2.3.1直線與平面垂直的判定(高中數(shù)學(xué)人教版必修二)

1、2.3.1直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定 生活中有很多直線與平面垂直的實(shí)例，你能舉出生活中有很多直線與平面垂直的實(shí)例，你能舉出 幾個(gè)嗎？幾個(gè)嗎？ 旗桿與底面垂直旗桿與底面垂直 橋柱與水面的位置關(guān)系，給人橋柱與水面的位置關(guān)系，給人以直線與平面垂直的形象以直線與平面垂直的形象. . 思考思考1.1.陽(yáng)光下直立于地面的旗桿及它在地面的影子有何位陽(yáng)光下直立于地面的旗桿及它在地面的影子有何位 置關(guān)系置關(guān)系. . A B 1.1.旗桿所在的直線始終與旗桿所在的直線始終與 影子所在的直線垂直影子所在的直線垂直. 請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，我們一起來(lái)做如圖所請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，我們一起

2、來(lái)做如圖所 示的試驗(yàn)：過(guò)示的試驗(yàn)：過(guò)ABCABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)A A翻折紙片，得到折痕翻折紙片，得到折痕ADAD， 將翻折后的紙片豎起放置在桌上（將翻折后的紙片豎起放置在桌上（BDBD、DCDC與桌面接觸）與桌面接觸）. . A A B C D 思考思考3 3 (1)(1)折痕折痕ADAD與桌面垂直嗎？與桌面垂直嗎？ (2)(2)如何翻折才能保證折痕如何翻折才能保證折痕ADAD與桌面所在平面垂直？與桌面所在平面垂直？ 當(dāng)折痕當(dāng)折痕ADBCADBC時(shí)時(shí), ,折痕折痕ADAD與桌面所在平面垂直與桌面所在平面垂直. . B D C A BD,CD BD,CD都在桌面內(nèi)，都在桌面內(nèi)，BDCD=DBDCD

3、=D，ADCD,ADBD,ADCD,ADBD, 直線直線ADAD所在的直線與桌面垂直所在的直線與桌面垂直 l mn P l P 如果直線如果直線 l 與平面與平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，內(nèi)的任意一條直線都垂直， 我們說(shuō)我們說(shuō)直線直線 l 與平面與平面 互相垂直互相垂直， 記作記作 l 平面平面 的垂線的垂線 直線直線 l 的垂面的垂面 垂足垂足 對(duì)定義的認(rèn)識(shí)對(duì)定義的認(rèn)識(shí) “任何”表示所有. 直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況，在 垂直時(shí)，直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足. 等價(jià)于對(duì)任意的直線 ，都有 m 利用定義，我們得到了判定線面垂直的最基本方法，同時(shí)利用定義，我們得到了判定線面垂直的最

4、基本方法，同時(shí) 也得到了線面垂直的最基本的性質(zhì)也得到了線面垂直的最基本的性質(zhì). . a.ma l P 除定義外，如何判斷一條直線與平面垂直除定義外，如何判斷一條直線與平面垂直 呢？呢？ 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂 直，則該直線與此平面垂直直，則該直線與此平面垂直 b a l A al bl a b Aba l 作用：作用： 判定直線與平面垂直判定直線與平面垂直 簡(jiǎn)記為：簡(jiǎn)記為：線線垂直線線垂直 線面垂直線面垂直 “平面內(nèi)平面內(nèi)”，“相交相交”，“垂直垂直”三個(gè)條件必不可少三個(gè)條件必不可少 如圖，直四棱柱如圖，直四棱柱 （側(cè)棱與底面垂直（側(cè)棱與底

5、面垂直 的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形 滿足什么滿足什么 條件時(shí)，條件時(shí)， ？ ABCDDCBA ABCD DBCA A A B B C C D D 底面四邊形底面四邊形 對(duì)角對(duì)角 線相互垂直線相互垂直 ABCD 線面垂直判定定理的應(yīng)用 例 1：已知：如圖 1，空間四邊形 ABCD 中，ABAC，DB DC，取 BC 中點(diǎn) E，連接 AE、DE，求證：BC平面 AED. 圖 1 證明：ABAC，DBDC，E 為BC 中點(diǎn)， AEBC，DEBC. 又AE 與DE 交于E，BC平面AED. 由判定定理可知要證明直 線垂直平面，只需證明直線與平面內(nèi)的任意兩 條相交直

