畢業(yè)設(shè)計（論文）IIR數(shù)字濾波器的MATLAB設(shè)計與實現(xiàn)

1、iir數(shù)字濾波器的matlab設(shè)計與實現(xiàn)電子信息科學(xué)與技術(shù) 指導(dǎo)教師 摘要：面對龐雜繁多的原始信號，如何提取所需要的信號，同時抑制不需要的信號？這需要使用濾波器。濾波器是一種選頻系統(tǒng)，它對某些頻率的信號予以很小的衰減，讓這部分信號順利通過，而對其他不需要的頻率信號則予以很大的衰減，盡可能阻止這些信號通過。數(shù)字濾波器因其具有精度高、可靠性好、靈活性大等優(yōu)點，在工程上應(yīng)用相當(dāng)廣泛。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖擊響應(yīng)函數(shù)的時域特性又可以分為有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器（fir）和無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器（iir）。本文主要討論用matlab軟件實現(xiàn)iir數(shù)字濾波器設(shè)計。matlab語言是一種面向科學(xué)和工程計算的語言，

2、它具有編程效率高，調(diào)試手段豐富，擴充能力強等特點，其應(yīng)用設(shè)計眾多領(lǐng)域。matlab語言的信號處理工具箱不僅可以用來進行iir數(shù)字濾波器的設(shè)計，而且還可以使設(shè)計達到最優(yōu)化，是設(shè)計數(shù)字濾波器的強有力工具。關(guān)鍵詞：數(shù)字濾波器；模擬濾波器；iir；matlabdesign and realization of fir filter based on matlab science and technology of electronic information li feng tutor sun hongyanabstract: facing various confused the original

3、signal, how to extract needed signal and simultaneously to suppress dont need signal？this need to use filter. filter is a kind of frequency selective system. it for some frequency signal to small attenuation. let this part signal passed smoothly. for other dont need as the frequency of the signal sh

4、all be great attenuation is. as far as possible to prevent these signals through.because of its digital filter of high precision, good reliability and flexibility big advantages. in engineering application quite extensive. digital filter of shock response function according to the time domain proper

5、ties and can be divided into finite impulse response digital filter (fir) and infinite impulse response digital filter (iir). this paper mainly discusses the matlab software to realize iir digital filter design. matlab language is a kind of facing the science and engineering calculation language. it

6、 has high efficiency, commissioning means programming rich, strong ability to wait for a characteristic, extended its application design many other fields. matlab language signal processing toolbox not only can be used for the design of iir digital filter, and still can make a design to reach optimi

7、zation. it is designed digital filter, powerful tools.key words: digital filter;anolog filter;fir; matla.1 引言1.1 數(shù)字濾波器概述 數(shù)字濾波器根據(jù)其單位脈沖響應(yīng)特性不同可以分為iir濾波器和fir濾波器。目前數(shù)字濾波器的設(shè)計有許多現(xiàn)成的高級語言設(shè)計程序，但他們都存在設(shè)計效率較低，不具有可視圖形，不便于修改參數(shù)等缺點，matlab為數(shù)字濾波器的研究和應(yīng)用提供了一個直觀、高效、便捷的利器，它以矩陣運算為基礎(chǔ)，把計算、可視化、程序設(shè)計融合到了一個交互式的工作環(huán)境中，matlab信號處理工具箱

8、、圖像處理工具箱、小波工具箱等更是為數(shù)字濾波器的設(shè)計研究提供了可能。數(shù)字濾波器和模擬濾波器有著相同的濾波概念，根據(jù)其頻率響應(yīng)特性可分為低通、高通、帶通、帶阻等類型，與模擬濾波器相比，數(shù)字濾波器除了具有數(shù)字信號處理的固有優(yōu)點外，還有濾波精度高(與系統(tǒng)字長有關(guān))、穩(wěn)定性好(僅運行在0與1兩個電平狀態(tài))、靈活性強等優(yōu)點。但是，傳統(tǒng)的數(shù)字濾波器設(shè)計使用繁瑣的公式計算，改變參數(shù)后需要重新計算，從而在設(shè)計濾波器尤其是高通濾波器時工作量很大。利用matlab信號處理實驗箱(signal processing toolbox)可以快速有效的實現(xiàn)信號的設(shè)計與實現(xiàn)。1.2 matlab概述matlab是由美國ma

