相似形與相似三角形專(zhuān)題復(fù)習(xí)精編題目

1、第一節(jié)：相似形與相似三角形基本概念：1相似形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形，我們稱(chēng)它們互為相似形。2相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形。1幾個(gè)重要概念與性質(zhì)(平行線分線段成比例定理)(1) 平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例已知 a / b / c,AB 可得BCDEf AB或EF ACDEBCEFDF ABBCDF AC(2 )推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.AD由DE / BC可得：DBAEBDECADEC ADEA ABAC 此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛，條件是平行(3)推論

2、的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊 線平行于三角形的第三邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例那么這條直此定理給出了一種證明兩直線平行方法，即：利用比例式證平行線(4)定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成 比例(5 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。a c 比例線段：四條線段 a, b, c, d中，如果a與b的比等于c與d的比，即一=，那么這四條b d線段a, b, c, d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段。2 比例的有關(guān)性質(zhì)a ca c比例的基本性質(zhì)：如果一=一，那么ad=bc。如果ad=bc (a,

3、b, c, d都不等于0),那么一=一。b db d合比性質(zhì)：如果ac，那么a 二 b c 二 dbdbd等比性質(zhì)：如果acm,(b+d+n豐0)，那么a c m a=bdnb d * n bb是線段a、d的比例中項(xiàng)，貝Ub2= ad.典例剖析例1: 在比例尺是1 : 38000的南京交通游覽圖上，玄武湖隧道長(zhǎng)約 7cm,則它的實(shí)際長(zhǎng)度約為 Km. 若旦=2則亡=.b 3 ba 2b 9 nrt2a -b 5 右=貝H a： b=.3 相似三角形的判定(1) 如果兩個(gè)三角形的兩角分別于另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。(2) 兩邊對(duì)應(yīng)成比例并且它們的夾角也相等的兩個(gè)三角形相似。

4、(3 )三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。補(bǔ)充：相似三角形的識(shí)別方法(1) 定義法：三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。(2) 平行線法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相 似。注意：適用此方法的基本圖形，(簡(jiǎn)記為A型，X型)(3) 三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。(4) 兩邊對(duì)應(yīng)成比例并且它們的夾角也相等的兩個(gè)三角形相似。(5) 兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。(6) 條直角邊和斜邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似。(7) 被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似。 【基礎(chǔ)練習(xí)】(1)如圖 1，當(dāng)時(shí)， ABC s ADE小結(jié)：以

5、上三 類(lèi)歸為基本 圖形：母子型 或A型(3) 如圖4, 如圖1，當(dāng)則厶所有的直角三角形都相似.O 所有的等邊三角形都相似. 所有的等腰直角三角形都相似.例2 :如圖， ABC中，AD是/ BAC的平分線，AD的垂直平分線交 AD于E,交BC的延長(zhǎng)線于F求證： ABF s CAF.例 3:如圖：在 Rt ABC 中， / ABC=90 , BD 丄 AC 于 D，若 AB=6 ;AD=2 ;貝H AC=; BD=; BC=;ABCAB / ED 時(shí)，例3:如圖：在 Rt ABC中， / ABC=90 , BD丄AC于D，若E是BC中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交 BA的延長(zhǎng)線于F,求證：AB : AC=DF

6、 : BF第二節(jié)：相似三角形的判定（一）相似三角形：定義1、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形. 溫馨提示： 當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)三角形的三個(gè)角與另一個(gè)（或幾個(gè)）三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,時(shí)，這兩個(gè)（或幾個(gè)）三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個(gè)條件，缺一不可； 相似三角形的特征：形狀一樣，但大小不一定相等； 對(duì)應(yīng)中線之比、對(duì)應(yīng)高之比、對(duì)應(yīng)角平線之比等于相似比。 兩個(gè)鈍角三角形是否相似，首先要滿足兩個(gè)鈍角相等的條件。2、相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比. 溫馨提示：且三條對(duì)應(yīng)邊的比相等 全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 所以全等三角形是相似三角形的特例其區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等

7、，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例. 相似比具有順序性.例如 ABC A B，的對(duì)應(yīng)邊的比，即相似比為心則厶A B ABC的相似比 1 ,當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r(shí)，才有k=k =1 相似比是一個(gè)重要概念，后繼學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個(gè)圖形放大或縮小的倍數(shù)， 這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出.3、如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.4、 相似三角形的預(yù)備定理：如果一條直線平行于三角形的一條邊，且這條直線與原三角形的兩條邊（或其 延長(zhǎng)線）分別相交，那么所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.溫馨提示： 定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號(hào)語(yǔ)言：/ DE / BC ,

8、 ABCADE ; 這個(gè)定理是用相似三角形定義推導(dǎo)出來(lái)的三角形相似的判定定理.它不但本身有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是證明下節(jié)相似三角形三個(gè)判定定理的基礎(chǔ)，故把它稱(chēng)為預(yù)備定理”； 有了預(yù)備定理后，在解題時(shí)不但要想到上一節(jié)見(jiàn)平行，想比例”，還要想到 見(jiàn)平行，想相似（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理（1）:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.判定定理（2）:兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似.判定定理（3）:三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似.溫馨提示： 有平行線時(shí)，用上節(jié)學(xué)習(xí)的預(yù)備定理； 已有一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等（包括隱含的公共角或?qū)斀牵r(shí)，可考慮利用判定定理 1或判定定理2； 已有兩邊對(duì)應(yīng)成比例