6、線垂直即可 C A B D O P ABCDPO OBDAC 平面平面 又 Q BDPO BDOPDPB的中點(diǎn)的中點(diǎn)是是點(diǎn)點(diǎn)又 Q, ACPO ACOPCPA的中點(diǎn)的中點(diǎn)是是點(diǎn)點(diǎn)證明證明 Q, P AB C O 3.如圖，圓如圖，圓O所在一平面為所在一平面為 ， AB是圓是圓O 的直徑，的直徑，C 在圓周上在圓周上, 且且PA AC, PA AB, 求證：（求證：（1）PA BC （2）BC 平面平面PAC , , 解：（1） 且 又 ABAC ABACA PAAC PAAB PA BC PABC QQ QQ PACBC AACPAPABC ACBC ，ABOC 面 又得由 為直徑上一點(diǎn)為圓

7、Q Q ,1 )2( 證明：PA O 所在平面， BCO 所在平面，PA BC， AB 為O 直徑， ACBC， 又 PA ACA， BC平面 PAC， 又 AE平面 PAC，BCAE， AEPC, PCBCC，AE平面 PBC. 例 3：如圖 6，已知 PA O 所在平面，AB 為 O 直徑， C 是圓周上任一點(diǎn)，過(guò) A 作 AEPC 于 E， 求證：AE平面 PBC. 圖 6 例例1 如圖，已知如圖，已知 ，求證，求證aba,/.b ba m n 根據(jù)直線與平面垂直的定義根據(jù)直線與平面垂直的定義 知知 .,nama 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?ab/ 所以所以.,nbmb 又又nmnm, 是兩條相交直線

8、，是兩條相交直線， 所以所以.b 證明：在平面證明：在平面 內(nèi)作內(nèi)作 兩條相交直線兩條相交直線m，n 因?yàn)橹本€因?yàn)橹本€ ，a 即：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一即：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一 條也垂直于同一個(gè)平面條也垂直于同一個(gè)平面 A V A B C .D VA= VC，AB=BC,ABCV 求證求證: : VB AC. . 中，中，在三棱錐在三棱錐 1. 1. 如圖，如圖， 練習(xí)：練習(xí)： 提示：提示：找找ACAC中點(diǎn)中點(diǎn)D,D,連接連接VD,BDVD,BD 0 2., ,. 1).,90 ,_. 2).,_. 3)., _. ABCPPO OPA P

9、B PC PAPBPCCOAB PAPBPCOABC PAPB PBPC PCPAOABC 過(guò)所在平面 外一點(diǎn)作垂足 為連接 若則 是邊的點(diǎn) 若則 是的心 若則 是 的心 中中 外外 垂垂 41.P 為ABC 所在平面外一點(diǎn)，O 為 P 在平面 ABC 上的 射影 (1)若 PA PBPC，則 O 是ABC 的_； (2)若 PA BC，PBAC，則 O 是ABC 的_； (3)若 P 到ABC 三邊的距離相等，且 O 在ABC 內(nèi)部，則 O 是ABC 的_； (4)若 PA 、PB、PC 兩兩互相垂直，則 O 是ABC 的_ 外心 垂心 內(nèi)心 垂心 解析：(1)如圖 23，PO平面 ABC，

10、 PA 、PB、PC 在平面 ABC 上的射影分別是 OA、OB、OC. 又PA PBPC，OAOBOC. O 是 ABC 的外心 圖 23 圖 24 (2)如圖 24，PO平面 ABC， PA 在平面 ABC 上的射影是 OA. BCPA ，BCOA. 同理可證 ACOB， O是 ABC 的垂心故填垂心 (3)如圖 25， 圖 25 P到 ABC 三邊的距離分別是 PD、PE、PF， 則 PDPEPF. PO平面 ABC，PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影 分別是 OD、OE、OF. ODOEOF，且 ODAB，OEBC，OFAC. O是 ABC 的內(nèi)心，故填內(nèi)心 PO平面 ABC，

