最詳細(xì)的立方和公式

1、立方和公式aA3+bA3=(a+b) (aA2-ab+bA2)立方差公式aA3-bA3=(a-b) (aA2+ab+bA2 )-3項(xiàng)立方和公式aA3+bA3+cA3-3abc=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac)推導(dǎo)過(guò)程：aA3+bA3+cA3-3abc=(aA3+3aA2 b+3abA2+bA3+cA3 ) - (3abc+3aA2 b+3abA2 )=(a+b)A3+cA3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(aA2+bA2+2ab-ac-bc+cA2 ) -3ab(a+b+c)=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2+2ab-3ab-ac-bc)=(a+b+c)(

2、aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac)文字表達(dá)立方和，差公式兩數(shù)和(差)，乘它們的平方和與它們的積的差(和)，等于這兩個(gè)數(shù)的立方和(差)-3項(xiàng)立方和公式三數(shù)之和，乘它們的平方和與它們兩兩的積的差，等于這三個(gè)數(shù)的立方和減三數(shù)之積的三倍5 / 5公式證明1.迭代法:我們知道:0次方和的求和公式工 NA0=N 即 1人0+2人0+.+nA0=n1次方和的求和公式工 2仁N(N+1 ) /2 即 1A1+2A1+.+nA仁n(n +1) /2工 NA2=N(N+1 ) ( 2N+1 ) /6 即 1人2+2人2+ +n人2=n(n+1/6 平方和公式，此公式可由同種方法得出，取公式(x+1)人3處

3、3=3乂人2+3乂+1得。2次方和的求和公式)(2n+1 )，迭代即取公式：(X+1 )人4咲人4=4 X XA3+6X XA2+4X X+1系數(shù)可由楊輝三角形來(lái)確定那么就得出:(N+1 ) A4- NA4=4NA3+6NA2+4N+1NA4-(N-1 ) A4=4(N-1 ) A3+6(N-1 ) A2+4(N-1 ) +1(N-1 ) A4-(N-2 ) A4=4(N-2 ) A3+6(N-2 ) A2+4(N-2 ) +12人4-1人4=4 X 1A3+6 X 1A2+4 X 1 + 1 (n)于是+(n)有左邊=(N+1 ) A4-1右邊=4 (1人3+2人3+3人3+NA3 (1+2

4、+3+N)+N所以呢把以上這已經(jīng)證得的三個(gè)公式代入)+6(1人2+2人2+3人2+NA2 ) +44 (1人3+2人3+3人3+NA3 ) +6 (1人2+2人2+3人2+NA2 ) +4(1+2+3+N)+N=(N+1) A4-1得 4( 1A3+2A3+3A3+NA3)+N(N+1 ) (2N+1 )+2N(N+1 ) +N=NA4+4NA3+6NA2+4N移項(xiàng)后得 1人3+2人3+3人3+NA3=1/4(NA4+4NA3+6NA2+4N-N-2NA2-2N-2NA3-3NA2-N)等號(hào)右側(cè)合并同類(lèi)項(xiàng)后得1人3+2人3+3人3+NA3=1/4 (24+223+22)即1人3+2人3+3人3

5、+ +NA3= 1/4 N(N+1)人2大功告成！立方和公式推導(dǎo)完畢1A3+ 2A3+3A3+ +NA3= 1/4 N(N+1)人22.因式分解思想證明如下：aA3+bA3=aA3+aA2 x匕+匕人3七人2 xb=aA2(a+b)-b(aA2-bA2) =aA2(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b)aA2-b(a-b)=(a+b)(aA2-ab+bA2)公式延伸正整數(shù)范圍中 1A3 + 2A3 +門(mén)人3 = n(n+1 )/ 2人2=(1+2+n )人2幾何驗(yàn)證I 川I透過(guò)繪立體的圖像，也可驗(yàn)證立方和。根據(jù)右圖，設(shè)兩個(gè)立方，總 和為：xA3+yA3把兩個(gè)立方體對(duì)角貼在一起，根據(jù)虛線，

6、可間接得到：(x+y)A3要得到xA3+ yA3，可使用(x + yF3的空白位置。該空白位置可分割為3個(gè)部分：xXyX (x+y)xx (x+y ) Xy-(x+y) X Xy把三個(gè)部分加在一起，便得：=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)=3xy(x+y)之后，把(x + y)A3減去它，便得：=(x+y)A3-3xy(x+y )公式發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)項(xiàng)皆有一個(gè)公 因子，把它抽出，并得：=(x+y)(x+y)A2-3xy(x + y)A2可透過(guò)和平方公式，得到：=(x + y)(x A2+ 2 xy + yA2-3xy)=(x + y)(x A2- xy + 屮2)這樣便可證明：xA3+

7、yA3=( x + y)(xA2 - xy + 屮2 )關(guān)于因數(shù)一般而言，任取一自然數(shù) N，他的因數(shù)有1, n1,n2,n3 , ,nk,N，這些因數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)分別為 1, m1,m2,m3 , , mk,k+2，貝U1A3+m1A3+m2A3+m3A3+mkA3+(k+2)人3=(1+m1+m2+m3+mk+k+2)人2我們發(fā)現(xiàn)，上述規(guī)律對(duì)素?cái)?shù)p是永遠(yuǎn)成立的，因?yàn)樗財(cái)?shù) p的因數(shù)只有1和p，因數(shù)的個(gè)數(shù)只有1和2,所以成立。合數(shù)的驗(yàn)證方法可以從因數(shù)個(gè)數(shù)出發(fā)證明，有中學(xué)水平的人可以自己證明。比如120 ,有因數(shù)1 , 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 , 20, 24 , 30, 40, 60, 120 ;它們的因數(shù)個(gè)數(shù)1, 2, 2, 3, 2, 4, 4, 4, 6, 4, 6, 8, 8, 8, 12, 1