雙態(tài)量子系統(tǒng)

1、abstracttwo-state systems have two independent quantum states and can be described in a two-dimensional hilbert space. in this paper, we introduce the concept of two-state systems and enumerate two typical examples, the polarization of light quantum and the electron spin. we represent how to study a

2、 two-state system generally and how to deal with problems using matrix algebra. we study ammonia molecule system in depth using the schrdinger equation, write the matrix form of the equation by matrix algebra, and we can get the energy eigenvalues and eigenfunctions, the probability amplitude oscill

3、ation between two basis states of the system. we also introduce the level jump of the two-state systems in field, the quantum resonance happens when the frequency of the field is resonant frequency. at last, we introduce two applications of the two-state systems, one is the ammoina master, the other

4、 is nuclear magnetic resonance. key words：two-state systems; the polarization of light quantum; electron spin; ammonia molecule; the matrix form of the schrdinger equation; quantum resonance; ammoina master; nuclear magnetic resonance1.引言1.1雙態(tài)量子系統(tǒng)的概念量子態(tài)可以用希爾伯特空間中的一個(gè)矢量表示，一種非常簡(jiǎn)單的情況就是量子態(tài)矢量可以在二維的希爾伯特空間中

5、表示，這樣的量子態(tài)系統(tǒng)稱(chēng)為雙態(tài)量子系統(tǒng)。雙態(tài)量子系統(tǒng)是一種具有兩個(gè)相互獨(dú)立的量子態(tài)的量子系統(tǒng)，典型的雙態(tài)系統(tǒng)如氨分子的兩種結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)量子態(tài)，構(gòu)成雙態(tài)量子系統(tǒng)；自旋為的粒子，其自旋態(tài)可由自旋分量的本征態(tài)，為態(tài)基表示；光子以與光軸成角入射電氣石晶體，其可能被吸收，也可能無(wú)阻礙的通過(guò)，光子的偏振態(tài)，可由平行于光軸的偏振態(tài)和垂直于光軸的偏振態(tài)迭加表示，這是一個(gè)雙態(tài)量子系統(tǒng)。這些都是典型的雙態(tài)系統(tǒng)。1.2具體的描述下面對(duì)光子的偏振態(tài)和電子的自旋態(tài)兩個(gè)例子進(jìn)行具體的敘述。1.2.1光子的偏振態(tài)將一束偏振光入射電氣石晶體，其偏振面與電氣石晶體光軸垂直，光會(huì)全部通過(guò)，偏振面與光軸平行，光被晶體吸收。偏振面

6、與光軸成角，光會(huì)部分通過(guò)，通過(guò)的光強(qiáng)與入射光強(qiáng)之比為sin2。如果上述實(shí)驗(yàn)中的一束光僅含有一個(gè)光子，得到的結(jié)果是垂直于光軸方向偏振的光子會(huì)通過(guò)晶體，平行于光軸方向偏振的光子會(huì)被晶體吸收。與光軸成角偏振的光子則可能被吸收也可能通過(guò)晶體，進(jìn)行多次這樣的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)通過(guò)的光子數(shù)與全部光子數(shù)的比例是sin2。量子力學(xué)對(duì)上述實(shí)驗(yàn)的描述是將垂直于光軸方向偏振和平行于光軸偏振的光子的偏振態(tài)作為兩個(gè)獨(dú)立的量子態(tài)垂直偏振態(tài)和平行偏振態(tài)，任一其他的偏振態(tài)可由這兩個(gè)偏振態(tài)迭加表示。偏振方向與光軸成角的光子通過(guò)晶體時(shí)可能表現(xiàn)出垂直偏振態(tài)，也有可能表現(xiàn)出平行偏振態(tài)，所以可能通過(guò)也可能被吸收。將垂直偏振態(tài)和平行偏振態(tài)用和表

