球的體積和表面積(附答案)

1、球的體積和表面積 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 記準(zhǔn)球的表面積和體積公式，會(huì)計(jì)算球的表面積和體積 .2. 能解決與球有關(guān) 的組合體的計(jì)算問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一 球的體積公式與表面積公式1.球的體積公式 V43R3( 其中 R為球的半徑 ).32. 球的表面積公式 S4 R.思考 球有底面嗎？球面能展開(kāi)成平面圖形嗎？答 球沒(méi)有底面，球的表面不能展開(kāi)成平面 .知識(shí)點(diǎn)二 球體的截面的特點(diǎn)1. 球既是中心對(duì)稱的幾何體， 又是軸對(duì)稱的幾何體， 它的任何截面均為圓， 它的三視圖也都 是圓 .3R46522. 利用球半徑、 截面圓半徑、 球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn) 題的主要途徑 .(2) 設(shè)球的半徑為

2、R，則 43R5300，解得 R 5，所以球的表面積 S 4 R2452100.跟蹤訓(xùn)練 1 一個(gè)球的表面積是 16，則它的體積是 ( )A.646432B. 3 C.32 D. 3答案解析設(shè)球的半徑為 R，則由題意可知 4 R16，故 R2. 所以球的半徑為 2，體積 V433R3332.3題型二 球的截面問(wèn)題 例 2 平面 截球 O的球面所得圓的半徑為 1. 球心 O到平面 的距離為 2 ，則此球的體 積為 ( )A. 6 B.4 3 C.4 6 D.6 3答案 B解析 如圖，設(shè)截面圓的圓心為 O，M為截面圓上任一點(diǎn)，則 OO 2， O M1. OM2 2 1 3.即球的半徑為 3.V 4

3、3( 3) 3 4 3.3跟蹤訓(xùn)練 2 已知長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為3， 5， 15，則它的外接球表面積為 答案 9解析 如圖，是過(guò)長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線AB的截面，設(shè)長(zhǎng)方體有公共頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)分別為 x，y， z，則由已知，xy 3， 得 yz 5，zx 15x 3， 解得 y 1，所以球的半徑R12ABx2 y2 z2 32，所以 S 球 4R9.題型三 球的組合體與三視圖例 3 某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的表面積和體積解 由三視圖可知該幾何體的下部是棱長(zhǎng)為的正方體， 上部是半徑為1 的半球， 該幾何體的表面積為S1241262221 24.該幾何體的體積為2V2321

4、 4313 8 3z 5.跟蹤訓(xùn)練 3 有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切，第三 個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比 .解 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 a. 正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是正方體六個(gè)面的中心，經(jīng)過(guò)四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面，如圖(1) 所示，則有 2r1a，a 2 2即 r 1 2，所以 S14 r1 a . 球與正方體的的各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖(2) 所示，則 2r2 2a，即r 222a，所以 S2 4 r 22 2 a2. 正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖 (3) 所示

5、，則有 2r 3 3a，即 r 3 23a，所以 S3 4 r 3 3 a .綜上可得 S1S2 S3123.軸截面的應(yīng)用例 4 有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)部放一個(gè)半徑為 球，并注入水，使水面沒(méi)過(guò)鐵球和球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度 分析 分別表示出取出鐵球前后水的體積由水的體積不變建立等式求出所求量 解 如圖， O是球的最大截面，它內(nèi)切于 ABC，球的半徑為 r. 設(shè)將球取出后，CD 3r .由圖形知 V圓錐 CEV 圓錐 CDME2CE 13AD2CDCE33r 的鐵水平面在MN處， MN與 CD交于點(diǎn) E.則 DOr，AD 3r，ABACBC2

