10.5真空中的安培環(huán)路定理

1、1 10-5 真空中的安培環(huán)路定理真空中的安培環(huán)路定理 2 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)0 l dE 靜磁場(chǎng)靜磁場(chǎng) ? l dB I rl B 10-5 真空中的安培環(huán)路定理真空中的安培環(huán)路定理 10.5.1、安培環(huán)路定理、安培環(huán)路定理 真空中真空中, 安培環(huán)路定理的數(shù)學(xué)表示式：安培環(huán)路定理的數(shù)學(xué)表示式： l o IdlB 內(nèi) 這個(gè)定理的表述為：這個(gè)定理的表述為：在真空中，磁感應(yīng)強(qiáng)度在真空中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿任沿任 何閉合路徑的線積分何閉合路徑的線積分(亦稱亦稱B的環(huán)流的環(huán)流)等于該閉合路徑所等于該閉合路徑所 包圍的電流的代數(shù)和與真空中的磁導(dǎo)率包圍的電流的代數(shù)和與真空中的磁導(dǎo)率 o的乘積。的乘積。 1.包圍的電

2、流指包圍的電流指穿過(guò)以穿過(guò)以閉合閉合環(huán)路環(huán)路為為邊界邊界的的任意曲面任意曲面 的電流的電流。（。（電流與電流與閉合閉合環(huán)路環(huán)路相套連相套連） 有旋場(chǎng)有旋場(chǎng) 無(wú)旋場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng) 3 i IldB 0 即：彎曲四指與即：彎曲四指與閉合路徑閉合路徑l的的方向一致時(shí)方向一致時(shí), 拇指的指向拇指的指向 即為電流的正方向。即為電流的正方向。 2.電流的正負(fù)電流的正負(fù):當(dāng)當(dāng)閉合路徑的閉合路徑的方向方向與與電流方向電流方向呈呈右手螺右手螺 旋旋關(guān)系時(shí)，關(guān)系時(shí)，電流電流I 為正為正;反之反之,為負(fù)。為負(fù)。 ) 21 II III o )2( o l dlB ( o l dlB l I1 I2 I3 l I I 4 I

3、 I B dl r I 2 0 1）、如圖所示）、如圖所示圓形圓形積分回路；積分回路； Il dB 0 無(wú)限無(wú)限 長(zhǎng)直電流的磁場(chǎng)長(zhǎng)直電流的磁場(chǎng) ldB 情形情形1、環(huán)路包圍電流在內(nèi)環(huán)路包圍電流在內(nèi) 證明證明 rdl lBdcos dl r I 2 0 r r I 2 2 0 i i L IldB 0 5 2 22 00 I d I L 2） 包圍電流的任意形狀的積分回路包圍電流的任意形狀的積分回路 dl r I cos 2 0 rd r I 2 0 IldB 0 . I r d B l d ldB dlcosB r 6 a d c b I e 情形情形2. 環(huán)路不包圍電流在內(nèi)環(huán)路不包圍電流在內(nèi)

4、 bdaacbacbda l dBl dBl dB aebbdabeaacb l dBl dBl dBl dB 0)( 00 IIl dBl dB bdaebacbea beabeabdaacb l dBl dBl dBl dB 當(dāng)環(huán)路不包圍電流在內(nèi)時(shí)：當(dāng)環(huán)路不包圍電流在內(nèi)時(shí)：0 ldB 7 說(shuō)明：說(shuō)明： )( 3200 IIIldB i 環(huán)路上的磁感應(yīng)強(qiáng)度環(huán)路上的磁感應(yīng)強(qiáng)度 由環(huán)路內(nèi)外電流產(chǎn)生由環(huán)路內(nèi)外電流產(chǎn)生 環(huán)路所包圍的電流環(huán)路所包圍的電流 由環(huán)路由環(huán)路所包圍的所包圍的電流決定電流決定 I 2 I 3 l 4 I 1 I 8 說(shuō)說(shuō) 明明 )( 3200 IIIldB i ? ? 改改 變

