高中數(shù)學必修4平面向量知識點與典型例題總結(jié)(師)匯編

1、2學習-好資料數(shù)學必會基礎(chǔ)題型平面向量 【基本概念與公式】 【任何時候?qū)懴蛄繒r都要帶箭頭】1. 向量 ：既有大小又有方向的量。記作： ab 或 a 。2. 向量的模 ：向量的大?。ɑ蜷L度），記作： | ab | 或 | a | 。3. 單位向量 ：長度為 1 的向量。若 e 是單位向量，則 | e |=1 。4. 零向量：長度為 0 的向量。記作： 0 ?！?0 方向是任意的，且與任意向量平行】 5.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的向量。6. 相等向量 ：長度和方向都相同的向量。7. 相反向量 ：長度相等，方向相反的向量。 ab =-ba 。8. 三角形法則：ab +bc =ac ； a

2、b +bc +cd +de =ae ； ab -ac =cb （指向被減數(shù)）9.平行四邊形法則 ：以 a , b 為臨邊的平行四邊形的兩條對角線分別為 a +b ， a -b 。10.共線定理： a =lb a / / b 。當 l0 時， a與b 11.基底：任意不共線的兩個向量稱為一組基底。同向；當 l0 時， a與b反向。12.向量的模： 若 a =( x, y ) ，則 | a |= x 2 +y 2 ， a =|a |2 ， | a +b |= ( a +b )213.數(shù)量積與夾角公式： a b=|a | |b | cosq；cos q =a b | a | |b |14.平行與垂直

3、： a / / b a =lb x y =x y ； a b a b=0 x x +y y =0 1 2 2 1 1 2 1 2題型 1.基本概念判斷正誤 ：（1） 共線向量就是在同一條直線上的向量。（2） 若兩個向量不相等，則它們的終點不可能是同一點。 （3）與已知向量共線的單位向量是唯一的。（4） 四邊形 abcd 是平行四邊形的條件是 ab =cd 。（5） 若 ab =cd ，則 a、b、c、d 四點構(gòu)成平行四邊形。 （6）因為向量就是有向線段，所以數(shù)軸是向量。 （7）若 a 與 b 共線， b 與 c 共線，則 a 與 c 共線。（8）若 ma =mb ，則 a =b 。更多精品文檔

4、學習-好資料（9） 若 ma =na ，則 m =n 。（10） 若 a 與 b 不共線，則 a 與 b 都不是零向量。（11） 若 a b=|a | |b | ，則 a / / b 。（12） 若 | a +b |=|a -b | ，則 a b 。題型 2.向量的加減運算1.設(shè) a 表示“向東走 8km”, b 表示“向北走 6km”,則 | a +b |=。2.化簡 ( ab +mb ) +( bo +bc ) +om =。3.已知 | oa |=5 , | ob |=3 ,則 | ab | 的最大值和最小值分別為 、 。4.已知 ac為 ab與 ad 的和向量，且 ac =a , bd

5、=b ，則 ab =， ad =。5.已知點 c 在線段 ab 上，且 ac =35ab ,則 ac =bc ， ab =bc 。題型 3.向量的數(shù)乘運算1.計算：（1） 3(a +b ) -2( a +b ) =12.已知 a =(1,-4), b =( -3,8) ，則 3a - b =2（2） 2(2 a +5b -3c ) -3( -2a +3b -2 c ) = 。題型 4.作圖法球向量的和1 3已知向量 a , b ，如下圖，請做出向量 3a + b 和 2a - b 。2 2ab題型 5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量1. 已知在 dabc 中， d 是 bc 的中點，請用向量 a

6、b，ac 表示 ad 。2. 在平行四邊形 abcd 中，已知 ac =a , bd =b ，求 ab和ad 。題型 6.向量的坐標運算1. 已知 ab =(4,5) ， a(2,3) ，則點 b 的坐標是 。2. 已知 pq =( -3, -5) ， p (3,7) ，則點 q 的坐標是 。3. 若物體受三個力 f =(1,2) , f =( -2,3) , f =( -1,-4) ,則合力的坐標為 。1 2 3更多精品文檔學習-好資料4. 已知 a =( -3,4) ， b =(5, 2) ，求 a +b ， a -b ， 3a -2b 。5. 已知 a(1,2), b (3,2) ,向量

