極限的求法及技巧.

1、本科畢業(yè)論文（設(shè)計）題目極限的求法及技巧The Method and Techniques of the Limit山東財經(jīng)大學學士學位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明 所呈交的學位論文，是本人在導師的指導下進行研究工作 所取得的成果.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個人或集體 已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體， 均已 在論文中作了明確的說明并表示了謝意本聲明的法律結(jié)果由本人承擔.學位論文作者簽名 年月日山東財經(jīng)大學關(guān)于論文使用授權(quán)的說明本人完全了解山東財經(jīng)大學有關(guān)保留、使用學士學位論文的規(guī)定，即學校有權(quán)保留、送交論文的復印件，允許論文被查閱，學校可以公布

2、論文的全部或部分內(nèi)容，可以采用影印或其他復制手段保存論文 .指導教師簽名 論文作者簽名 年月日年月日極限的求法摘要求數(shù)列和函數(shù)的極限是數(shù)學分析的基本運算，而對極限的求法也是多種多樣.本文首先闡述了數(shù)列極限以及函數(shù)極限的定義，然后著重歸納分析了求解極限的各種方法，包括四則運算求極限法則、利用函數(shù)連續(xù)性求極限、利用兩個重要極限求極限是求極限的基本 方法，夾逼定理和單調(diào)有界定理是重要的定理，而洛必達法則求極限、利用泰勒公式求極限方法等是針對某些特殊函數(shù)或數(shù)列的求極限方法，以及一些常用的求極限方法，總共歸納了十三種求極限的主要方法，并針對每種方法作了詳盡闡述，配以例題，對各種求極限 方法及技巧進行了歸

3、納總結(jié)，從而幫助我們掌握極限的求法關(guān)鍵詞 極限；泰勒公式；函數(shù)連續(xù)性；夾逼定理；洛必達法則；The Method and Techniques of the LimitABSTRACTFor the sequence and the limit of a function is a mathematical analysis of basic operation ， Ultimate solution to a wide range. First described has series limit and function limit of defines, then focuses on

4、antibody analysis has solution limit of several method, arithmetic begged limit rule, and uses function continuity begged limit, and uses two important defines begged limit is begged limit of basic method, clip forced theorem and monotone has defined acting is important of theorem, and L hospital ru

5、le begged limit, and uses Taylor formula begged limit method, is for some special function or series of begged limit method, and some com mon of begged limit method, An tibody in a total of 12 primary approaches to the limit.Keywords : Limit ； Taylor formula ； function continuity ； both sides clip l

6、aw ； L hospital rule目錄一、弓I言 1二、極限的定義 1（一）數(shù)列極限的定義 1（二）函數(shù)極限的定義 21. 當X，時f（x）的極限定義 22. 當X廠：時f （X）的極限定義 23. 當X X。時f（x）的極限定義 24當X-； X。時f （X）的極限定義 2三、 極限的求法 3（一）四則運算求極限法則 3（二）利用函數(shù)連續(xù)性求極限 4（三）復合函數(shù)求極限法則 5（四）利用兩個極限準則求極限 51利用夾逼定理求極限 52 利用單調(diào)有界準則求極限 6（五）利用兩個重要極限求極限 71當極限含有三角函數(shù)時 72 極限中含有幕指函數(shù)時 7（六）利用洛必達法則求極限 71 .型未

7、定式 702.型未定式 83 其他未定式形式極限 9（七）利用等價無窮小因子替換求極限 9（八）利用無窮小量的性質(zhì)求極限 10（九）利用導數(shù)的定義求極限 10（十）利用定積分的定義求極限 11（十一）利用泰勒公式求極限 12（十二）利用函數(shù)極限求數(shù)列極限 14（十三）利用拉格朗日中值定理求極限 14參考文獻16、引言極限是學習數(shù)學分析的過程中最基本的概念之一，極限是指變量在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩(wěn)定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的極限值極限的概念最終是由柯西和維爾斯特拉斯等人嚴格闡述的而在現(xiàn)代的數(shù)學分析中，幾乎所有的基本概念都是建立在極限概念的基礎(chǔ)之上的， 例如連續(xù)、微分、積分.極限的