9、thworks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術(shù)計算語言和交互式環(huán)境，主要包括matlab和simulink兩部分。matlab是矩陣實驗室(matrix laboratory)的簡稱，和mathematic、maple并稱為三大數(shù)學(xué)軟件。它在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)軟件中數(shù)值計算方面首屈一指。matlab可以進行矩陣運算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要用于工程計算、控制設(shè)計、信號處理與通訊、圖像處理、信號、金融建模設(shè)計與分析等領(lǐng)域。matlab的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，故用m

10、atlab來解算問題要比用c、fortran等語言完成相同的事情簡捷的多，并且matlab也吸收了像maple等軟件的優(yōu)點，使matlab成為一個強大的數(shù)學(xué)軟件。在新的版本中也加入了對c，c+，fortran，java的支持，可以直接調(diào)用，用戶也可以將自己編寫的實用程序?qū)雖atlab函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用，此外許多的matlab愛好者都編寫了一些經(jīng)典程序，用戶可以直接下載使用。matlab工具箱是一些m文件的集合，用戶可以修改工具箱中的函數(shù)，更為重要是用戶可以通過編制m文件來任意的添加工具箱中原來沒有的工具函數(shù)。此功能充分體現(xiàn)了matlab語言的開放性。許多的專業(yè)領(lǐng)域在matlab中都有自

11、己的工具箱，比如信號處理工具箱、圖像處理工具箱以及小波工具箱等等。2 iir數(shù)字濾波2.1 iir數(shù)字濾波器原理iir數(shù)字濾波器是一種離散時間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為： 假設(shè)mn，當(dāng)mn,系統(tǒng)函數(shù)可以看做一個iir的子系統(tǒng)和一個（m-n）的fir子系統(tǒng)的級聯(lián)。iir數(shù)字濾波器的設(shè)計實際上是求解濾波器的系數(shù)和，它是數(shù)學(xué)上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準(zhǔn)則）去逼近系統(tǒng)的特性。如果在s平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。在設(shè)計數(shù)字濾波器時，首先根據(jù)具體的濾波成分，確定待設(shè)計數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)，再求解出滿足設(shè)計指標(biāo)的離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)h（z）。2.

12、2 模擬低通濾波器的原理及matlab語言實現(xiàn)2.2.1 butterworth型低通濾波器 butterworth型低通濾波器簡稱bw型低通濾波器，其幅度響應(yīng)的模方定義為： 式中n為濾波器階數(shù)，wc為濾波器的3db截止頻率，即a(wc)=-20lgh(jwc3db。當(dāng)wc=1時，butterworth模擬低通濾波器稱為歸一化的butterworth模擬低通濾波器。其matlab的調(diào)用格式為：n,wc= buttord(wp,ws,ap,as,s)num,den=butter(n,wc,s) 函數(shù)buttord的輸入?yún)?shù)wp和ws（rad/s）分別表示濾波器的通帶和阻帶截頻，ap和as(db)

13、表示濾波器的通帶和阻帶衰減，s表示所設(shè)計的是模擬濾波器。函數(shù)buttord的返回參數(shù)n為bw型濾波器的階數(shù)。wc（rad/s）等于bw型濾波器3db截頻wc由于wc由阻帶方程確定，故由參數(shù)n,wc得出的濾波器在阻帶剛好滿足設(shè)計指標(biāo)，在通帶將存在裕量。利用函數(shù)buttord獲得bw型濾波器參數(shù)nwc和后，再用函數(shù)butter獲得bw濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子多項式系(num)和分母多項式系數(shù)(den)。2.2.2 chebyshev型低通濾波器chebyshev型模擬低通濾波器簡稱cb型模擬低通濾波器，其幅度響應(yīng)的模方為：其中n為濾波器階數(shù)，和wc是濾波器的參數(shù)，c是n階chebyshev多項式。其m