9、時(shí)，可考慮利用判定定理2或判定定理3.但是，在選擇利用判定定理2時(shí),一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等.例1如圖三角形 ABC中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作一條直線交 AB于D點(diǎn)，與AC的延長(zhǎng)線將 于 F 點(diǎn)，且 FD=3ED，求證：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.溫馨提示： 由于直角三角形有一個(gè)角為直角，因此，在判定兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，只需再找一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，用判定定理1，或兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，用判定定理2, 一般不用判定定理 3判定兩個(gè)直角三角形相似； 如圖是一個(gè)十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱(chēng)為 母子相似

10、三角形”，其應(yīng)用較為廣泛. 如圖，可簡(jiǎn)單記為：在 Rt ABC中，CD丄AB，則 ABC CBD ACD .a rb直角三角形的身射影定理：AC平行線型”相似三角形，基本圖形見(jiàn)上節(jié)圖.見(jiàn)平行，想相似”是解這類(lèi)題的基本思路； 相交線型”相似三角形，如上圖.其中各圖中都有一個(gè)公共角或?qū)斀?見(jiàn)一對(duì)等角，找另一對(duì)等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類(lèi)題的基本思路； 旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖.若圖中/1 = / 2，/ B= / D(或/ C= / E)，則 ADEABC，該圖可看成把第一個(gè)圖中的厶 ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的.=AD*ABcd2=ad*bdbc2=bd*ab總結(jié)：尋找相似三角形對(duì)應(yīng)

11、元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對(duì)應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問(wèn)題的一項(xiàng)基本功.通常有以下幾種方法：(1) 相似三角形有公共角或?qū)斀菚r(shí)，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對(duì)應(yīng)角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對(duì)應(yīng)角；相似三角形中，一對(duì)相等的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的夾邊是對(duì)應(yīng)邊；(2) 相似三角形中，一對(duì)最長(zhǎng)的邊(或最短的邊)一定是對(duì)應(yīng)邊；對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角；對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角.2、常見(jiàn)的相似三角形的基本圖形：學(xué)習(xí)三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似 三角形中來(lái)；對(duì)一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對(duì)相似三角

12、形的判定思路要善于總結(jié)， 形成一整套完整的判定方法.如：第三節(jié) 相似三角形中的輔助線、作平行線例1.如圖,ABC的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn) D和E,且使AD = AE , DE延長(zhǎng)線與BC延長(zhǎng)線相交于F,求證:BF BDCF CE例2.如圖， ABC中，ABD點(diǎn)，CM的延圖5A分別交于點(diǎn)FMDEE = 2 : 3 ,A第四節(jié)相似三角形難題集CB時(shí)ND C ADP 與C、分類(lèi)討論：B例1如圖在正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1 , P是CD邊的中點(diǎn)，Q在線段BC上，當(dāng)BQ QCP相似？例2 如圖在梯形 ABCD中，AD / BC,Z A= 90, AB= 7, AD = 2 BC= 3.試在邊一佃 上確

13、定點(diǎn) P 的位置，使得以 P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以 P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似A二：相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：1如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , AC=3 , BC=4，過(guò)點(diǎn) B 作射線BB1 / AC .動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn) 時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn) D作DH丄AB于H,過(guò)點(diǎn)E作EF丄AC交射線BB1于F, G是EF中點(diǎn)，連接 點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1 )當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí) DE的長(zhǎng)度；(2 )當(dāng)厶DEG與厶ACB相似時(shí)，求t的值.圖2如圖，在 ABC中，/ ABC = 90 AB=6m

14、 , BC=8m，動(dòng)點(diǎn)P以2m/s的速度從 A點(diǎn)出發(fā)，沿 AC向點(diǎn)C移動(dòng).同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) Q以1m/s的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng).當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng).設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1) 當(dāng)t=2.5s時(shí)，求 CPQ的面積；求 CPQ的面積S (平方米)關(guān)于時(shí)間t (秒)的函數(shù)解析式；(2) 在P, Q移動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng) CPQ為等腰三角形時(shí)，求出 t的值.匹13如圖 1，在 Rt ABC 中，/ ACB = 90 AC = 6, BC = 8,點(diǎn) D 在邊AB上例1 如圖5在AABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，DF丄AB于F,交AC 的延長(zhǎng)線于 H，交BE于G,求證：