11、 OA 是 PA 在平面 ABC 上的射影 又PA PB，PA PC， PA 平面 PBC. 又BC平面 PBC， PA BC.OABC. 同理可證 OBAC. O是 ABC 的垂心故填垂心 (4)如圖 26， 圖 26 直線與平面垂直的性質(zhì)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用 例 1：如圖 ，在四面體 PABC 中，若 PA BC， PBAC， 求證：PCAB. P A B C 思維突破：要證線線垂直，可先證線面垂直，進(jìn)而由線面 垂直的定義得出線線垂直 證明：過(guò) P 作 PH平面 ABC，垂足為 H，連接 AH、BH 和 CH. PA BC, PHBC，PA PHP， BC平面 PAH. 又 AH平面 PAH ，

12、BCAH. 同理 ACBH，即 H 為ABC 的垂心， ABCH. PHAB，CHPHH，AB平面 PCH. PC平面 PCH，PCAB. 點(diǎn)評(píng)：從本例可以進(jìn)一步體會(huì)線面位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化在 解(證)題中的作用 1. 1. 已知：正方體中，已知：正方體中，ACAC是面對(duì)角線，是面對(duì)角線， BDBD是與是與AC AC 異面的體對(duì)角線異面的體對(duì)角線. .求證：求證：ACBDACBD AB D C A B CD 正方體正方體ABCD-ABCD ABCD-ABCD DDDD正方形正方形ABCDABCD 證明：證明：連接連接BDBD AB D C A B C D ACAC、BD BD 為對(duì)角線為對(duì)角線A

13、CBDACBD DDBD=DDDBD=D ACAC平面平面DDBDDB 且且BDBD面面DDBDDB ACBD ACBD (1)(1)自一點(diǎn)自一點(diǎn)P P向平面向平面引垂引垂 線，垂足線，垂足P P/ /叫做叫做點(diǎn)點(diǎn)P P在平在平 面面內(nèi)的正射影內(nèi)的正射影( (射影射影) ) (2)(2)點(diǎn)點(diǎn)P P與垂足與垂足P P/ /間的線段間的線段 叫叫點(diǎn)點(diǎn)P P到平面到平面的垂線段的垂線段 (3)(3)如果圖形如果圖形F F上的所有點(diǎn)上的所有點(diǎn) 在一平面內(nèi)的射影構(gòu)成圖在一平面內(nèi)的射影構(gòu)成圖 形形F F/ /，則，則F F/ /叫做叫做圖形圖形F F在在 這個(gè)平面內(nèi)的射影這個(gè)平面內(nèi)的射影 一條直線和一個(gè)平

14、面相交， 但不和這個(gè)平面垂直，這條直 線叫這個(gè)平面的斜線這個(gè)平面的斜線，斜線和 平面的交點(diǎn)叫斜足斜足，斜線上一 點(diǎn)和斜足間的線段叫這點(diǎn)到這這點(diǎn)到這 個(gè)平面的斜線段個(gè)平面的斜線段 平面外一點(diǎn)到這個(gè)平面外一點(diǎn)到這個(gè) 平面的垂線段有且只有平面的垂線段有且只有 一條，而這點(diǎn)到這個(gè)平一條，而這點(diǎn)到這個(gè)平 面的斜線段有無(wú)數(shù)條面的斜線段有無(wú)數(shù)條 從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線， 過(guò)垂足和斜足的直線叫過(guò)垂足和斜足的直線叫斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射 影影垂足和斜足間的線段叫垂足和斜足間的線段叫這點(diǎn)到平面的斜線這點(diǎn)到平面的斜線 段在這個(gè)平面上的射影段在這個(gè)平面