14、atlab的調(diào)用格式為：n,wc=cheb1orb(wp,ws,ap,as,s)num,den=cheby1(n, ap ,wc,s)函數(shù)cheb1ord返回參數(shù)n表示cb型濾波器的階數(shù)，wc（rad/s）等于wp。參數(shù)n,wc的取值可使cheby1設(shè)計出的cb型濾波器在通帶剛好滿足設(shè)計指標(biāo)。cheby1函數(shù)利用參數(shù)n,wc和ap確定cb型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子多項式系(num)和分母多項式系數(shù)(den)。2.2.3 chebyshev型低通濾波器 chebyshev型模擬低通濾波器簡稱cb型模擬低通濾波器，其幅度響應(yīng)的模方為：其中n為濾波器階數(shù)，和wc是濾波器的參數(shù)。cb和cb型模擬低通濾波器

15、最大的區(qū)別是cb型模擬低通濾波器在通帶等波紋波動，參數(shù)控制通帶波動，cb型模擬低通濾波器在阻帶等波紋波動，參數(shù)控制通帶波動。其matlab的調(diào)用格式為：n,wc=cheb2orb(wp,ws,ap,as,s)num,den=cheby2(n, as ,wc,s)函數(shù)cheb2ord返回參數(shù)n表示cb型濾波器的階數(shù)，wc（rad/s）的取值可使由cheby2設(shè)計出的濾波器在通帶剛好滿足設(shè)計指標(biāo)。cheby2函數(shù)利用參數(shù)n,wc和as確定cb型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子多項式系(num)和分母多項式系數(shù)(den)。2.2.4 橢圓低通濾波器橢圓模擬低通濾波器又稱為cauer（考爾）濾波器，其幅度響應(yīng)在通

16、帶和阻帶都是等波紋震蕩，因而用模擬低通濾波器來實現(xiàn)相同指標(biāo)的濾波器時，所需的濾波器的階數(shù)通常最低，。n階橢圓模擬低通濾波器幅度響應(yīng)的模方定義為：其中是n階jacobi（雅克比）橢圓函數(shù)，其含有小于1的正參數(shù)k和k1。其matla b的調(diào)用格式為：n,wc=ellipord(wp,ws,ap,as,s)num,den=ellip(n, ap,as ,wc,s 函數(shù)ellipord的返回參數(shù)n表示橢圓濾波器的階數(shù)，wc=wp.函數(shù)ellip利用參數(shù)n,wc,ap和as確定橢圓濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子多項式系數(shù)和分母多項式系數(shù)。該函數(shù)在濾波器的階數(shù)確定后，重新計算濾波器的參數(shù)k1，故設(shè)計出的橢圓濾波器阻

17、帶衰減超過設(shè)計指標(biāo)，而其他指標(biāo)剛好滿足設(shè)計要求。3. iir數(shù)字濾波器的matlab語言實現(xiàn)iir濾波器設(shè)計設(shè)計方法：無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器（iir）的沖激響應(yīng)具有無限延伸的長度。它與模擬濾波器相匹配。進行iir濾波器設(shè)計，就是利用復(fù)制映射關(guān)系，將熟知的模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。與fir濾波器相比，在同等性能指標(biāo)要求下，iir階數(shù)要低于fir濾波器，但其相位是非線性的。在matlab中，由于數(shù)據(jù)是離線處理的，咋濾波前整個數(shù)據(jù)序列都可用，因此這是一種非因果和零相位的濾波方式，消除了iir濾波器的非線性相位失真。 matlab進行iir濾波器設(shè)計有以下4種方法：1、經(jīng)典設(shè)計法：首先設(shè)計滿足性能的

