值出現(xiàn)在的區(qū)域內，我們運用mathematica軟件求解方程，得（小時）此時最大濃度（毫克/百毫升）。8問題4的解答在本問中我們假設每天喝進啤酒的量是，每天只喝一次，是短時間進酒，兩次間隔24小時。一般地講，如果天天飲酒，他們都喜歡短時間飲酒，因此采用模型的結果：將的值代入上式得到當?shù)?/p>

17、一天血液中酒的濃度為時24小時之后血液中還有未被代謝。進而第二天血液中酒的濃度為：第三天血液中酒的濃度為：第n天血液中酒的濃度為：當時血液中酒的濃度為：若司機還能開車，就要使，即，又，進而計算出毫克。因為一瓶啤酒中酒精的量約為21700毫克，由此計算出每天最多可喝0.387瓶。六、誤差與靈敏度分析首先，根據(jù)微分方程解的存在唯一性定理可知，只要在上連續(xù)，則對于任意實數(shù)及，方程在上存在唯一解滿足初始條件。其次，由于用微分方程描述的實際問題，其特解密切依賴于初始值和非齊次項，如本文中開始飲酒時人體體液中的酒精濃度和人飲酒的速率的快慢的度量，而初始值往往不能準確得到，于是我們必須考慮其會不會很嚴重的影

18、響微分方程的解。這就是我們要考慮的方程的穩(wěn)定性問題，實際上我們有下面的兩個定理： 定理1：微分方程的解對于初值是漸進穩(wěn)定的。證明：上述微分方程的解為，給初值一個微小的擾動，即，則解為：于是，。由于，故 ，取，有 。（證畢）定理1表明方程的解對初值并不敏感，因此我們不考慮人體內的酒精含量0.003%是完全可行的。定理2：微分方程的解對于非齊次項是漸進穩(wěn)定的。證明：上述微分方程的解為考慮不同的非齊次項和，且，有 ，則：因此只要取， 那么，有。（證畢）由定理2可知非齊次項對解的影響不大，即可以知道由一般模型推得具體模型和具體模型是可行的。七、短文酒是人們常用的飲品，從古至今它都與人們的生活息息相關。

19、酒文化是古文化，也是現(xiàn)代文化，其歷史悠久，在人類文明乃發(fā)展中起了一定的作用。飲酒不但能夠驅寒，而且有節(jié)制的、有規(guī)律的喝少量的酒可加速機體代謝，對機體有益；但是飲酒過量可引起中毒，并引發(fā)多種疾病。而對于駕駛人員，這又要另當別論。據(jù)報載03年全國交通事故死亡率中由飲酒駕車造成的占有相當?shù)谋壤?。那么，為了避免不發(fā)生事故，駕駛人員就不能飲酒嗎？其實不然，04年頒布的關于飲酒駕車的新標準中規(guī)定駕駛人員體液中含有的酒精量大于20毫克/百毫升才算為飲酒駕車。所以只要駕駛人員控制好飲酒的時間和喝的量，就可以享受酒帶來的樂趣。我們考慮機體對酒精的吸收和代謝的過程得到了體液中酒精含量關于時間變化的大致情況，可以幫

20、助駕駛人員解決此問題?，F(xiàn)給出以下建議：（1） 如果是經(jīng)常要出車的駕駛人員，飲酒的頻率應該要小，每次的量也不應該太多。而且在喝完酒的短時間內不要出車。（2） 如果并不是經(jīng)常出車，這樣的駕駛人員要注意在出車前的一段較長時間內不要飲酒，至少是不要喝太多的酒。而考慮到酒對機體的作用，飲酒頻率不要過多，飲酒量也不要過大。愛好飲酒的駕駛朋友們，不要為了一時的樂趣而放開自己的職責，請結合自己的出車時間和頻率，好好的安排自己飲酒的時間和飲酒的量，讓自己喝得安心，在出車過程中很容易的就能符合新的駕車標準。八、模型的評價與推廣評價：對于我們所建立的酒精血液濃度模型，能夠很好的為司機提供建議。我們在一般模型的基礎上

21、根據(jù)飲酒所持續(xù)的時間對問題進行分別考慮，酒精進入腸胃的速率隨著飲酒所持續(xù)的時間會取不同的值，建立了兩個具體模型，提高了針對性。在模型的情況下對于類似大李這種咋一看似乎難以理解的現(xiàn)象能很好的做出解釋，消除疑問。但我們所建立的模型也有一些不足之處，例如在對體液的體積進行假設時,為了使計算出的數(shù)據(jù)更符合題所給的數(shù)據(jù),取了一定的主觀值,比如說我們特定的取人體體液的體積為420百毫升，導致在精確度方面稍有欠缺。推廣：此模型主要解決的問題在數(shù)學上可歸結為解一個微分方程的問題。我們在進行理論計算和分析時，要對其條件進行適當?shù)娜∩?，得出較為合理的答案。在實際中我們經(jīng)常遇到與此問題類似的一些問題，模型不止是對研究酒精的血液濃度適用，對一些藥物在體內的吸收、分布與排除的動態(tài)過程，及這些過程與藥理反應間的定量關系也能有較合理的解釋。在此模型中，假設人的新陳代謝速度是恒定的，可以加以推廣考慮到涉入影響代謝的藥類物質和作劇烈性運動而引起的新陳代謝的變化，也就可能得出更優(yōu)的模型。利用此模型解決問題時，只要設整體過程中新陳代謝的速度是恒定的,在大致了解其它因素，參照我們所建立的模型就可以得出大致的優(yōu)化結論。九、參考文獻1 費培之，數(shù)學模型實用教程，成都，四川大學出版社，1998年。129頁2 張志讓等，數(shù)學實驗，科學出版社，1999年。88頁。3 云舟工作室，m