8、求法是研究函數(shù)的一種基本的方法，學好極限在學習數(shù)學分析的過程中具有重要意義 本文首先闡述了極限的定義，分別敘述了數(shù)列極限的定義以及函數(shù)極限的定義，然后著重分析歸納 了求極限的方法，主要有四則運算求極限法則、復合函數(shù)求極限法則、利用兩個極限準則求極限、 利用兩個重要極限求極限、利用洛必達法則求極限、利用等價無窮小因子替換求極限、利用無窮小 量的性質(zhì)求極限、利用導數(shù)的定義求極限、利用定積分的定義求極限、利用泰勒公式求極限、利用 函數(shù)的連續(xù)性求極限、利用拉格朗日中值定理求極限十二種方法求極限，在做求解極限的題目時， 必須要透徹清晰的明白以上方法所需的條件，同時細心分析，選擇出適當?shù)姆椒ǎ岣咦鲱}的準

9、確 率.在求極限的過程中，會經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一道題可以運用多種方法求解，我們從中可以得到的其實是每 種方法之間都有一定的聯(lián)系，特殊題型也有特殊方法求解，同時也可以利用變量替換，化簡等方法 轉(zhuǎn)變成另一種方法求解.我們在解題時，四則運算求極限、函數(shù)連續(xù)性求極限是最基本的方法，洛必 達法則求極限、等價無窮小因子替換、兩個重要極限求極限是常用的方法，但是等價無窮小因子替換定理只能應用在乘除因式中，不能在和差中替換，而洛必達法則求未定式的極限只能在求-型和0型未定式時使用，其他形式的未定式求解需要轉(zhuǎn)化成為求0型和一型未定式的形式，這都是我r0:們需要注意的.求極限必須在極限存在的基礎(chǔ)下進行，根據(jù)不同的形式選擇不

10、同的方法，合理利用各種計算方法，或者可以進行適當?shù)慕Y(jié)合，以期能夠準確、簡單、快捷地求出答案、極限的定義（一）數(shù)列極限的定義定義1.1 設(shè)：an 為數(shù)列，a為定數(shù).若對任給的正數(shù)；，總存在正整數(shù) N，使得當nN時有an - a y，則稱數(shù)列 訂收斂于a,定數(shù)a稱為數(shù)列 曲的極限，并記作nim an二a 或 an； a(n；:=)讀作當n趨于無窮大時， a的極限等于a或an趨于a ”(二) 函數(shù)極限的定義1. 當Xr : T時f(X)的極限定義定義1.2 設(shè)f為定義在a, ：)上的函數(shù)，A為定數(shù).若對任給的；.0,存在正數(shù) M(_a), 使得當x . M時有f(x)A ：；，則稱函數(shù)f當x趨于：時

11、以A為極限，記作xm f(X)= a 或 f(x)t a(xt +=c).2. 當x時f(x)的極限定義定義1.3 設(shè)f為定義在(-：,-a) 一 a, ：)上的函數(shù)，A為定數(shù).若對任給的； 0 ,存在正 數(shù)M (_ a)，使得當x - M時有f (x)-A ,則稱函數(shù)f當x趨于：時以A為極限，記作lim f (x)二 A 或 f (x)r A(x：).3當X冷時f (x)的極限定義定義1.4 設(shè)函數(shù)f在點x0的某個空心鄰域 U：(x;J)內(nèi)有定義，A為定數(shù)若對任給的；0 , 存在正數(shù)(&)，使得當0v|x-X0 6時有f(x)-A，則稱函數(shù)f當x趨于x0時以A為極限，記作lim f(x)=A

12、 或 f(x) A(xr x0).X)4.當X-; X0時f X的極限定義定義1.5 設(shè)函數(shù)f在UXo；、；)內(nèi)有定義，A為定數(shù).若對任給的；.0 ,存在正數(shù)、：C：J),使得當Xo -、. ：: XX0時有f (x) A OC=Au lim f (x A且 lim f(x)=AX燈x汽一吧f (x) =心對任何數(shù)列Xn, xn Xo且3加=1,2)，有22lim f xn 二 A.X L :三、極限的求法(一)四則運算求極限法則利用四則運算求極限法則是最基本、最直接的方法，但需要注意的是各個函數(shù)的極限必須存在且分母的極限不能為零.在無法直接使用四則運算法則求極限的情況下，需要先化簡變形，之后