7、示，任一偏振態(tài)用表示，a是光子任一偏振態(tài)在垂直偏振態(tài)上的概率幅，其模平方是測(cè)量中光子處于的概率。b是光子在態(tài)上的概率幅，是測(cè)量中光子處于態(tài)的概率。由實(shí)驗(yàn)我們可知a=sin，所以1.2.2電子的自旋態(tài)電子置于磁場(chǎng)中，與磁場(chǎng)發(fā)生作用，在施特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn)中我們知道，其作用方向是與磁場(chǎng)方向相同或相反。電子自旋產(chǎn)生磁矩會(huì)與磁場(chǎng)發(fā)生作用，作用力與磁場(chǎng)方向相同其自旋為態(tài)，相反為態(tài)。電子的任一自旋態(tài)可以由這兩個(gè)相互獨(dú)立的自旋態(tài)迭加表示，其與磁場(chǎng)發(fā)生作用時(shí)自旋態(tài)可能表現(xiàn)為態(tài)或態(tài)1。用表示電子的任一自旋態(tài)是電子自旋態(tài)在態(tài)上的概率幅，是測(cè)量中電子處于自旋態(tài)的概率。是電子自旋態(tài)在態(tài)上的概率幅，是測(cè)量中電子處于自旋態(tài)的

8、概率。m，n滿(mǎn)足1.3雙態(tài)量子系統(tǒng)的研究方法研究一個(gè)雙態(tài)量子系統(tǒng)，例如一個(gè)偏振方向與電氣石晶體光軸成角入射的光子，我們研究的目的是光子被晶體吸收的概率與光子無(wú)阻礙通過(guò)的概率是多少，以及他們的變化規(guī)律。即要研究光子的偏振態(tài)在平行偏振態(tài)上的概率幅和垂直偏振態(tài)上的概率幅以及他們之間的關(guān)系。所以我們要關(guān)注的是系統(tǒng)量子態(tài)處于其兩個(gè)獨(dú)立量子態(tài)上的概率幅及其變化規(guī)律。在理論處理上，一般采用這樣的方法，系統(tǒng)的量子態(tài)可以在二維的希爾伯特空間中表示，系統(tǒng)中兩個(gè)獨(dú)立的量子態(tài)歸一化后可作為空間中的一組態(tài)基。將系統(tǒng)的量子態(tài)用這兩個(gè)態(tài)基分解表示，那么就得到系統(tǒng)量子態(tài)在這兩個(gè)態(tài)上的概率幅，再代入薛定諤方程，就可以解出概率幅

9、的具體表達(dá)式。在數(shù)學(xué)處理上我們利用矩陣代數(shù)可以將方程化為矩陣形式，再求解。一個(gè)多能級(jí)的量子系統(tǒng)，在特定情況下只需考慮其中的兩條能級(jí)，這樣就變成一個(gè)雙態(tài)量子系統(tǒng)2，本文討論的氨分子就是這樣的情況，在這里說(shuō)明清楚。氨分子中的氮原子能夠穿過(guò)三個(gè)氫原子構(gòu)成的平面，即在氫原子平面形成的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)3，計(jì)算可得到系統(tǒng)的能級(jí)分布，其能級(jí)數(shù)據(jù)為，(是所有其它的能級(jí))，并且，2a10-4ev，2a1 510-3ev，e1-e00.12ev4。在熱平衡條件下的氨分子氣體，根據(jù)玻爾茲曼分布律在時(shí)，1，10-6，1由以上結(jié)果可知，100k的氨分子氣體中氨分子處于,之外能級(jí)的概率非常小，可近似看作系統(tǒng)只有兩條能級(jí),5。本

10、文討論的便是處于這樣條件下的氨分子。在這種情況下系統(tǒng)的任一量子態(tài)可由兩個(gè)能量本征態(tài)線性迭加得到，也可將氨分子兩種結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的量子態(tài)作為一組態(tài)基。氨分子具有n條能級(jí)，量子態(tài)矢量所在的希爾伯特空間是n維的，經(jīng)過(guò)上述近似后，其就可以在一個(gè)二維的希爾伯特空間中表示。2.一個(gè)典型的雙態(tài)量子系統(tǒng)2.1氨分子氨分子是一種比較簡(jiǎn)單和典型的雙態(tài)量子系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)氨分子的研究，我們能了解處理雙態(tài)系統(tǒng)的一般方法和雙態(tài)系統(tǒng)的性質(zhì)。氨分子的具體結(jié)構(gòu)如圖所示6：hhhhhhnn 圖2.1 氨分子的兩種結(jié)構(gòu)一個(gè)氮原子與三個(gè)氫原子構(gòu)成一四面體，其穩(wěn)定結(jié)構(gòu)有兩種形式，其中下面的結(jié)構(gòu)中氮原子的位置是上面的結(jié)構(gòu)中氮原子在三個(gè)氫原子平面