15、(1)FG / FA = FB / FH運(yùn)動(dòng)，DE平分CDB交邊BC于點(diǎn)E, EM丄BD，垂足為 M , EN丄CD，垂足為 N .(1 )當(dāng) AD = CD 時(shí)，求證：DE / AC ;(2)探究：AD為何值時(shí)， BME與厶CNE相似?4如圖所示，在 ABC 中，BA = BC = 20cm , AC = 30cm，點(diǎn) P 從 A 點(diǎn) 出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)， 沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之 停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 x.(1 )當(dāng)x為何值時(shí)，PQ/ BC ?(2) APQ與厶CQB能否相似？若能，求出 AP的長(zhǎng)；若不能

16、說(shuō)明理由.5如圖，在矩形 ABCD中，AB=12cm , BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng);點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng).如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t (s)表示移動(dòng)的時(shí)間(0 v tv 6 )。(1 )當(dāng)t為何值時(shí)， QAP為等腰直角三角形？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn) Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與 ABC 三、構(gòu)造相似輔助線一一雙垂直模型6. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2, 1),正比例函數(shù) 的圖象與線段OA的夾角是45求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式.y=kx7. 在 ABC中，AB=, AC=4 , BC=2，以AB為邊在 C點(diǎn)的異側(cè)作

17、 ABD，使 ABD為等腰直角三角形，求線段 CD的長(zhǎng).8. 在 ABC 中，AC=BC，/ ACB=90，點(diǎn) M 是 AC 上的一點(diǎn)，點(diǎn) N 是 上的一點(diǎn)，沿著直線MN折疊，使得點(diǎn)C恰好落在邊AB上的P點(diǎn)求MC : NC=AP : PB.9. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形 在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,ABCO 的邊OA在x軸上，邊 OC3),將矩形沿對(duì)角線 AC翻折B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E.那么D點(diǎn)的坐標(biāo)為2 13、3 12、()10.已知，如圖，直線 使得矩形的兩邊之比為y= - 2x + 2與坐標(biāo)軸交于1 : 2。A、B兩點(diǎn)以AB為短邊在第一象限做一個(gè)矩形ABCD ,求C、D

18、兩點(diǎn)的坐標(biāo)。四、構(gòu)造相似輔助線一一 A X字型11. 如圖： ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC , BC邊上的中線 AE交CD于F。 AB_CF_12. 四邊形ABCD中，AC為AB、AD的比例中項(xiàng)，且 AC平分/ DAB。BE _ BC求證：_113. 在梯形 ABCD中，AB / CD, AB = b, CD = a, E為AD邊上的任意一EF / AB ,且EF交BC于點(diǎn)F,某同學(xué)在研究這一問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí):絲1當(dāng)丄 時(shí),fl+4當(dāng)一二 時(shí)，EF=匚 ;絲3當(dāng) 時(shí),EF=.當(dāng)時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明.14.已知：如圖，在 ABC中，

19、M是AC的中點(diǎn)，E、F是BC上的兩點(diǎn)，且BE = EF= FC。求 BN : NQ : QM .15.證明：(1)重心定理：三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線長(zhǎng)2的二.(注：重心是三角形三條中線的交點(diǎn))(2 )角平分線定理:MN上任意17. 已知：如圖，梯形 ABCD中，AB/DC，對(duì)角線 EF/AB 分別交 AD、BC 于 E、F。11 I+ 二-求證：_】-_-.18. 如圖，在 ABC中，已知 CD為邊AB上的高,1 1 1AC、BD交于0,過(guò)正方形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在 ABC上。個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例.五、相似類(lèi)定值問(wèn)題16.如圖，在等邊

20、 ABC中，M、N分別是邊 AB , AC的中點(diǎn), 一點(diǎn)，BD、CD的延長(zhǎng)線分別交 AC、AB于點(diǎn)E、1 + 1 _3_求證:二二-二.證：直線過(guò)點(diǎn)P分19. 已知，在 ABC中作內(nèi)接菱形CDEF，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a.求JAC lca.六：相似之共線線段的比例問(wèn)題20. ( 1)如圖1,點(diǎn)廠在平行四邊形 ABCD的對(duì)角線BD上,別交BA , BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q, S,交丄 =于點(diǎn)二r 求證：-；-匚(2)如圖2，圖3，當(dāng)點(diǎn)在平行四邊形 ABCD的對(duì)角線或親 的延上時(shí)，匚-一-二- -是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立,明理由(要求僅以圖 2為例進(jìn)行證明或說(shuō)明)；J 121.已知：如圖，

21、 ABC中，上一點(diǎn)，過(guò)C作CF II AB ,延長(zhǎng)BP交AC于E,交CF于F 求 證：BF2= PE- PF 22. 如圖，已知ΔABC 中，AD , BF分別為BC , AC邊 過(guò)D作AB的垂線交 AB于E,交BF于G,交AC延長(zhǎng)線于23. 已知如圖，P為平行四邊形 的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn) E、F、PE PH七、相似之等積式類(lèi)型綜合24.已知如圖，CD是Rt ABC CA 于 F。求證：長(zhǎng)線試說(shuō)AB = AC , AD 是中線，P是 ADABCD的對(duì)角線 AC上一點(diǎn)，過(guò) P的直線與 AD、BC、CD G、H.斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)25如圖，在Rt ABC中，CD是斜邊