13、再利用四則運算求極限法則.定理2.1 (四則運算法則)設(shè)lim f X二A，limg x = B，則lima f(x) g(x) =Xma f (x)迥 g(x)= a blim 3xa g(x)lim f (x)x jalim g(x)X舊 f (x) 士g(x)=匹 f(xptlimag(xB1 求 lim x 1x 1 2x _x_1X2 -1lim= lim (x 心)=limx 1 2x -x-1 x 1 (x _1)(2x1) x 1x 12x 1lim( x 1)1 1 _ 2lim(2 x 1)2 13若 lim f x 二 A， lim g(x)不存在，則 limx_ax )

14、ax af x ) g x( 不存在也不為0 ； A = o ,則lim f X)g X) Xima g(x)均不存在.(二)利用函數(shù)連續(xù)性求極限定義2.1設(shè)函數(shù)f在某U(xo)內(nèi)有定義若xm f(X)二仏)x Jx0則稱f在點xo連續(xù).為引入函數(shù)y = f(x)在點怡連續(xù)的另一種表述，記x= x-x0.稱為自變量x (在點怡)的增量或改變量.設(shè)y0二f (x0)，相應的函數(shù)y (在點x0)的增量記為y = f (x) - f (xo fX：x) - f %) = y-y注自變量的增量或函數(shù)的增量可以是正數(shù)，也可以是0或負數(shù).引進了增量的概念后，易見“函數(shù)y = f (x)在點x0連續(xù)”等價于

15、lim y = 0結(jié)論 若函數(shù)f在x0點連續(xù)，則函數(shù)f在X。點有極限，且極限值等于函數(shù)值f(X。).推廣定理 設(shè)復合函數(shù)y = f(x) 1是由函數(shù)y = f(u)， u =(x)復合形成的，并且lim(x)二a,lim f (u)二 f (a)，X)a則y = f （：:（x）在x=x0點處的極限存在且lim f (x) = flim (x) = f (a) jxox )x)Xa 1 求limX 0 x解 令 ax -1 = y，則 x = loga (V y)，當 x； 0 , y 0時，于是有l(wèi)im x_ox= limy 0 loga(1 y)= lim loga(1 y)01 =s1g

16、(1 + y)y1 = 1-；logae logalJm0(1 +y)y（三）復合函數(shù)求極限法則定義2.2對于一些結(jié)構(gòu)較為復雜、變元較多的數(shù)學問題，引入一些新的變量進行代換，以簡化其結(jié)構(gòu)，從而達到解決問題的目的，這種方法叫做變量代換法常用的變量代換主要有局部代換、整體代換、三角代換、分式代換、對稱代換、增量代換等”兀X例 3 求 lim(1 - x) tan -解先做變量替換，令t =1 -X，則X =1 -t，且Xr 1時，有tr 0所以lim(1 -x)ta nx=lim t tan2 t o二一 =limt2t )o. tt 2lim=limt=o恵 t t=o二tan 22（四）利用兩

17、個極限準則求極限1 利用夾逼定理求極限定理22 (夾逼定理) 設(shè)有三個數(shù)列Xn?、 yn?、zj，若存在自然數(shù)N，當n N時,恒有yn乞Xn乞Zn且 lim yn = lim zn = a，貝y lim xn = a .n廠n 廠nj:12n例 3 求 lim ( 22)nn n 1 n n 2 n n n解因為12nn2 n nn2 n 1 n2 n 2n2 n 1又因為limnjc二 lim 2 2n 廠 n n 11 +2 +3 + nlimn所以用夾逼定理得nim(n2 n 1n2 n 2n2利用夾逼定理求極限時， 應注意做適當?shù)姆糯蠡蚩s小，且放大和縮小后所得兩個數(shù)列 (或函數(shù))的極限

18、相同.2.利用單調(diào)有界準則求極限定理2.3單調(diào)有界數(shù)列必有極限結(jié)論單調(diào)遞增數(shù)列有上界必有極限；單調(diào)遞減有下界數(shù)列必有極限例4設(shè)數(shù)列xn滿足0 ： % :二，xn厲=sinxn(n =1,2,3)，證明lim Xn存在，并求出lim Xn.解 因為 0 ：為：二，則 0 ： x2 二 si玄1 ：二.假設(shè) 0 cxn 兀，由 Xn =sinXn，可推得 0 cxn = sinx.蘭 1 s,(n = 1,2,3 )，則此數(shù)列有界xsin x又亠 = x0f(X)- f(X。)X X存在，則稱函數(shù)f在點X0處可導，并稱該極限為函數(shù)f在點X0處的導數(shù)，記作令x二x x0，丁y二f （瓦 ax） -

