統(tǒng)編人教A版數(shù)學(xué)高中必修第一冊(cè)《2.2 基本不等式》優(yōu)秀教案教學(xué)設(shè)計(jì)

1、2.2 基本不等式教材分析：“基本不等式” 是必修 1 的重點(diǎn)內(nèi)容，它是在系統(tǒng)學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對(duì)不等式的進(jìn)一步研究，同時(shí)也是為了以后學(xué)習(xí)選修教材中關(guān)于不等式及其證明方法等內(nèi)容作鋪墊，起著承上啟下的作用 .利用基本不等式求最值在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用廣泛. 同時(shí)本節(jié)知識(shí)又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好 的思維品質(zhì).教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】1.學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等 號(hào)“”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；2.掌握基本不等式 ab 單的實(shí)際問(wèn)題【過(guò)程與方法】a +b2；會(huì)應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)

2、的最值；能夠解決一些簡(jiǎn)通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式；【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 ab 【教學(xué)難點(diǎn)】a +b2的證明過(guò)程；1.基本不等式 ab a +b2等號(hào)成立條件；2.利用基本不等式ab a +b2求最大值、最小值.教學(xué)過(guò)程1.課題導(dǎo)入前面我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式：一般地， ，有a2+b22ab，2當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立特別地，如果a0，b0，我們用當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.,分別代替上式中的a，b，可得通常稱不等式（1）為基本不等式（basic

3、 inequality）.其中，叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).思考: 上面通過(guò)考察 a2+b2=2ab 的特殊情形獲得了基本不等式，能否直接利用不等式的性質(zhì) 推導(dǎo)出基本不等式呢？下面我們來(lái)分析一下.2.講授新課1）類比弦圖幾何圖形的面積關(guān)系認(rèn)識(shí)基本不等式 ab a +b2特別的，如果 a0,b0,我們用分別代替 a、b ，可得a +b 2 ab，通常我們把上式寫作： ab a +b2(a0,b0)2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式 ab 用分析法證明：a +b2要證a +b2 ab（1）只要證要證（2），只要證

4、a+b （2）a+b- 0 （3）要證（3），只要證 （ - ）20 （4） 顯然，（4）是成立的.當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)，（4）中的等號(hào)成立.探究 1： 在右圖中，ab 是圓的直徑，點(diǎn) c 是 ab 上的一點(diǎn)，ac=a,bc=b.過(guò)點(diǎn) c 作垂直于ab 的弦 de，連接 ad、bd.你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式ab a +b2的幾何解釋嗎？易證 ad db，那么d ab0 0000即 dab.這個(gè)圓的半徑為a +b a +b，顯然，它大于或等于 cd，即 ab 2 2，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)c 與圓心重合，即 ab 時(shí)，等號(hào)成立.因此：基本不等式 ab a +b2幾何意義是“半徑不小于半弦”評(píng)述：1

5、.如果把a(bǔ) +b2看作是正數(shù) a、b 的等差中項(xiàng)，ab看作是正數(shù) a、b 的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).2. 在數(shù)學(xué)中，我們稱a +b2為 a、b 的算術(shù)平均數(shù)，稱 ab 為 a、b 的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】老師引導(dǎo)，學(xué)生自主探究得到結(jié)論并證明，鍛煉了學(xué)生的自主研究能力和研究 問(wèn)題的邏輯分析能力.例1 已知x0，求x 的最小值.分析：求x 的最小值，就是要求一個(gè)y （=x ），使 x0，都有x y.觀察x+ ，發(fā)現(xiàn)x =1.聯(lián)系基本不等式，可以利用正數(shù)x和 的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)

6、系得到y(tǒng) =2.解：因?yàn)閤0，所以x當(dāng)且僅當(dāng)x= ，即x2=1，x=1時(shí)，等號(hào)成立，因此所求的最小值為2.=2在本題的解答中，我們不僅明確了x0，有 x 2，而且給出了 “ 當(dāng)且僅當(dāng)x=，即=1，x=1時(shí)，等號(hào)成立 ”，這是為了說(shuō)明2是x （x0）的一個(gè)取值，想一想，當(dāng)y 0）的最小值嗎？例2 已知x，y都是正數(shù)，求證：（1）如果積xy等于定值p，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值 ；（2）如果和x+y等于定值s，那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值 證明：因?yàn)閤，y都是正數(shù)，所以.（1）當(dāng)積xy等于定值p時(shí)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，上式等號(hào)成立.于是，當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值 （2）當(dāng)和x+y等

7、于定值s時(shí)，.,所以，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，上式等號(hào)成立.于是，當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值例3 （1）用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆 最短？最短籬笆的長(zhǎng)度是多少？（2）用一段長(zhǎng)為 36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，菜園的面積 最大？最大面積是多少？分析：（1）矩形菜園的面積是矩形的兩鄰邊之積，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之積為定 值，邊長(zhǎng)多大時(shí)周長(zhǎng)最短.（2）矩形菜園的周長(zhǎng)是矩形兩鄰邊之和的2倍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之和 為定值，邊長(zhǎng)多大時(shí)面積最大.解：設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長(zhǎng)分別為xm，ym，籬笆的長(zhǎng)度為2（x+y）m.（1

8、）由已知得xy=100.由，可得x+y2=20，所以2（x+y）40，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=10時(shí)，上式等號(hào)成立因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長(zhǎng)為10m的正方形時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆的長(zhǎng)度為40m. （2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜園的面積為xy m2.由，可得xy81，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時(shí)，上式等號(hào)成立.因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長(zhǎng)為9m的正方形時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是81m2.例4 某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池，其容積為 4800m2，深為3m.如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，那么怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？分析：貯水池呈長(zhǎng)方體形

9、，它的高是3m，池底的邊長(zhǎng)沒有確定.如果池底的邊長(zhǎng)確定了，那么水池的總造價(jià)也就確定了.因此，應(yīng)當(dāng)考察池底的邊長(zhǎng)取什么值時(shí)，水池的總造價(jià)最低.解：設(shè)貯水池池底的相鄰兩條邊的邊長(zhǎng)分別為xm，ym，水池的總造價(jià)為2元.根據(jù)題意，有2 2z=150=240000+720（x+y）.+120（23x+23y）由容積為4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600.所以z240000+7202，當(dāng)x=y=40時(shí)，上式等號(hào)成立，此時(shí)z=297600.所以，將貯水池的池底設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為 40m 的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是 297600 元. 【設(shè)計(jì)意圖】例題講解，學(xué)以致用.3.隨堂練習(xí)1.已知

10、a、b、c 都是正數(shù)，求證：（ab）（bc）（ca）abc分析：對(duì)于此類題目，選擇定理：a +b2 ab（a 0，b 0）靈活變形，可求得結(jié)果.解：a，b，c 都是正數(shù)0ab20bc20ca2（ab）（bc）（ca）2 即（ab）（bc）（ca）abc.【設(shè)計(jì)意圖】講練結(jié)合，熟悉新知. 4.課時(shí)小結(jié)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式 a2 2 abcb 2ab；兩正數(shù) a、b 的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（ ）及它們的關(guān)系（ ）.它們成立的條件不同，前者只要求 a、b 都是實(shí)數(shù)，而后者要求 a、b 都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用).我們還可以用它們下面的等價(jià)變形來(lái)解決問(wèn)題：ab ，ab（ ）2.我們用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系順利解決了函數(shù)