高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例異面直線(xiàn)

1、1 1 1 1111 1 1 11115 異面直線(xiàn)教材分析異面直線(xiàn)是立體幾何中十分重要的概念研究空間點(diǎn)、直線(xiàn)和平面之間的各種位置關(guān)系必須從異面直 線(xiàn)開(kāi)始教材首先通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生弄懂“共面”、“異面”的區(qū)別，正確理解“異面”的含義，進(jìn)而介紹異面直線(xiàn)所 成角及異面直線(xiàn)間的距離，這樣處理完全符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律處理好這節(jié)內(nèi)容，可以比較容易地引 導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)由平面直觀到空間想象的過(guò)渡教學(xué)重點(diǎn)是異面直線(xiàn)的概念，求異面直線(xiàn)所成的角和異面直線(xiàn)間的距離是這節(jié)的難點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)1. 理解異面直線(xiàn)的概念，了解空間中的直線(xiàn)的三種位置關(guān)系2. 理解異面直線(xiàn)所成的角、異面直線(xiàn)間的距離的意義，體會(huì)空間問(wèn)題平面化的基本數(shù)學(xué)思想方法

2、3. 通過(guò)異面直線(xiàn)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生逐步養(yǎng)成在空間考慮問(wèn)題的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力任務(wù)分析空間中的兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系，是在平面中兩條直線(xiàn)位置關(guān)系及平面的基本性質(zhì)基礎(chǔ)上提出來(lái)的學(xué) 生對(duì)此已有一定的感性認(rèn)識(shí)，但是此認(rèn)識(shí)是膚淺的同時(shí)，學(xué)生空間想象能力還較薄弱因此，這節(jié) 內(nèi)容課應(yīng)從簡(jiǎn)單、直觀的圖形開(kāi)始介紹“直觀”是這節(jié)內(nèi)容的宗旨多給學(xué)生思考的時(shí)間和空間，以 有助于空間想象能力的形成異面直線(xiàn)所成的角的意義及求法，充分體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想要讓學(xué) 生通過(guò)基本問(wèn)題的解決，進(jìn)一步體會(huì)異面直線(xiàn)所成的角、異面直線(xiàn)間的距離的意義及其基本求法 教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情境（）1. 同一平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)有幾種位置關(guān)系？空間中的

3、兩條直線(xiàn)呢？觀察教室內(nèi)的日光燈管所在直線(xiàn) 與黑板的左右兩側(cè)所在直線(xiàn)的位置或觀察天安門(mén)廣場(chǎng)上旗桿所在直線(xiàn)與長(zhǎng)安街所在直線(xiàn)的位置 2. 如圖 15-1，長(zhǎng)方體 abcda b c d 中，線(xiàn)段 a b 所在直線(xiàn)與線(xiàn)段 c c 所在直線(xiàn)的位置關(guān)系如何？ 二、建立模型（）1. 首先引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)例或幾何模型，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，空間兩直線(xiàn)除平行或相交外，還有一種位置關(guān)系： 存在兩條直線(xiàn)既不平行又不相交，即不能共面的兩直線(xiàn)，并在此基礎(chǔ)上總結(jié)出異面直線(xiàn)的定義 2. 在學(xué)生討論歸納異面直線(xiàn)定義的基礎(chǔ)上，教師概括：我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)叫 作異面直線(xiàn)強(qiáng)調(diào)：（1）所謂異面，即不共面，所以它們既不平行，也不相

4、交（2）“不共面”，指不在任何一個(gè)平面內(nèi)，關(guān)鍵是“任何”二字3. 先讓學(xué)生總結(jié)空間中兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系，然后教師明晰（1） 共面與異面共面分為平行和相交（2） 有無(wú)公共點(diǎn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)相交直線(xiàn)，無(wú)公共點(diǎn) _ 平行直線(xiàn)和異面 直線(xiàn)4. 異面直線(xiàn)的畫(huà)法先讓學(xué)生體會(huì)下列圖形，并讓其指出哪些更為直觀顯然，圖 15-2 或圖 15-3 較好因此，當(dāng)表示異面直線(xiàn)時(shí)，以平面襯托可以顯示得更清楚三、問(wèn)題情境（2）刻畫(huà)兩條平行直線(xiàn)位置通常用距離，兩條相交直線(xiàn)通常用角度，那么，如何刻畫(huà)兩條異面直線(xiàn)的相對(duì) 位置呢？容易想象要用角和距離，如何定義異面直線(xiàn)的角和距離呢？下面探究一個(gè)具體的問(wèn)題： 如圖，在正方體 ab