18、模擬濾波器，再利用線性變換離散化為數(shù)字濾波器。適用于巴特沃斯、契比雪夫以及橢圓數(shù)字濾波器的設(shè)計2、直接設(shè)計法：在離散域內(nèi)用最小二乘法逼近給定幅頻響應(yīng)。適用于遞歸數(shù)字濾波器的設(shè)計3、通用巴爾沃斯設(shè)計法：設(shè)計低通巴特沃斯濾波器，零點大于極點。適用于廣義數(shù)字巴特沃斯濾波器的設(shè)計4、參數(shù)模擬法：采用一定的參數(shù)模擬型來逼近預(yù)先給定的時域或者頻域響應(yīng)。適用于巴特沃斯、契比雪夫以及橢圓數(shù)字濾波器的設(shè)計。3.1 用經(jīng)典法設(shè)計iir數(shù)字濾波器經(jīng)典濾波器設(shè)計主要包含以下幾個步驟：（1）對目標(biāo)濾波器指標(biāo)，如邊界頻率進行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后的指標(biāo)作為設(shè)計截止頻率為1的模擬濾波器原型的技術(shù)指標(biāo)。（2）計算濾波器所需最小階數(shù)，并

19、利用模擬濾波器原型函數(shù)設(shè)計模擬濾波器原型。（3）用頻率轉(zhuǎn)換函數(shù)將求得的模擬濾波器原型轉(zhuǎn)換為模擬濾波器。（4）對模擬濾波器進行離散化，得到iir數(shù)字濾波器。經(jīng)典濾波器主要有兩種方法：一是脈沖響應(yīng)不變法，二是雙線性變換法。3.1.1 脈沖響應(yīng)不變法通過對模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(t)等間隔抽樣來獲得對應(yīng)數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)hk。若已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(s)，先對h(s)進行l(wèi)aplace逆變換獲得h(t)，再對h(t)等間隔抽樣得到hk，最后計算hk的z變換得到h(z)。利用matlab實現(xiàn)脈沖響應(yīng)不變法，其調(diào)用格式為：lbz,az=impinvar（b,a,fs)lbz,az=imp

20、invar（b,a)lbz,az=impinvar（b,a,fs,tol)該函數(shù)將分子向量為b、分母為向量為a的模擬濾波器，轉(zhuǎn)換為分子向量為bz、分母向量為az的數(shù)字濾波器。fs為采樣頻率，單位為hz，默認值為1hz。tol為誤差容限，表示轉(zhuǎn)換后的離散系統(tǒng)函數(shù)是否有重復(fù)的極點。例：用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計契比雪夫型數(shù)字低通濾波器，通帶截止頻率 =1000hz，阻帶截止頻率 =1500hz，采樣頻率 =5000hz，通帶衰減系數(shù)為 =0.3db，阻帶衰減系數(shù) =50db.%impuse invariance method design a cheby1 digital lowpass filter

21、wp=1000*2*pi;ws=1500*2*pi;fs=5000;rp=0.3;rs=50;n,wn=cheblord(wp,ws,rp,rs,s)z,p,k=cheblap(n,rp)a,b,c,d=zp2ss(z,p,k)at,bt,ct,dt=1p21p(a,b,c,d,wn)b,a=ss2tf(at,bt,ct,dt)bz,az=impinvar(b,a,fs)h,w=freqz(bz,az)plot(w*fs/(2*pi),abs(h);grid;xlabel(frequency/hz)ylabel(magnitude)程序運行結(jié)果為：n=9wn=6.2832e+003在圖形窗口，

22、得到如下圖所示的契比雪夫型數(shù)字低通濾波器的幅頻特性。3.1.2 雙線性變換法在將模擬濾波器h（s）轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器h（z）時，不是直接從s域到z域，而是先將非帶限的h（s）映射為帶限的h（s），再通過脈沖響應(yīng)不變法將s域映射到z域，即h（s）h（s）h（z）.利用matlab實現(xiàn)雙線性變換法，其調(diào)用格式為：lzd,pd,kd=bilinear（z,p,k,fs)lzd,pd,kd= bilinear（z,p,k,fs,fp)lnumd,dend= bilinear（num,den,fs)lnumd,dend= bilinear（num,den,fs,fp)lad,bd,cd,dd= bilin