7、 a =( x +2, x -3 y -2) 與 ab 相等，求 x, y 的值。 6.已知 ab =(2,3) ， bc =( m, n ) ， cd =( -1,4) ，則 da =。7.已知 o 是坐標原點， a(2, -1), b ( -4,8) ，且 ab +3 bc =0 ，求 oc 的坐標。題型 7.判斷兩個向量能否作為一組基底1.已知 e , e 是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底：1 2a. e +e 和e -e 1 2 1 2b. 3e -2e 和4e -6e 1 2 2 1c. e +3e 和e -3e 1 2 2 1d. e 和e -e 2 2 12

8、.已知 a =(3,4) ，能與 a 構(gòu)成基底的是（ ）3 4 4 3 3 4 4a. ( , ) b. ( , ) c. ( - , - ) d. ( -1, - )5 5 5 5 5 5 3題型 8.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標1. 已知 o 是坐標原點，點 a 在第二象限， | oa |=2 ， xoa =150 ，求 oa 的坐標。2. 已知 o 是原點，點 a 在第一象限， | oa |=4 3 ， xoa =60 ，求 oa 的坐標。題型 9.求數(shù)量積1.已知 | a |=3,| b |=4 ，且 a 與 b 的夾角為 60 ，求（1） a b，（2） a (a +b ) ，1（3） (

9、 a - b ) b，（4） (2 a -b ) (a +3b ) 。22.已知 a =(2, -6), b =( -8,10) ，求（1） | a |,| b | ，（2） a b，（3） a (2a +b ) ， （4） (2 a -b ) (a +3b ) 。題型 10.求向量的夾角1. 已知 | a |=8,| b |=3 ， a b=12 ，求 a 與 b 的夾角。2. 已知 a =( 3,1), b =( -2 3, 2) ，求 a 與 b 的夾角。 更多精品文檔學習-好資料3.已知 a(1,0) ， b(0,1) ， c (2,5) ，求 cos bac 。題型 11.求向量的模

10、1.已知 | a |=3,| b |=4 ，且 a 與 b 的夾角為 60 ，求（1） | a +b | ，（2） | 2 a -3b | 。12.已知 a =(2, -6), b =( -8,10) ，求（1） | a |,| b | ，（5） | a +b | ，（6） | a - b | 。23.已知 | a |=1，|b |=2 ， | 3a -2b |=3 ，求 | 3a +b | 。題型 12.求單位向量 【與 a 平行的單位向量： e =a| a |】1.與 a =(12,5) 平行的單位向量是 。12.與 m =( -1, ) 平行的單位向量是 。2題型 13.向量的平行與垂直

11、1.已知 a =(6,2) ， b =( -3, m ) ，當 m 為何值時，（1） a / / b ？（2） a b ？2.已知 a =(1,2) ， b =( -3, 2) ，（1） k 為何值時，向量 ka +b 與 a -3b 垂直？ （2） k 為何值時，向量 ka +b 與 a -3b 平行？3.已知 a 是非零向量， a b=a c，且 b c ，求證： a (b -c ) 。題型 14.三點共線問題1.已知 a(0, -2) ， b (2, 2) ， c (3,4) ，求證： a, b , c 三點共線。更多精品文檔學習-好資料2.設(shè) ab =22( a +5b ), bc =

12、-2a +8b, cd =3(a -b ) ，求證： a、b、d 三點共線。3.已知 ab =a +2b , bc =-5a +6b, cd =7 a -2b ，則一定共線的三點是 。 4.已知 a(1,-3) ， b (8, -1) ，若點 c (2 a -1, a +2) 在直線 ab 上，求 a 的值。5.已知四個點的坐標 o (0,0) ， a(3,4) ，b ( -1,2) ，c (1,1)，是否存在常數(shù) t ，使 oa +tob o=c 立？題型 15.判斷多邊形的形狀1. 若 ab =3e ， cd =-5e ，且 | ad |=|bc | ,則四邊形的形狀是 。2. 已知 a(

