隨機(jī)變量及其類型

1、隨機(jī)變量及其類型隨機(jī)變量及其類型 第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 2.1 隨機(jī)變量及其類型 2.1.2 隨機(jī)變量的分類 2.1.3 離散型隨機(jī)變量及其分布 2.1.4 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 2.1.1 隨機(jī)變量 用樣本空間的子集，即基本事件的集合來表示 隨 機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果，這種表示方式對全面討論隨機(jī) 試驗(yàn)的統(tǒng)計規(guī)律性及數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用存在較大局限。 為此，我們將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果量化，即引入隨機(jī)變量的 概念。這樣，不僅可以更全面揭示隨機(jī)試驗(yàn)的客觀存 在的統(tǒng)計規(guī)律性，而且可使我們用（數(shù)學(xué)分析）微積 分的方

2、法來討論隨機(jī)試驗(yàn)。 在隨機(jī)試驗(yàn)中，如果把試驗(yàn)中觀察的對象與實(shí)數(shù)在隨機(jī)試驗(yàn)中，如果把試驗(yàn)中觀察的對象與實(shí)數(shù) 對應(yīng)起來，即建立對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)起來，即建立對應(yīng)關(guān)系X，使其對試驗(yàn)的每個結(jié)，使其對試驗(yàn)的每個結(jié) 果果，都有一個實(shí)數(shù)，都有一個實(shí)數(shù)X()與之對應(yīng)，與之對應(yīng)， 試驗(yàn)的結(jié)果試驗(yàn)的結(jié)果 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)X( () ) 對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系X 則則X的取值隨著試驗(yàn)的重復(fù)而不同，的取值隨著試驗(yàn)的重復(fù)而不同， X是一個變量，是一個變量， 且在每次試驗(yàn)中，究竟取什么值事先無法預(yù)知，也就且在每次試驗(yàn)中，究竟取什么值事先無法預(yù)知，也就 是說是說X是一個隨機(jī)取值的變量。由此，我們很自然地是一個隨機(jī)取值的變量。由此，我們很自然地

3、 稱稱X為隨機(jī)變量。為隨機(jī)變量。 2.1.12.1.1隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念 定義2.1 設(shè)E是一個隨機(jī)試驗(yàn)， =是試驗(yàn)E的 樣本空間，如果對于 中的每一個樣本點(diǎn)，有一 實(shí)數(shù)X()與之對應(yīng)，這個定義在 上的實(shí)值函數(shù) X()就稱為隨機(jī)變量。 由定義可知，隨機(jī)變量 X()是以樣本空間為 定義域的一個單值實(shí)值函 數(shù)。 有關(guān)隨機(jī)變量定義的幾點(diǎn)說明：有關(guān)隨機(jī)變量定義的幾點(diǎn)說明： (1)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X不是自變量的函數(shù)而是樣本點(diǎn)不是自變量的函數(shù)而是樣本點(diǎn)e的函數(shù)，的函數(shù)， 常用大寫字母常用大寫字母X、Y、Z 或小寫希臘字母或小寫希臘字母 、 、 等表等表 示示。 (2)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X隨著試驗(yàn)結(jié)

4、果而取不同的值，因而在試驗(yàn)隨著試驗(yàn)結(jié)果而取不同的值，因而在試驗(yàn) 結(jié)束之前，只知道其可能的取值范圍，而事先不能預(yù)結(jié)束之前，只知道其可能的取值范圍，而事先不能預(yù) 知它取什么值，對任意實(shí)數(shù)區(qū)間知它取什么值，對任意實(shí)數(shù)區(qū)間( (a,b) )，“aXb”的的 概率是確定的；概率是確定的； (3)(3)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X( () )的值域即為其一切可能取值的全體的值域即為其一切可能取值的全體 構(gòu)成的集合；構(gòu)成的集合； (4)(4)引入隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量描述事件，而引入隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量描述事件，而 且事件的討論，可以納入隨機(jī)變量的討論中。且事件的討論，可以納入隨機(jī)變量的討論中。 例例2

5、.12.1 一批產(chǎn)品中任意抽取20件作質(zhì)量檢驗(yàn)，作 為檢驗(yàn)結(jié)果的合格品的件數(shù)用X表示，則X是隨機(jī) 變量。X的一切可能取值為 0，1，2，20 X=0表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中沒有合格品”； X=1表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中恰有1件合格 品”； X=k表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中恰有k件合格 品”。 例例2.22.2 將一顆骰子投擲兩次，觀察所的點(diǎn)數(shù)，以將一顆骰子投擲兩次，觀察所的點(diǎn)數(shù)，以X表表 示所得點(diǎn)數(shù)之和，則示所得點(diǎn)數(shù)之和，則X的可能取值為的可能取值為2 2，3 3，4 4， 1212，而且，而且 X=2=(1,1),=2=(1,1), X=3=(1,2),(2,1),=3=(1,2)