15、上的射影 AB 平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所 成的成的夾角夾角，叫做，叫做斜線和平面所成的角斜線和平面所成的角 ( (或斜線或斜線 和平面的夾角和平面的夾角). ). 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱線面角線面角 為垂足 上任一點(diǎn)，為 為斜足，為一斜線， BAB lA Ol , 1 1、直線和平面垂直直線和平面垂直 直線和平面所成的角是直線和平面所成的角是 直角直角 直線和平面平行或在平面內(nèi)直線和平面平行或在平面內(nèi) 直線和平面所直線和平面所 成的角是成的角是0 0 2 2、直線與平面所成的角、直線與平面所成的角的取值范的取值范 圍是：圍是：_ _ 斜線與平面所成的角斜線

16、與平面所成的角的取值范圍的取值范圍 是：是：_ 2 0 2 0 O P A 斜線斜線 斜足斜足 線面所成角線面所成角 （銳角（銳角PAOPAO） 射影射影 關(guān)鍵：關(guān)鍵：過(guò)斜線上一點(diǎn)作平面的過(guò)斜線上一點(diǎn)作平面的垂線垂線 線面所成的角線面所成的角 1.如圖：正方體如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求中，求: （1）A1C1與面與面ABCD所成的角所成的角 （2） A1C1與面與面BB1D1D所成的角所成的角 （3） A1C1與面與面BB1C1C所成的角所成的角 （4）A1C1與面與面ABC1D1所成的角所成的角 A1 D1C1 B1 A DC B 45o 例例2、在正方體、在正方體ABCD

17、-A1B1C1D1中，求直中，求直 線線A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角 O 111 1111111 1111 11111 111 1111 1111 11 11 11 , , . , . 2 2 , 2 1 ,30 . 2 Q BCBCOAO ABBCABB B ABBCC B ABBCBCBC BCABCD AOABABCD BAOABABCD a Rt ABOABa BOa BOABBAO ABAB 解：連接交于點(diǎn)連接 ， 平面 又 平面 為斜線在平面內(nèi)的射影， 為與平面所成的角. 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 在中， 直線和平面 1 30 . CD所成的角為 例2：如圖 4，在正方體

18、 ABCDA1B1C1D1 中，求 A1B 與平 面 A1B1CD 所成的角 圖 4 解：連接 BC1 交 B1C 于 O，連接 A1O，在正方體 ABCD A1B1C1D1 中各個(gè)面為正方形，設(shè)其棱長(zhǎng)為 a. A1O 為 A1B 在平面 A1B1CD 內(nèi)的射影 BA1O 為 A1B 與平面 A1B1CD 所成的角 A1B 與平面 A1B1CD 所成的角為 30. 求直線和平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題 是：(1)先判斷直線和平面的位置關(guān)系(2)當(dāng)直線和平面斜交時(shí)， 常有以下步驟：作作出或找到斜線與射影所成的角； 證論證所作或找到的角為所求的角；算常用解三角 形的方法求角；結(jié)論說(shuō)明斜線和平面所成

19、的角值 圖 5 21.如圖 5，在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1D1 中， ABBC2， AA11，則 AC1 與平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值為( ) A 22.若斜線段 AB 是它在平面內(nèi)的射影長(zhǎng)的 2 倍，則 AB 與所成的角為() A60B45C30D120 答案：D 解析：如圖22 ，連接 A1C1 ，則AC1A1 為 AC1 與平面 A1B1C1D1 所成角 圖 22 1 1直線與平面垂直的概念直線與平面垂直的概念 （1 1）利用定義；）利用定義； （2 2）利用判定定理）利用判定定理 3 3數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的思想數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的思想 空間問(wèn)題空間問(wèn)題平面問(wèn)題平面問(wèn)題 2 2直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定 線線垂直線線垂直線面垂直線面垂直 垂直與平面內(nèi)任意一條直線垂直與平面內(nèi)任意一條直線 （3 3）如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那 么另一條也垂直于同一個(gè)平面么另一條也垂直于同一個(gè)平面 4 4直線