19、f （x0），則上式可寫成Ay . f (Xo + 心X) f (Xo) J、 limlimf (x)x ：0. lx - x Px所以，導數(shù)是函數(shù)增量：y與自變量增量決之比y的極限Z例13設(shè)f x在a可導，求極限xm0f（a x）xf（ax）解f (a x) - f (a -x) =lim f (a x) - f(a) f(a) - f (a -x) =iimxJ0xf (a x) - f (a) f (a) - f (a - x)xllmx 0f (a x) - f (a)xf(a -x) - f 門-xf(a) f(a) =2f(a)（十）利用定積分的定義求極限定義2.4設(shè)f是定義在a,

20、b上的一個函數(shù)對于a,b的一個分割T 乂亠心，任取點i .：i,i =1,2,3,n,并作和式并稱和式為函數(shù) f在上a, b的一個積分和，也稱黎曼和.定義2.5 設(shè)f是定義在a,b上的一個函數(shù)，J是一個確定的實數(shù).若對任給的正數(shù)，總存在某一個正數(shù)：，使得對a,b的任何分割T，以及在其上任意選取的點集 i，只要T ，就有則稱函數(shù)f在區(qū)間a,b上可積或黎曼可積； 數(shù)J稱為f在a,b上的定積分或黎曼積分，記作bJ = i f x dx*a其中，下限和上限f稱為被積函數(shù)，X稱為積分變量，a,b稱為積分區(qū)間，a, b分別稱為這個定積分的注 我們常用極限符號來表達定積分，即把它寫成nbJf( i) Xi

21、= a f(x)dx1例 14 求 lim(-4n 2n解4n +1 4n +24n 2n1+4 Zn2 1所以，原式= 0dx二ln(4 x)*32nTc 4n+1 4n+2（十一）利用泰勒公式求極限在處理某些特殊函數(shù)的極限時，用其他方法會受到一定的限制或計算過于繁瑣，這是考慮用泰 勒展開式或邁克勞林公式來求解定理2.7若函數(shù)f在點x0存在n階導數(shù)，則有f(X)工 f(Xo) f (Xo)(X -Xo)f (Xo)2!(x-X0)2 f 字(X-X)no(x -X)n).n!注用的較多的是泰勒公式在 x0 = 0時的特殊形式f (x)二 f(0) f(0) f-(0)x2 2!f(0)xn

22、o(xn) n!它也稱為（帶有佩業(yè)諾余項）邁克勞林公式常用的邁克勞林公式n僉。（門2(1) ex =1 x Z2!2mX2m、+ o(x )35(2)sinx=x扌;3)mm-1)!(3)24x x cos X = 1 - 一一 2!4!2m -1)mb-o(x2m1)2623n(4)ln (1 x)=x_x x(-1)no(xn)2!3!n!(5)1) 2(1 x)T j hx亠 o(xn) n!1(6)1 X X2 亠 亠 xn o(xn)1 -x例15求極限limcos x ex4解本題可用洛必達法則求解，但是較繁瑣考慮到極限式的分母為 xx2 _2，我們用邁克勞林公式表示極限式的分子（

23、取n=4）2用-替換公式（1）中的x，便得2x2e2224丄22 2!x2n2nn!-o(x2n)24ww則cosx=1o(x4)224cosx 一 e12o(x4)因而求得42cosx -e 2-X o(x4) =x叫（十二）利用函數(shù)極限求數(shù)列極限若lim f (x) = A，則對于-Xn ,有l(wèi)im f(Xn) = A .由這一結(jié)論，可以得到求數(shù)列極限 X 廠：n j:Hm yn的如下方法 若數(shù)列1*1可以看成某函數(shù)在數(shù)列：Xn?上的值，即yn二f (Xn)(n = 1,2,3), T :且 xn； ： ；：,若 lim f (x)二 A，則nx r：:lim yn = lim f (xn) = lim f (x) = A.nnx j-：:特別的，若 lim f (x)二 A， yn = f