11、的鏡像對(duì)稱(chēng)位置，這是兩種不同的結(jié)構(gòu)，這兩種結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)兩個(gè)獨(dú)立的量子態(tài)，設(shè)為、。這是一個(gè)雙態(tài)量子系統(tǒng)，這兩種結(jié)構(gòu)有相同的能量e0。將系統(tǒng)的量子態(tài)用表示，薛定諤方程為 （1）將態(tài)、歸一化，、可作為一組正交歸一化的態(tài)基，將在、態(tài)上分解， （2）其中，=1，2，ci即是系統(tǒng)量子態(tài)處于、態(tài)的概率幅將（2）式代入（1）式右邊，得到進(jìn)一步用左失（=1，2）乘等式兩端，得到 （3）將（3）式寫(xiě)成矩陣形式為 （4）、態(tài)對(duì)應(yīng)的經(jīng)典能量為e，其量子表示為，即由于哈密頓算符是厄米的可以假設(shè)，為一實(shí)數(shù)，那么式變?yōu)?（5）可以分開(kāi)寫(xiě)成我們可以通過(guò)以下的變換，找到系統(tǒng)的能量本征值和本征態(tài)，將兩式分別相加和相減，得到 （6）

12、（7）從上式可知系統(tǒng)能量本征值為e0+a，e0-a，令， （8）即，可得，、是系統(tǒng)的能量本征態(tài)（6），（7）式變?yōu)?（9） （10）由（9），（10）式可解得 ， （11），皆為定值，即，是定態(tài)概率幅，系統(tǒng)處于能量本征態(tài)的概率不變7。由（8）式可得， （12） （13）c1，c2不是定態(tài)概率福，系統(tǒng)處于、態(tài)的概率是變化的。假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)是處于態(tài)，即時(shí)，c1=1，c2=0，可得，代入（12），（13）式， （14） （15）系統(tǒng)處于、態(tài)的概率為 （16） （17）其變化規(guī)律用圖像表示為p圖2.2 氨分子概率振蕩曲線 由圖2.2可知，系統(tǒng)處于、態(tài)的概率是振蕩變化的，其對(duì)應(yīng)的經(jīng)典圖像可以理解為一

13、個(gè)初始狀態(tài)為態(tài)的氨分子，其氮原子穿過(guò)氫原子勢(shì)壘，到達(dá)氫原子平面的另一側(cè)形成穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的概率為。要考察系統(tǒng)處于、態(tài)的概率的具體變化過(guò)程，可以對(duì)（16），（17）式作短時(shí)近似處理，可以這樣來(lái)理解上式，原來(lái)處于純態(tài)的系統(tǒng)，時(shí)間后會(huì)有大小的概率躍遷至態(tài)，躍遷的概率幅度為，即單位時(shí)間躍遷的概率幅為。2.2雙態(tài)系統(tǒng)中的能級(jí)躍遷在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一個(gè)系統(tǒng)往往不只有兩個(gè)能級(jí)，但如果有兩個(gè)靠的很近的能級(jí)，它們到其他的能級(jí)的間隔要大的多，在特定的情況下，我們只考慮這兩個(gè)能級(jí)，那么這也是一個(gè)雙態(tài)系統(tǒng)問(wèn)題。假設(shè)在一個(gè)原子中，我們只考慮某兩條相鄰的能級(jí)，其能量本征值為ea和eb。將系統(tǒng)的量子態(tài)在兩個(gè)能量本征態(tài)上分解表示，

14、代入薛定諤方程，可得形式如（3）式的方程，由能量本征態(tài)的正交歸一性，可得即，薛定諤方程的矩陣形式為 （18）在外場(chǎng)作用下，電子可能會(huì)發(fā)生能級(jí)之間的躍遷設(shè)外加電場(chǎng)為，以原子核為坐標(biāo)原點(diǎn)，電子的勢(shì)能為 ，系統(tǒng)的哈密頓算符，是無(wú)外場(chǎng)時(shí)的哈密頓算符，矩陣形式為其中，薛定諤方程為 （19）即 （20） （21）上式的解在無(wú)外場(chǎng)時(shí)具有與（11）式相同的形式，包含，項(xiàng)，加外場(chǎng)時(shí)，解的形式為，代入（20），（21）式，得其中是兩條能級(jí)之間躍遷發(fā)出的光子的圓頻率，上式中+0，頻率較大，振動(dòng)快，-0頻率小，振動(dòng)慢，較長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)振動(dòng)頻率快的，其平均作用效果近似為0，所以可以將上式中的+0，項(xiàng)忽略不計(jì)，簡(jiǎn)化為在電子