5、變 不不 變變 位置移動(dòng)位置移動(dòng) p I 2 I 3 l 4 I 1 I 9 安培安培 (1775-1836) 安培(Andr Marie Amp 17751836年)，法國(guó) 物理學(xué)家，對(duì)數(shù)學(xué)和化學(xué)也有貢獻(xiàn)。1775年1月22 日生于里昂一個(gè)富商家庭. 年少時(shí)就顯出數(shù)學(xué)才能。 他的父親信奉JJ盧梭的教育思想，供給他大量圖書，令 其走自學(xué)的道路，于是他博覽群書，吸取營(yíng)養(yǎng)；盧梭關(guān)于植 物學(xué)的著作燃起了他對(duì)科學(xué)的熱情。 安培還是發(fā)展測(cè)電技術(shù)的第一人，他用自動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)的磁針 制成測(cè)量電流的儀器，以后經(jīng)過(guò)改進(jìn)稱電流計(jì)。 安培在他的一生中，只有很短的時(shí)期從事物理工作，可 是他卻能以獨(dú)特的、透徹的分析，論述帶電

6、導(dǎo)線的磁效應(yīng)， 因此我們稱他是電動(dòng)力學(xué)的先創(chuàng)者，他是當(dāng)之無(wú)愧的。 10 10.5.2、安培環(huán)路定理的應(yīng)用、安培環(huán)路定理的應(yīng)用 當(dāng)磁場(chǎng)分布具有高度當(dāng)磁場(chǎng)分布具有高度對(duì)稱性對(duì)稱性 時(shí)，可利用安培環(huán)路定理計(jì)時(shí)，可利用安培環(huán)路定理計(jì) 算算磁感應(yīng)強(qiáng)度。磁感應(yīng)強(qiáng)度。 安培環(huán)路定理的應(yīng)用步驟安培環(huán)路定理的應(yīng)用步驟 1、根據(jù)電流分布的對(duì)稱性，分析磁場(chǎng)分布的對(duì)稱性；、根據(jù)電流分布的對(duì)稱性，分析磁場(chǎng)分布的對(duì)稱性； 2、根據(jù)磁場(chǎng)分布（磁場(chǎng)線）的對(duì)稱性、根據(jù)磁場(chǎng)分布（磁場(chǎng)線）的對(duì)稱性,選取合適的回路選取合適的回路. 3、計(jì)算磁感沿該回路的線積分：、計(jì)算磁感沿該回路的線積分： l dB 4、計(jì)算該回路包圍的電流的代數(shù)和

7、：、計(jì)算該回路包圍的電流的代數(shù)和： i i IldB 0 i i I 5、求出磁感、求出磁感B 。 i i0 IdlcosB 11 I R 1. 無(wú)限長(zhǎng)載流圓柱導(dǎo)體無(wú)限長(zhǎng)載流圓柱導(dǎo)體 電流沿軸向，在截面上均勻分布電流沿軸向，在截面上均勻分布 分析對(duì)稱性分析對(duì)稱性 電流分布電流分布 軸對(duì)稱軸對(duì)稱 磁場(chǎng)分布磁場(chǎng)分布 已知：已知：I、R 在與電流同軸的圓柱在與電流同軸的圓柱 面上，磁感應(yīng)強(qiáng)度面上，磁感應(yīng)強(qiáng)度 的的 值大小相等，方向沿值大小相等，方向沿 圓周的切線方向圓周的切線方向 r B B B 12 取經(jīng)過(guò)取經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的積分環(huán)路為一個(gè)半徑為點(diǎn)的積分環(huán)路為一個(gè)半徑為 r 的圓周，并與電流同的圓周，并與