6、,(2,1), X=4=(1,3),(2,2),(3,1),=4=(1,3),(2,2),(3,1), X=12=(6,6)=12=(6,6)。 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的取各個可能值的概率列于下表：的取各個可能值的概率列于下表： X 2 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212 P 1/361/362/362/363/363/364/364/365/365/366/366/365/365/364/364/363/363/362/362/361/361/36 P( (X=2)=1/36=2)=1/36 P( (X=3)=2/36=3)=2/36 P( (X=4)=3/36

7、=4)=3/36 P( (X=12)=1/36=12)=1/36 例2.3 一正整數(shù)一正整數(shù)n等可能地取等可能地取1,2,3,15共十五個值，且設(shè)共十五個值，且設(shè) X=X(n)是除得盡是除得盡n的正整數(shù)的個數(shù)，則的正整數(shù)的個數(shù)，則X是一個隨機(jī)變量，且是一個隨機(jī)變量，且 有下表：有下表： 即可得即可得X取各個可能值的概率為：取各個可能值的概率為： n123456789101112 13 14 15 X(n) 122324243426244 X12346 P1/156/152/155/151/15 例例2.4 一個地鐵車站，每隔5分鐘有一列地 鐵通過該站。一位乘客不知列車通過該站的 時間，他在一個

8、任意時刻到達(dá)該站，則他候 車的時間X是一個隨機(jī)變量，而且X的取值范 圍是0，5 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型 非離散型 奇異型（混合型） 隨機(jī)變量的分類： 2.1.2 隨機(jī)變量的分類 隨機(jī)變量 2.1.3 離散型隨機(jī)變量 一、 離散型隨機(jī)變量及其分布律 1、離散型隨機(jī)變量的概念 若某個隨機(jī)變量的所有可能取值是有限多個或 可列無限多個，則稱這個隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變 量。 討論隨機(jī)變量的目的是要研究其統(tǒng)計規(guī)律性， 要知道離散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計規(guī)律必須且只須知 道X的所有可能取值以及X取每一個可能值的概率。 2 2、分布律、分布律 設(shè)離散型隨機(jī)變量X，其所有可能取值為x1, x2, , xk, , 且取

9、這些值的概率依次為p1, p2, , pk, , 即 則稱P(X=xk)=pk(k=1, 2, ) 為隨機(jī)變量X 的概率分布 律，簡稱分布律。 分布律可用表格形式表示為： 11 )( kk kk pxXP1 1 P(X=xk)=pk, (k=1, 2, ) 而且滿足（1）P(X=xk)=pk0，(k=1, 2, ) （2） Xx1x2x3xk Pp1p2p3pk 2 , 1 , 0,)( 3 5 3 32 k C CC kXP kk 例2.5 設(shè)袋中有5只球，其中有2只白球， 3只黑球?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求 抽得的白球數(shù)X為k的概率。 解 X=k的所有可能取值為0，1，2 X是一個隨

10、機(jī)變量 5 54321)1 ()()0(pAAAAAPXP .)() 1( 5432154321 AAAAAAAAAAPXP 5,.,1 , 0)1 ()( 5 5 kppCkXP kkk .)2( 5432154321 AAAAAAAAAAPXP 322 5 )1 (ppC 解解 設(shè)設(shè)Ai 第第i次射擊時命中目標(biāo)，次射擊時命中目標(biāo)，i=1,2,3,4,5=1,2,3,4,5 則則A1 1, , A2 2，A5 5相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且 P( (Ai)=)=p, ,i=1,2,=1,2,5,5。SX=0,1,2,3,4,5,=0,1,2,3,4,5, 例2.6 某射手對目標(biāo)獨(dú)立射擊某射手對目

11、標(biāo)獨(dú)立射擊5 5次，每次命中目標(biāo)次，每次命中目標(biāo) 的概率為的概率為p，以，以X表示命中目標(biāo)的次數(shù)，求表示命中目標(biāo)的次數(shù)，求X的分布律。的分布律。 4 )1 (5pp 二、幾個常用的離散型隨機(jī)變量的概率分布律 1、 (0-1)分布 若隨機(jī)變量X的分布律為： P(X=k)=pk(1-p)1-k， k=0，1，(0p1) 則稱X服從以p為參數(shù)的0-1分布，記為XB(1,p)。 0-1分布的分布律也可寫成 X10 Pp1-p 即隨機(jī)變量只可能取0，1兩個值，且取1的概率為p， 取0的概率為1-p (0p0，n是正整數(shù)， 若npn=，則對任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有 ,.2 , 1 , 0, ! )1 ()