15、的狀態(tài)是處于ea低能級(jí)的初始條件下，解得其中 （22） （23）p是t時(shí)間內(nèi)電子從低能級(jí)躍遷到高能級(jí)的概率，現(xiàn)在研究外電場(chǎng)頻率剛好與系統(tǒng)能級(jí)躍遷發(fā)出的光子頻率相等時(shí)的情況，即， （24） （25）圖像見(jiàn)圖2.3由圖2.3可知，系統(tǒng)初始狀態(tài)處于e低能級(jí)態(tài)，p=1，c=1，在時(shí)，系統(tǒng)完全處于高能態(tài)。電子在兩個(gè)能級(jí)態(tài)上概率幅的變化達(dá)到最大，我們可以將系統(tǒng)在兩個(gè)能級(jí)態(tài)上的概率幅看作是來(lái)回振蕩變化的。外電場(chǎng)頻率=0時(shí)，概率幅的振蕩達(dá)到最大，這稱(chēng)為量子共振現(xiàn)象。與經(jīng)典力學(xué)中的共振現(xiàn)象類(lèi)比，一個(gè)固有頻率為0的系統(tǒng)，受到一個(gè)頻率為的外力擾動(dòng)，當(dāng)逐漸接近0時(shí)，系統(tǒng)的振幅逐漸變大，=0時(shí)，振幅達(dá)到最大，這時(shí)系統(tǒng)與

16、外界的能量交換效率也達(dá)到最大。p圖2.3 量子共振圖像3 雙態(tài)量子系統(tǒng)的應(yīng)用3.1氨分子頻標(biāo)雙態(tài)量子系統(tǒng)兩條能級(jí)之間的躍遷會(huì)發(fā)出頻率高度穩(wěn)定的信號(hào)，可作為頻率標(biāo)準(zhǔn)，這稱(chēng)作量子頻標(biāo)。量子頻標(biāo)可用于精確的時(shí)間計(jì)量，其精確度是目前所有計(jì)量手段中最高的。第一個(gè)在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)的量子頻標(biāo)是氨分子頻標(biāo)，其利用的裝置如下8。輸出諧振腔輸入氨分子源focuser氨分子束圖3.1 氨分子激射器 氨分子射出后會(huì)經(jīng)過(guò)一個(gè)裝置，其橫截面如圖9，圖3.2 focuser裝置橫截面圖這是一個(gè)電四極裝置10。在電磁場(chǎng)中氨分子有一個(gè)電偶極矩元素與兩個(gè)能態(tài)相聯(lián)系，圖中的裝置是要挑選出處于高能態(tài)的氨分子。在電四極電場(chǎng)中，中間電場(chǎng)弱，

17、邊緣電場(chǎng)強(qiáng)。處于高能態(tài)的氨分子會(huì)通過(guò)該裝置到達(dá)諧振腔，低能態(tài)的氨分子則會(huì)被分離開(kāi)11。在諧振腔內(nèi)，如果一個(gè)氨分子發(fā)生能級(jí)躍遷，其發(fā)出的頻率為共振頻率的光子，會(huì)留在諧振腔內(nèi)，激發(fā)其他分子發(fā)生能級(jí)躍遷，躍遷產(chǎn)生的光子又會(huì)激發(fā)新的能級(jí)躍遷，這樣整個(gè)過(guò)程速度會(huì)越來(lái)越快，類(lèi)似于核反應(yīng)堆中的鏈?zhǔn)椒磻?yīng)12。我們可以向諧振腔內(nèi)輸入微波，用于激發(fā)氨分子的能級(jí)躍遷，在輸出端會(huì)得到放大的頻率為共振頻率的微波，其帶寬可以達(dá)到10-3hz13，氨分子共振中心頻率約為24000mhz，相對(duì)帶寬為10-13數(shù)量級(jí)，這樣就得到了頻率高度穩(wěn)定的微波信號(hào)14。3.2核磁共振恒磁場(chǎng)中的原子束，加一個(gè)交變磁場(chǎng)，原子核會(huì)發(fā)生能級(jí)之間的概率躍遷，設(shè)在z方向加恒磁場(chǎng)，x方向加交變磁場(chǎng)，哈密頓矩陣為薛定諤方程為其解與（22）式類(lèi)似，初始狀