6、 3r，又V 圓錐 CD 3 ( 3r) 23r 3 r 3 r CE(3 r) ， CE 15r.球從容器中取出后，水的深度為 3 15r.，V圓錐 CE V圓錐CDV球 O333r535r331. 直徑為 6的球的表面積和體積分別是 ( )A.36， 144B.36 ， 36C.144， 36D.144， 1442. 若球的體積與其表面積數(shù)值相等，則球的半徑等于 ( )1A.2 B.1 C.2 D.33. 兩個(gè)半徑為 1 的實(shí)心鐵球，熔化成一個(gè)球，這個(gè)大球的半徑是 .4. 若球的半徑由 R增加為 2R，則這個(gè)球的體積變?yōu)樵瓉?lái)的 倍，表面積變?yōu)樵瓉?lái)的倍.5. 某幾何體的三視圖如圖所示，則其表

7、面積為 .一、選擇題1. 設(shè)正方體的表面積為 24，那么其外接球的體積是 ( )48A.3B. 3 C.43D.3232. 一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1 的球面上，則正方體的表面積為 ( )A.8B.83.兩個(gè)球的半徑之比為13，那么兩個(gè)球的表面積之比為(A.19B.127C.13D.114.設(shè)正方體的表面積為24 cm2，一個(gè)球內(nèi)切于該正方體，那么這個(gè)球的體積是A. 6 cm3B.32 33 cm3C.83 cm33D.433 cm35.若與球外切的圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為 (B.4 r 2R22A.4 (r R)C.4 Rr2D.(Rr)26. 已知底面邊長(zhǎng)為

8、1，側(cè)棱長(zhǎng)為 2的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的體積為 ( )A.323B.4C.2D.37.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高 8 cm，將一個(gè) 球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為 ( )500 3A. 3 cm3B.86633 cmC.1 37233 cmD.2 04833 cm、填空題8. 一個(gè)幾何體的三視圖 (單位： m)如圖所示，則該幾何體的體積為 m3.99. 已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上. 若球的體積為 92，則正方體的棱長(zhǎng)為 10. 正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上， 若該棱錐的高為

9、 4，底面邊長(zhǎng)為 2，則該球的表面積是11. 圓柱形容器內(nèi)盛有高度為 8 cm 的水，若放入三個(gè)相同的球 （ 球的半徑與圓柱 的底面半徑相同 ） 后，水恰好淹沒(méi)最上面的球 （ 如圖所示 ） ，則球的半徑是cm.三、解答題12. 如圖所示， 半徑為 R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑 AB所在直線為軸， 旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積 .（ 其中 BAC30）13. 一個(gè)高為 16 的圓錐內(nèi)接于一個(gè)體積為 972 的球，在圓錐內(nèi)又有一個(gè)內(nèi)切球，求： （1） 圓錐的側(cè)面積；(2) 圓錐的內(nèi)切球的體積當(dāng)堂檢測(cè)答案1. 答案 B體積解析 球的半徑為 3，表面積 S 42. 答案 D 解析 設(shè)球的半徑

10、為 R，則 4R243 R3，所以 R3.3. 答案 3 244解析 設(shè)大球的半徑為 R，則有 3R32 313，R32， R3 2.4. 答案 8 4解析 球的半徑為 R時(shí)，球的體積為 V143 R3，表面積為 S14 R2，半徑增加為 2R后， 球4 3 32 3 2 2的體積為 V23(2 R) 3 R ，表面積為 S24(2 R) 16 R.332R3V2 3S2所以VV12 43 R38，SS12V1 3R3S116R24R2 4，即體積變?yōu)樵瓉?lái)的 8 倍，表面積變?yōu)樵瓉?lái)的 4 倍 .5. 答案 3解析 由三視圖可知， 該幾何體為一個(gè)半徑為 1 的半球， 其表面積為半個(gè)球面面積與截面

11、面1 積的和，即 2 4 3.課時(shí)精練一、選擇題1. 答案 C2解析 由題意可知， 6a224， a2. 設(shè)正方體外接球的半徑為 R，則3a 2R， R 3， V 球3 R 4 3.32. 答案 A解析 球的半徑為 1，且正方體內(nèi)接于球，球的直徑即為正方體的對(duì)角線， 即正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為 2. 不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 a，則有2 2 4 3a2 4，即 a2 .324正方體的表面積為 6a 6 3 8. 33. 答案 A解析 由表面積公式知，兩球的表面積之比為R12 R2219.4. 答案 D解析 由正方體的表面積為 24 cm2，得正方體的棱長(zhǎng)為 2 cm，故這個(gè)球的直徑為 2cm，故這 43