12、( ke k ppCkXP k knkk n 即當(dāng)隨機(jī)變量XB(n, p)，(n0,1,2,)，且n很 大，p很小時，記=np，則 e k ppC k kn n k n k n n ! )1 (lim 例2.10可用泊松定理計算。 取 =np=4000.028, 近似地有 P(X2)1 P(X0)P(X1) 1(18)e80.996981 3 3、泊松、泊松(Poisson)(Poisson)分布分布 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X所有可能取值為所有可能取值為0,1,2,0,1,2,，且，且 其中其中 00是常數(shù)，則稱是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分的泊松分 布，記為布，記為XP( )。

13、, 2 , 1 , 0, ! )( ke k kXP k 泊松泊松定理表明，定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極泊松分布是二項(xiàng)分布的極 限分布，限分布， 當(dāng)當(dāng)n很大，很大，p很小時，很小時，二項(xiàng)分布就可近似地二項(xiàng)分布就可近似地 看成是參數(shù)看成是參數(shù) =np的的泊松分布。泊松分布。 例例2.112.11 某商店出售某種商品，具歷史記錄分析，某商店出售某種商品，具歷史記錄分析， 每月銷售量服從參數(shù)每月銷售量服從參數(shù) =5的泊松分布。問在月初進(jìn)貨的泊松分布。問在月初進(jìn)貨 時，要庫存多少件此種商品，才能以時，要庫存多少件此種商品，才能以0.9990.999的概率充的概率充 分滿足顧客的需要？分滿足顧客的需

14、要？ 解解 用用X表示每月銷量，則表示每月銷量，則XP( )= P(5)。由題意，。由題意， 要求要求k，使得，使得P(Xk)0.999，即，即 k i k i i e i iXP 00 5 999.0 ! 5 )( 10 5 001.0999.01)(1 ! 5 ki k i i iXPe i 這里的計算通過查這里的計算通過查PoissonPoisson分布表分布表(p.333-334)(p.333-334)得到，得到， =5 14 5 001.0000698.0 ! 5 i i e i 13 5 001. 0002019. 0 ! 5 i i e i i=k+1=14時時, i=k+1=1

15、3時時, k+1=14，k=13 即月初進(jìn)貨庫存即月初進(jìn)貨庫存 要要1313件。件。 例例2.122.12 設(shè)某國每對夫婦的子女?dāng)?shù)設(shè)某國每對夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的 泊松分布泊松分布, ,且知一對夫婦有不超過且知一對夫婦有不超過1 1個孩子的概率為個孩子的概率為 3 3e-2 -2。求任選一對夫婦 。求任選一對夫婦, ,至少有至少有3 3個孩子的概率。個孩子的概率。 2 ( ),1(0)(1) 3XpP XP XP Xe 且且 )2() 1()0(1) 3(XPXPXPXP 323. 051 ! 2 2 ! 1 2 1 22 2 2 1 2 eeee 解解 由題意由題意 23

16、2 eee 4、幾何分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值是的可能取值是1,2,3,1,2,3, ,且且 P(X=k)=(1- -p)k- -1p=qk- -1p，k=1，2，3， , 其中其中0p1時，時，X的全部取值為：的全部取值為：m, ,m+1,+1,m+2,+2, m pmXP)( P(X=m+1)=P(第第m+1次試驗(yàn)時成功，并且次試驗(yàn)時成功，并且 在前在前m次試驗(yàn)中成功了次試驗(yàn)中成功了m- -1次次) ,.2, 1,)1 ()( 11 1 mmmkpppCkXP mkmm k pppC mm m )1 ( 11 2.1.4 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量可用

17、分布律來完整地描述，而對離散型隨機(jī)變量可用分布律來完整地描述，而對 于非離散型隨機(jī)變量則難以實(shí)現(xiàn)于非離散型隨機(jī)變量則難以實(shí)現(xiàn). .由于許多隨機(jī)變量由于許多隨機(jī)變量 的概率分布情況不能以其取某個值的概率來表示，的概率分布情況不能以其取某個值的概率來表示， 因此我們往往關(guān)心隨機(jī)變量因此我們往往關(guān)心隨機(jī)變量X取值落在某區(qū)間取值落在某區(qū)間 ( (a, ,b 上的概率上的概率( (ab).). 由于由于 a xb=xb-xa,(,(ab) )，因此對，因此對 任意任意xR，只要知道事件，只要知道事件 Xx 發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率，則X 落在落在( (a, ,b 的概率就立刻可得。因此我們用的概率就立刻