13、1,0) ， b (4,3) ， c (2, 4) ， d (0,2) ，證明四邊形 abcd 是梯形。成3.已知 a( -2,1) ， b (6, -3) ， c (0,5) ，求證： dabc 是直角三角形。4.在平面直角坐標系內(nèi)， oa =( -1,8), ob =( -4,1), oc =(1,3) ,求證： dabc 是等腰直角三角形。題型 16.平面向量的綜合應(yīng)用1.已知 a =(1,0) ， b =(2,1) ，當 k 為何值時，向量 ka -b 與 a +3b 平行？ 2.已知 a =( 3, 5) ，且 a b ， | b |=2 ，求 b 的坐標。3.已知 a與b 同向，

14、b =(1,2) ，則 a b=10 ，求 a 的坐標。3.已知 a =(1,2) ， b =(3,1) ， c =(5,4) ，則 c =a +b 。4.已知 a =(5,10) ， b =( -3, -4) ， c =(5,0) ，請將用向量 a , b 表示向量 c 。更多精品文檔學習-好資料5.已知 a =( m,3) ， b =(2, -1) ，（1）若 a 與 b 的夾角為鈍角，求 m 的范圍；（2）若 a 與 b 的夾角為銳角，求 m 的范圍。6.已知 a =(6,2) ， b =( -3, m) ，當 m 為何值時，（1） a 與 b 的夾角為鈍角？（2） a 與 b 的夾角

15、為銳角？7.已知梯形 abcd 的頂點坐標分別為 a(-1,2) ， b (3,4) ， d (2,1) ，且 ab / / dc ， ab =2cd ， 求點 c 的坐標。8.已知平行四邊形 abcd 的三個頂點的坐標分別為 a(2,1) ，b ( -1,3) ，c (3,4) ，求第四個頂點 d 的坐標。9. 一航船以 5km/h 的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成 30 角，求 水流速度與船的實際速度。10. 已知 dabc 三個頂點的坐標分別為 a(3,4) ， b (0,0) ， c (c ,0) ，（1）若 ab ac =0 ，求 c 的值；（2）若 c =5

16、 ，求 sin a 的值?！緜溆谩?. 已知 | a |=3,| b |=4,| a +b |=5 ，求 | a -b | 和向量 a , b 的夾角。2. 已知 x =a +b ， y =2 a +b ，且 | a |=|b |=1 ， a b ，求 x, y 的夾角的余弦。1. 已知 a =(1,3), b =( -2, -1) ，則 (3a +2b ) (2a -5b) =65 。4. 已知兩向量 a =(3, 4), b =(2, -1) ，求當 a +xb與a -b 垂直時的 x 的值。5. 已知兩向量 a =(1,3), b =(2,l) ， a與b 的夾角 q為銳角，求 l的范圍

17、。變式：若 a =( l, 2), b =( -3,5) ， a與b 的夾角 q 為鈍角，求 l 的取值范圍。更多精品文檔學習-好資料選擇、填空題的特殊方法：1.特例法例：全品p27：4。因為 m,n 在 ab,ac 上的任意位置都成立，所以取特殊情況，即 m,n 與 b,c 重合時，可以得到 m =n =1 ，m +n =2 。2.代入驗證法例：已知向量 a =(1,1),b =(1,-1), c =( -1, -2) ，則 c =（ d ）1 3 1 3 3 1 3 1a. - a - b b. - a + b c. a - b d. - a + b2 2 2 2 2 2 2 2變式：已知 a =(1,2), b =( -1,3), c =( -1,2) ，請用 a , b 表示 c 。解： 設(shè) c =xa +yb ，則 ( -1,2) =x(1,2