數(shù)值分析實驗

1、實驗四數(shù)值積分與數(shù)值微分專業(yè)班級：信II 131班 姓劃：段雨博 學(xué)號：2013014907一、實驗?zāi)康?、熟悉mat lab編程。2、學(xué)習(xí)數(shù)值積分程序設(shè)計算法。3、通過上機(jī)進(jìn)一步領(lǐng)悟用復(fù)合梯形、復(fù)合辛普森公式，以及用龍貝格求積方法計算積分的 原理。二、實驗題目P1371、用不同數(shù)值方法計算積分= 扌。（1）取不同的步長分別用復(fù)合梯形及復(fù)合辛普森求積訃算積分，給出誤差中關(guān)于的函 數(shù)，并與積分精確值比較兩個公式的精度，是否存在一個最小的力，使得精度不能再被改善？（2）用龍貝格求積計算完成問題（1）。三、實驗原理與理論基礎(chǔ)1. 1復(fù)合梯形公式及其復(fù)合辛普森求解hhZTn =） +） = - /（）

2、 + 2藝d + /（b）厶 A:-0上 LJt-l_誤差關(guān)于h的函數(shù)： W）爭心（）h/1-1】復(fù)合辛普森公式：=- /（） + 4藝/（忑+”2）+ 2藝/（兀J + /（b）。L（）】誤差關(guān)于h的函數(shù)：Rn（f） = I-Sn =1.2龍貝格求積算法：龍貝格求積公式是梯形法的遞推化，也稱為逐次分半加速法，它是在梯形公式、辛普森公式 和柯特斯公式之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上，構(gòu)造岀一種計算積分的方法，同時它有在不斷增加計算 量的前提下提高誤差的精度的特點。計算過程如下：（1）取 k = O、h = b u 求：磔）=%） + 他.令kTl（k記為區(qū)間問的二分次數(shù)）.2（2）求梯形值耳（#即按遞推公式

3、石”二壬人+彳苫于作+J計算呼.（3）求加速值，按公式打：）=-4TX 一一叮黒逐個求出T表的地k行其余各4 -14-1元素T嚴(yán)（j = 、2，,k）若附）圾糾v 0（預(yù)先給泄的精度），則終止計算，并取7；;否則令仏+ 1） 轉(zhuǎn)（2）繼續(xù)計算。kh磔）空）砂）洋）簾）0b-a磔）1b-a2(0)2b-a47； i -4巧（。）3b-a8當(dāng)）147； 1 2可0)1b-a167上表指出了計算過程，第二列h = H給出了子區(qū)間長度，i表示第i步外推。2k可以證明，如果/(X)充分光滑，那么T表每一列的元素及對角線元素均收斂到所求的積分I 0四、實驗內(nèi)容程序設(shè)計如下： 復(fù)合梯形法H文件：functi

4、on t=natrapz(fname, a, b, n)h=(b-a)/n;fa=feval (fname,a);fb=feval(fname, b);f=feval(fname, a+h:h:bh+0 001*h);t=h*(0. 5*(fa+fb)+sum(f); 復(fù)合辛普森法H文件：function t=natrapz(fname, a, b, n)h=(b-a)/n;fa=feval(fname, a);fb=feval(fname. b);fl=feval(fname, a+h:h:b-h0 001*h);f2=feval(fname, a+h/2:h:bh+0. 001*h);t=

5、h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2); 龍貝格算法M文件：function I, step=Roberg(f, a, b, eps)if(nargin=3)eps=1. 0e-4;end;M=l;tol=10; 1 4爐147； 1 Zk=0;T=zeros (1,1);h=b-a;T(l, 1) = (h/2) * (subs (sym (f), findsym(sym(f), a) +subs(sym(f), findsym(sym(f), b); while tolepsk=k+l;h=h/2;Q=0;for i=l:Mx=a+h*(2*i-l);Q=Q+subs

6、(sTm(f), findsym(sym(f), x);endT(k+1, l)=T(k, l)/2+h*Q;M=2*M;for j=l:kT(k+1, j+l)=T(k+l, j) + (T(k+l, j)-T(k, j)/(4j-l);endtol=abs(T(k+1, j+1)-T(k, j);endI=T(k+l,k+l)；step=k;1、復(fù)合梯形法運行： format long;natrapz(inlinesqrt(x)*log(x)1), eps, 1, 10), format short; ans =-0.417062831779470 format long;natrapz(

7、inline(? sqrt(x)*log(x)1), epsF 1, 100), format short; ans =-0. 443117908008157 format long;natrapz(inline(* sqrt(x)*log(x)*), eps, 1, 1000), format short; ans =-0. 4443875389971622、復(fù)合辛普森法運行： format long;natrapzz(iniine(? sqrt(x)*log (x)?),eps,1,10),format short; ans =-0. 435297890074689 format long

8、;natrapzz(iniine(f sqrt(x)*log(x)?), eps, 1, 100)f format short; ans =-0. 444161178415673 format long;natrapzz(iniine(J sqrt(x)*log (x)?), epsF1, 1000),format short; ans =-0. 4444341176141803、龍貝格算法運行：q, s=Roberg(，sqrt (x)*log(x), 0. 0000001, 1)Q =-0.44449五、實驗結(jié)果1、復(fù)合梯形法結(jié)果： format long;natrapz(inline(*

9、 sqrt(x)*log(x)*), eps, 1, 10), format short;ans =-0. 417062831779470 format long;natrapz(inline(* sqrt(x)*1og(x), eps, 1, 100), format short;ans =-0. 443117908008157 format long;natrapz(inlinesqrt(x)*1og(x), eps, 1, 1000), format short;ans =-0. 4443875389971622、復(fù)合辛普森法結(jié)果： format long;natrapzz(iniine

10、(* sqrt(x)*log (x)?), eps,1, 10),format short;ans =-0. 435297890074689 format long;natrapzz(iniine(* sqrt(x)*log(x)J), eps, 1, 100), format short;ans =-0. 444161178415673 format long;natrapzz(iniine(* sqrt(x)*log(x)?), eps, 1, 1000)f format short;ans =-0. 4444341176141803、龍貝格算法結(jié)果：q, s=Roberg(，sqrt (

11、x)*log(x), 0. 0000001, 1)Q =-0. 4444s =9實驗結(jié)論：對比以上的汁算結(jié)果可得：復(fù)合辛普森法求積分精度明顯比復(fù)合梯形法求積的精 度要高，且當(dāng)步長取不同值時，即越大，越小時，枳分精度越髙。實驗結(jié)果說明不存在 一個最小的力，使得精度不能再被改變。由兩個相應(yīng)的關(guān)于力的誤差余項 尺”(/)= 一冒心()，心(/)-益(導(dǎo) 廠,其中w(a,b),可知力愈 小，余項愈小，積分精度越高。六、實驗結(jié)果分析與小結(jié)1、通過這次實習(xí)，加深了對復(fù)合梯形法、復(fù)合辛普森法和龍貝格法的理解，之前學(xué)習(xí)這三 個算法時覺得特別麻煩，公式那么長，而且不是很理解。這次實習(xí)對三種算法的編程，對三 種算法進(jìn)行詳細(xì)地分析，現(xiàn)在理解了算法的過程。在編寫函數(shù)程序的過程中也在不斷地提高 和改進(jìn)，有些雖然不是很熟，也不太淸楚到底怎么做，但是查閱了之后就懂了。2、在編寫程序，進(jìn)行算法設(shè)計還是會岀現(xiàn)很大問題，有程序運行不岀