23、ear（a,b,c,d,fs)lad,bd,cd,dd= bilinear（a,b,c,d,fs,fpzd,pd,kd=bilinear（z,p,k,fs)是把模擬濾波器的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的零極點模型，其中fs為采樣頻率。numd,dend= bilinear（num,den,fs)是將模擬濾波器的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)模型。ad,bd,cd,dd= bilinear（a,b,c,d,fs)是將模擬濾波器的狀態(tài)方程模型轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的狀態(tài)方程模型。fp為預(yù)卷繞參數(shù)，在進行雙線性變換之前，需對采樣頻率進行卷繞，保證頻率沖激響應(yīng)在雙線性變換前后有良好的單值映射關(guān)系。卷

24、繞過程如下：fp=2*pi*fpfs=fp/tan(fp/fs/2)例：用雙線性變化法設(shè)計一個巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，使其特性逼近低通模擬濾波器的如下指標(biāo)：通帶截止頻率 =21k rad/s，阻帶截止頻率 =24k rad/s，通帶波紋系數(shù) =0.3db，阻帶波紋系數(shù) =50db，采樣頻率 =5000hz實現(xiàn)代碼如下;%design a butterworth digital lowpass filterwp=1000*2*piws=4000*2*pirp=3rp=30fs=5000nn=128n,wn= buttord(wp,ws,ap,as,s)z,p,k= buttap(n)bap,aa

25、p= zp2tf(z,p,k)b,a= 1p21p(bap,aap,wn)bz,az= bilinear(b,a,fs)freqz(bz,az,nn,fs)在圖形窗口，得到巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的幅頻相頻特性，如下圖：3.2 iir濾波器的直接設(shè)計法及matlab實現(xiàn)iir濾波器經(jīng)典設(shè)計只限于幾種標(biāo)準(zhǔn)的低通、高通、高阻濾波器，對于具有任意形狀或者多頻帶濾波器設(shè)計則無能為力。針對這一問題，matlab提供了yulewalk()函數(shù)，使用最小二乘法擬合給定的頻率，使設(shè)計的濾波器達到期望的頻率特性，這就是濾波器直接設(shè)計法。yulewalk()函數(shù)的調(diào)用格式為：b,a=yulewalk(n,f,m)其

26、中，b和a分別為返回的濾波器傳遞函數(shù)的分子和分母向量，長度為n+1；n為濾波器的階數(shù)；f為離散的歸一化頻率向量，范圍是0,1，其第一個頻率點必須為0，最后一個頻率點必須為1，且f向量的頻率點必須是遞增的；m是和頻率向量對應(yīng)的幅值向量，并且維數(shù)和f相同。在定義頻率響應(yīng)時，為了獲得較好的設(shè)計，應(yīng)避免帶通至阻帶的過渡帶形狀過分尖銳，通常要調(diào)整過渡帶的頻率。yulewalk在時域采用最小二乘法進行擬合，并用修正的yulewalk方程計算分母系數(shù)，通過給定的頻率響應(yīng)作為逆傅里葉變換，計算相關(guān)系數(shù)。yulewalk計算時需要執(zhí)行以下步驟： （1）根據(jù)頻域功率的分解式來計算分子多項式的輔助式。 （2）根據(jù)分

27、母多項式和分子多項式的輔助式估計完整的頻率響應(yīng)。 （3）利用譜分析法得到濾波器的沖激響應(yīng)。 （4）用最小二乘法擬合該沖激響應(yīng)，得到分子多項式。例：運用方法設(shè)計一多通帶濾波器（梳狀濾波器），并繪制相應(yīng)的頻率響應(yīng)曲線。濾波器設(shè)計程序代碼如下：%design iir digital filter with yulewalk functionm=0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0;f=0 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.7 0.75 0.8 0.85 1;b,a=yulewalk(8,f,m);h,w=freqz(