5、cda b c d 中，1. 我們知道 ab 與 a b 是共面的，它們成的角是 45，那么異面直線(xiàn) ab 與 d c 所成的角定義為多少 度的角比較合理呢？1111112. 回憶我們已學(xué)過(guò)的“距離”概念，發(fā)現(xiàn)“距離”具有“最小性”，現(xiàn)在直線(xiàn) ab 和 d c 上各取一點(diǎn)，這兩 點(diǎn)必然存在距離，試問(wèn)在這所有可能的距離中，是否存在兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)間距離最短？進(jìn)一步思考：如何定義異面直線(xiàn) ab 和 d c 間的距離？四、建立模型（2）在學(xué)生充分討論、探究的基礎(chǔ)上，抽象概括出異面直線(xiàn)所成的角和異面直線(xiàn)間的距離的概念 1. 異面直線(xiàn) a 與 b 所成的角已知兩條異面直線(xiàn) a，b經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn) o，作直線(xiàn)

6、aa，bb，我們把 a與 b所成的銳角（或直 角），叫作異面直線(xiàn) a 與 b 所成的角強(qiáng)調(diào)：（1）“空間角”是通過(guò)“平面角”來(lái)定義的（2） “空間角”的大小，與空間點(diǎn) o 的選取無(wú)關(guān)，依據(jù)是“等角定理”為簡(jiǎn)便，點(diǎn) o 常取在兩條異面 直線(xiàn)中的一條上（3） 異面直線(xiàn)所成角的范圍是 090（4） 異面直線(xiàn)垂直的意義今后所說(shuō)的兩直線(xiàn)垂直，可能是相交直線(xiàn)，也可能是異面直線(xiàn) 2. 對(duì)于問(wèn)題 2，學(xué)生討論，可以發(fā)現(xiàn)：線(xiàn)段bc 是在異面直線(xiàn) ab 和 d c 上各任取一點(diǎn)，且兩點(diǎn)間的 距離為異面直線(xiàn) ab 和 d c 間的最小值此時(shí)，我們就說(shuō) bc 的長(zhǎng)度就是 ab 和 d c 的距離 引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析線(xiàn)

7、段 bc 與 ab，d c 之間的關(guān)系，得出公垂線(xiàn)段定義：和兩條異面直線(xiàn)都垂直 且相交的線(xiàn)段強(qiáng)調(diào)：（1）“垂直”與“相交”同時(shí)成立（2）公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度定義為異面直線(xiàn)間的距離五、解釋?xiě)?yīng)用例 題1. 如圖，點(diǎn) d 是abc 所在平面外一點(diǎn)，求證直線(xiàn) ab 與直線(xiàn) cd 是異面直線(xiàn)注：主要考查異面直線(xiàn)的定義，這里可考慮用反證法證明要讓學(xué)生體會(huì)用反證法的緣由 2. 已知：如圖，已知正方體 abcdabcd（1） 哪些棱所在直線(xiàn)與直線(xiàn) ba是異面直線(xiàn)？（2） 直線(xiàn) ba和 cc的夾角是多少？（3） 哪些棱所在直線(xiàn)與直線(xiàn) aa垂直？（4） 直線(xiàn) bb與 dc 間距離是多少？注：主要是理解、鞏固有關(guān)異面直線(xiàn)

8、的一些基本概念解題格式 要規(guī)范，合理練 習(xí)1. 如果兩條平行直線(xiàn)中的一條與某一條直線(xiàn)垂直，那么，另一條直線(xiàn)是否也與這條直線(xiàn)垂直？2. 垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)是否平行？3. 與兩條異面直線(xiàn)都相交的兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系是怎樣的？4. 已知：如圖，在長(zhǎng)方體 abcdabcd中，ab2，ad2，aa2（1） bc 和 ac所成角是多少度？（2） aa和 bc所成角是多少度？（3） aa和 bc 所成的角和距離是多少？（4） ab 與 bc 所成的角是多少？（5） ac與 bd 所成的角是多少？四、拓展延伸1. 判斷異面直線(xiàn)除了定義之外，還有如下依據(jù)：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線(xiàn)與平面內(nèi)不過(guò)該 點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)請(qǐng)給以證明2. 設(shè)點(diǎn) p 是直線(xiàn) l 外的一定點(diǎn)，過(guò) p 與 l 成 30角的異面直線(xiàn)有 _ 條（無(wú)數(shù)）3. 已知異面直線(xiàn) a 與 b 成 50角，p 為空間任一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn) p 且與 a，b 所成的角都是 30的直線(xiàn)有 _ 條（2）若 a 與 b 所成的角是 60，65和 70呢？點(diǎn)評(píng)這篇案例設(shè)計(jì)思路完整，條理清晰案例首