18、可得。因此我們用PXx 來討論隨機(jī)變量來討論隨機(jī)變量X的概率分布情況。的概率分布情況。PXx：“隨隨 機(jī)變量機(jī)變量X取值不超過取值不超過x的概率的概率”. . 定義定義 設(shè)設(shè)X是一是一隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，x為實(shí)變量為實(shí)變量,則實(shí)值函數(shù)則實(shí)值函數(shù) F(x)P X x， x(-(-，+)+) 稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。 有了分布函數(shù)定義，任意有了分布函數(shù)定義，任意x1，x2R， x1x2，隨，隨 機(jī)變量機(jī)變量X落在落在( (x1, ,x2 里的概率可用分布函數(shù)來計算：里的概率可用分布函數(shù)來計算： P x1X x2PX x2PX x1 F(x2)F(x1). x X 在這個意

19、義上可以說，分布函數(shù)完整地描述了隨在這個意義上可以說，分布函數(shù)完整地描述了隨 機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律性，或者說，分布函數(shù)完整地表示機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律性，或者說，分布函數(shù)完整地表示 了隨機(jī)變量的概率分布情況。了隨機(jī)變量的概率分布情況。 一、分布函數(shù)的概念一、分布函數(shù)的概念 例例2.142.14 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過3 3盞信號燈。每盞信號燈。每 盞信號燈以概率盞信號燈以概率1/21/2允許汽車通過或禁止汽車通過。以允許汽車通過或禁止汽車通過。以X表示汽表示汽 車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)( (各信號燈工作相互獨(dú)各

20、信號燈工作相互獨(dú) 立立) )。求。求X的分布律、分布函數(shù)以及概率的分布律、分布函數(shù)以及概率), 2 5 2 3 (), 2 3 (XPXP 解解 設(shè)設(shè)p為每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則為每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故，故X的分布律為：的分布律為： )32( XP X0123 P1/21/41/81/8 X的分布函數(shù)：的分布函數(shù)： 3 32 21 10 00 )()( 8 1 8 1 4 1 2 1 8 1 4 1 2 1 4 1 4 1 2 1 x x x x x xXPxF 31 32 21 10 00 8 7

21、 4 3 2 1 x x x x x 所求概率為所求概率為 4 3 ) 2 3 () 2 3 (FXP 8 1 4 3 8 7 ) 2 3 () 2 5 () 2 5 2 3 (FFXP )2()32()32(XPXPXP )2()2()3(XPFF 4 1 8 1 8 7 1 一般地，一般地，X是離散型隨機(jī)變量，其概率分布律為是離散型隨機(jī)變量，其概率分布律為 P(X=xk)=pk, (k=1, 2, ) 則則X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)為為 xxxx kk kk pxXPxXPxF)()()( F(x)的圖像：非降，右連續(xù)，且在的圖像：非降，右連續(xù)，且在x1，x2 ，xk，處跳躍。處跳躍。

22、 31 32 21 10 00 )( 8 7 4 3 2 1 x x x x x xF 二、分布函數(shù)的性質(zhì)二、分布函數(shù)的性質(zhì) 1、單調(diào)不減性：若單調(diào)不減性：若x11000)， 所以所以 不可能事件的概率為零，但概率為零的事不可能事件的概率為零，但概率為零的事 件不一定是不可能事件。件不一定是不可能事件。 同樣，同樣，必然事件的概率為必然事件的概率為1 1，但概率為，但概率為1 1的事件的事件 不一定是必然事件。不一定是必然事件。 例例2.15 2.15 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具分布律具分布律如下表如下表 解解 )(xF x0 1 12 )()(xXPxF X012 P0.10.60.3 試求出

23、試求出X的分布函數(shù)的分布函數(shù)。 .2, 1 ,21,7.0 , 10, 1.0 , 1,0 x x x x 例例2.162.16 向0,1區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐 標(biāo)。假定質(zhì)點(diǎn)落在0,1區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率 與區(qū)間長成正比，求X的分布函數(shù)。 解解 F(x)=P(Xx) 1, 1 10, 0, 0 )()( x xx x xXPxF )(xF x10 1 當(dāng)當(dāng)x1時時, ,F(x)=1 當(dāng)當(dāng)0 x1時時, , kxxXPxF)0()( 特別特別, ,F(1)=P(0 x1)=k=1 用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀，用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀， 對非離散型隨機(jī)變量，是否有更直觀的描述方法對非離散型隨機(jī)變量，是否有更直觀的描述方法？ a ab b ?bXap 例例1 有一批產(chǎn)品共有一批產(chǎn)品共40件，其中有件，其中有3件次品件次品. 從中隨機(jī)從中隨機(jī) 抽取抽取5件，以表示取到的次品件數(shù)，求件，以表示取到的次品件數(shù)，求X的概率分布及的概率分布及 分布函數(shù)分布函數(shù). 解解 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X可能取到的值為可能取到的值為0，1，2，3，按古典，按古典 概率計算事件概率計算事件X=k（k=0,1,2,3）的概率，得的概率分）的概率，得的概率分 布為布為 . 3210 5 40 5 3