信號與系統(tǒng)連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的幾種響應求解方法及例題

1、 求解微分方程 系統(tǒng)完全響應 = 零輸入響應 + 零狀態(tài)響應 求解齊次微分方程得到零輸入響應 利用卷積積分可求出零狀態(tài)響應 ( )( )( ) zizs y tytyt( )( )* ( ) zi ytf th t 1.系統(tǒng)的零輸入響應是輸入信號為零，僅由系統(tǒng)的 初始狀態(tài)單獨作用而產(chǎn)生的輸出響應。 0)()( )()( 01 )1( 1 )( tyatyatyaty n n n 數(shù)學模型: 求解方法： 根據(jù)微分方程的特征根確定零輸入響應的形式 再由初始條件確定待定系數(shù)。 解解: 系統(tǒng)的特征方程為 例例11 已知某線性時不變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為: y (t)+5y (t) +6y (t) =4f(

2、t), t0 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0) = 1，y (0) = 3， 求系統(tǒng)的零輸入響應yx(t)。 065 2 ss 32 21 ss， tt x KKty 3 2 2 1 ee)( 0,e5e6)( 32 tty tt x 系統(tǒng)的特征根為 y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y (0)= yx(0)= 2K13K2 =3 解得 K1= 6，K2= 5 例例22 已知某線性時不變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為: y (t)+4y (t) +4y (t) = 2f (t )+3f(t), t0 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0) = 2，y(0) = 1， 求系統(tǒng)的零輸入響應yx(t)。 解解: 系統(tǒng)的特征方程為

3、044 2 ss 2 21 ss tt x tKKty 2 2 2 1 ee)( 0,e3e2)( 22 ttty tt x 系統(tǒng)的特征根為 （兩相等實根） y(0)=yx(0)=K1=2; y(0)= yx(0)= 2K1+K2 =-1 解得 K1 = 2, K2= 3 例例2-4-32-4-3 已知某二階線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的動 態(tài)方程 初始條件y(0+)=1, y (0+)=2, 輸入信號f (t)=et u(t)， (1)求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應y(t) 。 0),()(8)( 6)(ttftytyty 086 2 ss 42 21 ss， tt KKty 4 2 2 1h ee)( 特征

4、根為 齊次解yh(t) 解解: (1) 求齊次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齊次解yh(t) 特征方程為 t0 例例 已知某二階線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的動態(tài)方程 初始條件y(0)=1, y (0)=2, 輸入信號f (t)=et u(t)，求 系統(tǒng)的完全響應y(t)。 0),()(8)( 6)(ttftytyty 解解: (2) 求非齊次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t) 由輸入f (t)的形式，設方程的特解為 yp(t) = Cet 將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)C=1/3。 t0 例例 已知某二階線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的動態(tài)方程 初始條件y

5、(0)=1, y (0)=2, 輸入信號f (t)=et u(t)，求 系統(tǒng)的完全響應y(t)。 0),()(8)( 6)(ttftytyty 解解: (3) 求方程的全解 解得 A=5/2，B= 11/6 ttt BAtytyty e 3 1 ee)()()( 42 ph 1 3 1 )0(BAy 2 3 1 42)0( BAy 0,e 3 1 e 6 11 e 2 5 )( 42 tty ttt o 求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf (t)方法： 1) 直接求解初始狀態(tài)為零的微分方程。 2) 卷積法： 利用信號分解和線性時不變系統(tǒng)的特性求解。 當系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時，由系統(tǒng)的外部激勵f(t) 產(chǎn)生

6、的響應稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，用yf (t)表示。 2.系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 卷積法求解卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應系統(tǒng)零狀態(tài)響應yf (t)的思路的思路 1) 將任意信號分解為單位沖激信號的線性組合 2) 求出單位沖激信號作用在系統(tǒng)上的響應 沖激響應 3) 利用線性時不變系統(tǒng)的特性，即可求出任意 信號f(t)激勵下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf (t) 。 卷積法求解卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應系統(tǒng)零狀態(tài)響應yf (t)推導推導 )()(tht )()(tht )()()()(thftf 由時不變特性 由均勻特性 由積分特性 d)()()(tftf d)()( )(thfty f )()(d)()()(thtfthfty f 例例 已知某LTI系統(tǒng)的動態(tài)方程式為： y(t) + 3y(t) = 2f(t) 系統(tǒng)的沖激響應 h(t) = 2e3t u(t), f(t) = 3u(t), 試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf (t)。 d)()()()()