28、b,a,128);plot(f,m,w/pi,abs(h);xlabel(frepuency/hz);ylabel(magnitude);在圖形窗口，得到采用yulewalk函數(shù)設(shè)計的多通帶濾波器幅頻特性，如下圖：3.3 基于廣義巴特沃斯的iir濾波器設(shè)計及matlab實現(xiàn)在iir濾波器的經(jīng)典設(shè)計中，所設(shè)計的巴特沃斯濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母階數(shù)都相等。所謂廣義巴特沃斯濾波器是指巴特沃斯低通濾波器的分子、分母階數(shù)可以不同，并且分子階數(shù)可以高于分母。廣義巴特沃斯濾波器又稱最大平滑濾波器，是巴特沃斯濾波器更為一般的表示形式。其調(diào)用形式為：la,b=maxflat(n,m,wn)lb=maxflat

29、(n,sym,wn)lb,a,b1,b2=maxflat(n,m,wn)lb,a,b1,b2,sos,g=maxflat(n,m,wn)lb,a=maxflat(n,m,wn)l.=maxflat(n,m,wn,design_flag)其中，b和a分別為maxflat返回的濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母系數(shù)向量。wn為濾波器在-3db處的截止頻率，范圍為01;design_flag參數(shù)是檢測濾波器設(shè)計的標(biāo)志，為了獲得濾波器設(shè)計的相應(yīng)表格，可令design_flag=trace；為獲得幅值響應(yīng)、群延遲和零極點圖，可令design_flag=plot；若兩者都需要，則設(shè)design_flag=both

30、。b=maxflat(n,sym,wn)：表示所設(shè)計的濾波器為對稱性iir巴特沃斯濾波器，只返回分母向量。b,a,b1,b2=maxflat(n,m,wn):除返回分子、分母多項式系數(shù)b和a外，還返回兩個分子多項式系數(shù)，b1是所有零點為z=-1的分子分解式相乘所得的多項式系數(shù)，b2是其他分子分解式相乘所得的多項式系數(shù)。例：用函數(shù)設(shè)計一個通用巴特沃斯低通濾波器，滿足系統(tǒng)函數(shù)分子階數(shù)為8，系統(tǒng)函數(shù)分母階數(shù)為3，截止頻率為1*。實現(xiàn)程序代碼如下：%design butterworth digital filter with maxflat functionnb=8;na=3;wn=0.6;b,a=m

31、axflat(nb,na,wn,plots)maxflat(nb,na,trace)在圖形窗口，得到最大平滑巴特沃斯低通濾波器的幅值響應(yīng)、群延遲和零極點圖，如下圖：4總結(jié) 借助好的計算機軟件來進行輔助設(shè)計，這已是科學(xué)研究領(lǐng)域的一個必然的發(fā)展趨勢。其中最具代表性的就是matlab軟件及其工具箱。用matlab軟件可以使數(shù)字濾波器的設(shè)計和實現(xiàn)變得事半功倍。fir濾波器的方法窗函數(shù)法，設(shè)計簡單，方便也實用。在matlab環(huán)境下，利用它已有的大量濾波器的設(shè)計函數(shù)，加上日益成熟且方便的界面技術(shù)，已經(jīng)可以把所有的設(shè)計方法和過程集成在一起，構(gòu)成一個濾波器綜合設(shè)計的工具。本設(shè)計的不完善之處是濾波器的實現(xiàn)方法僅限于書本所學(xué)，輸入信號雖然可以自己輸入但也僅限于matlab所能識別的函數(shù)組合，濾波器系數(shù)的量化問題也沒有考慮等，希望以后可以做的更加完善。參考文獻：1 張笑天，楊奮強.matlab 7.x基礎(chǔ)教程.西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2008:5-9