12、個(gè)球的體積為 3 cm 3.35. 答案 C解析 方法一 如圖，設(shè)球的半徑為 r 1，則在 Rt CDE中， DE 2r 1，2 2 2 CERr，DCRr.由勾股定理得 4r 12（ Rr）2（ Rr） 2，解得 r1 Rr. 故球的表面積為 S球4r14 Rr.方法二 如圖，設(shè)球心為 O，球的半徑為 r 1，連接 OA，OB，則在 RtAOB 中，OF是斜邊 AB上的高 . 由相似三角形的性質(zhì)得 OF2BFAFRr，即 r 12 Rr，故 r 1 Rr， 故球的表面積為 S 球 4 Rr.6. 答案 D解析 正 四棱 柱的底面 邊長(zhǎng) 為 1，側(cè) 棱長(zhǎng)為 2， 正 四棱 柱的 體對(duì)角線 的長(zhǎng)

13、 為1 12 2 2. 又正四棱柱的頂點(diǎn)在同一球面上，正四棱柱體對(duì)角線恰好是球的一條直徑，球的半徑 R 1.4 3 4 故球的體積為 V 3 R3 3.337. 答案 A解析 利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解 .11 如圖，作出球的一個(gè)截面，則 MC862（cm），BM2AB28 4（cm）. 設(shè)球的半徑為 R cm，則 R2OM2MB2（ R2）242，R5，4 3 5003V 球35 3 (cm ).二、填空題8. 答案 9 18 解析 將三視圖還原為實(shí)物圖后求解由三視圖知，幾何體下面是兩個(gè)球，球半徑為3；2；上面是長(zhǎng)方體，其長(zhǎng)、寬、高分別為6、3、 1，4 27所以 V 2 1 3 6

14、 9 18.389. 答案 3解析 先求出球的半徑， 再根據(jù)正方體的體對(duì)角線等于球的直徑求棱長(zhǎng) . 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 a， 球半徑為 R，4 3 9則3R2，8110. 答案 841解析 由已知條件可知， 球心在正四棱錐的高所在的直線上 . 設(shè)球的半徑為 R，球心為 O，正 四棱錐底面中心為 E，則 OE|4 R| ，所以(4 R) 2( 2) 2R2，解得 R49.所以球的表面2 81積 S4 R .46r ，容積為 r 26r 6 r 34 3 333 r 4 r ，由題意得11. 答案 4解析 設(shè)球的半徑為 r ，則圓柱形容器的高為 為 8 cm 的水的體積為 8r 2,3 個(gè)球的體積和為

15、23 8 r 4 r ，解得 r 4(cm).三、解答題12. 解 如圖所示，過(guò) C作 CO1 AB于 O1.在半圓中可得 BCA90， BAC30， AB2R， AC 3R，BCR，CO1 S 球4 R ，S圓錐 AO1側(cè) 23R 3R23 R2，S圓錐 BO1側(cè)S 幾何體表 S 球 S圓錐 AO1側(cè) S圓錐 BO1側(cè)故旋轉(zhuǎn)所得幾何體的表面積為11 32R2.13. 解 (1) 如圖作軸截面，則等腰三角形 CAB內(nèi)接于 O， O1內(nèi)切于 ABC.設(shè) O的半徑為 R，由題意，得 3 R 972， 所以 R3729，R 9，所以 CE18.已知 CD16，所以 ED 2.連接 AE，因?yàn)?CE是直徑，所以 CA AE，所以 CA2 CECD1816 288，所以 CA12 2，因?yàn)?ABCD，所以 AD2CDDE162 32，所