8、電流同 軸，且沿磁力線方向回轉(zhuǎn)。計(jì)算磁感沿該環(huán)路的環(huán)流：軸，且沿磁力線方向回轉(zhuǎn)。計(jì)算磁感沿該環(huán)路的環(huán)流： 如圖如圖 ldB B 利用安培環(huán)路定理求利用安培環(huán)路定理求 r I B 2 0 Rr IrB 0 2 首先考慮圓柱外的任一點(diǎn)首先考慮圓柱外的任一點(diǎn)P。 I R B r i i IldB 0 環(huán)路包圍環(huán)路包圍 全部電流全部電流 BdlrBdlB 2 i i IldB 0 13 rBBdlldB 2 B 利用安培環(huán)路定理求利用安培環(huán)路定理求 環(huán)環(huán)路路內(nèi)內(nèi) IldB 0 2 0 2 R Ir B 如圖取積分環(huán)路如圖取積分環(huán)路 并計(jì)算磁并計(jì)算磁 感的環(huán)流：感的環(huán)流： Rr 再考慮圓柱內(nèi)的任一點(diǎn)。再

9、考慮圓柱內(nèi)的任一點(diǎn)。 I R r 計(jì)算環(huán)路內(nèi)包圍的電流：計(jì)算環(huán)路內(nèi)包圍的電流： 2 2 2 2 r R I r R I I 環(huán)環(huán)路路內(nèi)內(nèi) 22 0 /2RIrrB 14 結(jié)論結(jié)論 無(wú)限長(zhǎng)載流圓柱導(dǎo)體無(wú)限長(zhǎng)載流圓柱導(dǎo)體已知：已知：I、R Rr r I Rr R Ir B 2 2 0 2 0 r R 0 B R I 2 0 I B B 15 討論討論 長(zhǎng)直載流圓柱面長(zhǎng)直載流圓柱面 已知：已知：I、R Rr r I Rr B 2 0 0 r R 0 R I 2 0 B R I 16 . . . . . . I 2. 無(wú)限無(wú)限長(zhǎng)直載流螺線管長(zhǎng)直載流螺線管 已知：已知：I、n 分析對(duì)稱性分析對(duì)稱性 管內(nèi)

10、磁力線平行于管軸管內(nèi)磁力線平行于管軸 管外磁場(chǎng)為零管外磁場(chǎng)為零 單位長(zhǎng)度導(dǎo)線匝數(shù)單位長(zhǎng)度導(dǎo)線匝數(shù) 作積分回路如圖作積分回路如圖 d ab c B 方向方向 右手螺旋右手螺旋 17 abB 計(jì)算環(huán)流計(jì)算環(huán)流 b a Bdll dB0cos c b Bdl 2 cos a d Bdl 2 cos d c Bdl cos )( 0 IabnabB 外外 內(nèi)內(nèi) 0 0nI B 利用安培環(huán)路定理求利用安培環(huán)路定理求B 0 0 0 . d ab I c InabI 環(huán)環(huán)路路內(nèi)內(nèi) 計(jì)算環(huán)路內(nèi)包圍的電流計(jì)算環(huán)路內(nèi)包圍的電流 環(huán)環(huán)路路內(nèi)內(nèi) IldB 0 18 3. 環(huán)行載流螺線管環(huán)行載流螺線管 1 R已知：已知

11、：I N 2 R 分析對(duì)稱性分析對(duì)稱性 磁感線分布如圖磁感線分布如圖 作積分回路如圖作積分回路如圖 方向方向右手螺旋右手螺旋 導(dǎo)線總匝數(shù)導(dǎo)線總匝數(shù)N r R1 R2 . + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . B r 0 2 R 1 R 計(jì)算環(huán)流計(jì)算環(huán)流 利用安培環(huán)路定理求利用安培環(huán)路定理求 B rBBdll dB 2 NIl dB 0 外外 內(nèi)內(nèi) 0 2 0 r NI B 2121 R

12、RRR 、 nIB 0 1 2 R N n . . . . r R1 R2 . + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4. 無(wú)限大載流導(dǎo)體薄板無(wú)限大載流導(dǎo)體薄板 I 導(dǎo)線中電流強(qiáng)度導(dǎo)線中電流強(qiáng)度 I 單位長(zhǎng)度導(dǎo)線匝數(shù)單位長(zhǎng)度導(dǎo)線匝數(shù)n 已知：已知： 分析對(duì)稱性分析對(duì)稱性 磁感線如圖磁感線如圖 作積分回路如圖作積分回路如圖 abcd 與導(dǎo)體板等距與導(dǎo)體板等距、 Bd d ab c . 21 b a Bdll

13、 dB0cos c b Bdl 2 cos 計(jì)算環(huán)流計(jì)算環(huán)流 利用安培環(huán)路定理求利用安培環(huán)路定理求 B a d Bdl 2 cos d c cosBdl0 0 cdBabB abB 2 Iabnl dB 0 2 0 nIB 板上下兩側(cè)為均勻磁場(chǎng)板上下兩側(cè)為均勻磁場(chǎng) . d ab c 0 22 討論討論 兩兩板板之之間間 兩兩板板外外側(cè)側(cè) nI B 0 0 如圖，兩塊無(wú)限大載流導(dǎo)體薄板平行放置如圖，兩塊無(wú)限大載流導(dǎo)體薄板平行放置 通有相反方向的電流。通有相反方向的電流。 已知：導(dǎo)線中電流強(qiáng)度已知：導(dǎo)線中電流強(qiáng)度 I、單位長(zhǎng)度導(dǎo)線匝數(shù)、單位長(zhǎng)度導(dǎo)線匝數(shù)n . 23 例例. 一根外半徑為一根外半徑為

14、R1的無(wú)限長(zhǎng)的無(wú)限長(zhǎng) 圓柱形導(dǎo)體管圓柱形導(dǎo)體管 , 管內(nèi)空心部分管內(nèi)空心部分 的半徑為的半徑為R2 , 空心部分的軸與空心部分的軸與 圓柱的軸相平行但不重合圓柱的軸相平行但不重合, 兩兩 軸間距離為軸間距離為a(aR2) , 現(xiàn)有電流現(xiàn)有電流 I沿導(dǎo)體管流動(dòng)沿導(dǎo)體管流動(dòng) , 電流均勻分電流均勻分 布在管的橫截面上布在管的橫截面上 , 方向與管方向與管 軸平行軸平行 . O 1 R 2 R O a I 1)圓柱軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小圓柱軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小. 2)空心部分軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小空心部分軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小. 求求: 24 由于空心部分的存在由于空心部分的存在,磁場(chǎng)的柱

15、對(duì)稱性被破壞磁場(chǎng)的柱對(duì)稱性被破壞 , 因而因而 此題解法需用填補(bǔ)法此題解法需用填補(bǔ)法.(應(yīng)保持原有的電流密度不變應(yīng)保持原有的電流密度不變.) 以電流以電流I填滿空心部分填滿空心部分 2 2 2 2 2 1 R RR I I 然后再用然后再用- I填一次填一次,以抵消第一次填補(bǔ)的影響以抵消第一次填補(bǔ)的影響,因而整因而整 個(gè)磁場(chǎng)相當(dāng)于與一個(gè)大的圓柱電流和一個(gè)半徑為個(gè)磁場(chǎng)相當(dāng)于與一個(gè)大的圓柱電流和一個(gè)半徑為R2的的 反向圓柱電流反向圓柱電流-I產(chǎn)生的磁場(chǎng)的疊加產(chǎn)生的磁場(chǎng)的疊加. 解解: O 1 R 2 R O a I 25 大圓柱電流在軸線大圓柱電流在軸線O上產(chǎn)生的磁場(chǎng)為零上產(chǎn)生的磁場(chǎng)為零 小圓柱電流在軸線小圓柱電流在軸線O上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 a I 2 0 即即 2 2 2 1 2 20 0 2RRa IR B 2)空心部分軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度空心部分軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度B0 1)圓柱軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度圓柱軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0 O 1 R 2 R O a I 小圓柱電流在自身軸線上產(chǎn)生磁場(chǎng)為零小圓柱電流在自身軸線上產(chǎn)生磁場(chǎng)為零 大圓柱電流在大圓柱電流在O出產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為出產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 a I 2 0 即即 2