全國名校高中數(shù)學(xué)題庫橢圓

1、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題例1 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2）求的值分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由，根據(jù)關(guān)系可求出的值解：方程變形為因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以，解得又，所以，適合故例2 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法，求出參數(shù)和（或和）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為由橢圓過點(diǎn)，知又，代入得，故橢圓的方程為當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為由橢圓過點(diǎn)，知又，聯(lián)立解得，故橢圓的方程為例3 的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點(diǎn)的軌跡分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定義求

2、解（2）由的軌跡方程、坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求的軌跡方程解： （1）以所在的直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，知點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn)因，有，故其方程為（2）設(shè)，則 由題意有代入，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點(diǎn)）例4 已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程解：設(shè)兩焦點(diǎn)為、，且，從橢圓定義知即從知垂直焦點(diǎn)所在的對稱軸，所以在中，可求出，從而所求橢圓方程為或例5 已知橢圓方程，長軸端點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩

3、鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限由余弦定理知： 由橢圓定義知： ，則得 故 例6 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn)p滿足的關(guān)系式解：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法例7 已知橢圓，（1）求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡

4、方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線、斜率滿足，求線段中點(diǎn)的軌跡方程 分析：此題中四問都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（4）由得 ： ， ， 將平方并整理得， ， ， 將代入得： ， 再將代入式得： ， 即 此即為所求軌跡方程當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決例8 已知橢

5、圓及直線（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即，解得（2）設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由（1）得，根據(jù)弦長公式得 ：解得方程為說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式用弦長公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡化運(yùn)算過程例9 以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線上一點(diǎn)作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點(diǎn)應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，本題

6、實(shí)際上就是要在已知直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩已知點(diǎn)（即兩焦點(diǎn)）的距離之和最小，只須利用對稱就可解決解：如圖所示，橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，6），直線的方程為解方程組得交點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，4）此時(shí)最小所求橢圓的長軸：，又，因此，所求橢圓的方程為例10 已知方程表示橢圓，求的取值范圍解：由得，且滿足條件的的取值范圍是，且說明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：由得，故的取值范圍是出錯(cuò)的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個(gè)條件，當(dāng)時(shí)，并不表示橢圓例11 已知表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍分析：依據(jù)已知條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍解：方程可化為因?yàn)榻?/p>

7、點(diǎn)在軸上，所以因此且從而說明：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，這是容易忽視的地方(2)由焦點(diǎn)在軸上，知， (3)求的取值范圍時(shí)，應(yīng)注意題目中的條件例12求中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過和兩點(diǎn)的橢圓方程分析：由題設(shè)條件焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上不明確，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡便起見，可設(shè)其方程為(，)，且不必去考慮焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，直接可求出方程解：設(shè)所求橢圓方程為(，)由和兩點(diǎn)在橢圓上可得即所以，故所求的橢圓方程為例13 知圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，求線段中點(diǎn)的軌跡分析：本題是已知一些軌跡，求動(dòng)點(diǎn)軌跡問題這種題目一般利用中間變量(相關(guān)點(diǎn))求軌跡方程或軌跡解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則

8、，因?yàn)樵趫A上，所以將，代入方程得所以點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓說明：此題是利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)已知軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后根據(jù)題目要求，使，與，建立等式關(guān)系，從而由這些等式關(guān)系求出和代入已知的軌跡方程，就可以求出關(guān)于，的方程，化簡后即我們所求的方程這種方法是求軌跡方程的最基本的方法，必須掌握例14 已知長軸為12，短軸長為6，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，過它對的左焦點(diǎn)作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長分析：可以利用弦長公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來求解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解因?yàn)椋砸驗(yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以

9、橢圓方程為，左焦點(diǎn)，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：設(shè)，為方程兩根，所以， 從而(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設(shè)，則，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半徑求解先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標(biāo)再根據(jù)焦半徑，從而求出例15橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，為的中點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為a4b2 c8 d解：如圖所示，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，由橢圓第一定義得，所以，又因?yàn)闉榈闹形痪€，所以，故答案為a說明：(1)橢圓定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓(2)橢圓上的點(diǎn)必定適合橢圓的這一定義

10、，即，利用這個(gè)等式可以解決橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的有關(guān)距離例16 已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱分析：若設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則已知條件等價(jià)于：(1)直線；(2)弦的中點(diǎn)在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：(法1)設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線與交于點(diǎn)的斜率，設(shè)直線的方程為由方程組消去得。于是，即點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點(diǎn)，解得(法2)同解法1得出，即點(diǎn)坐標(biāo)為，為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，解得(法3)設(shè)，是橢圓上關(guān)于對稱的兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，在橢圓上，兩式相減得，即又直線，即。又點(diǎn)在直線上，。由

11、，得點(diǎn)的坐標(biāo)為以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點(diǎn)，關(guān)于直線恒對稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式：(1)利用直線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數(shù)方程(2)利用弦的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，滿足，將，利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式例17 在面積為1的中，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓方程解：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)則即得所求橢圓方程為例18 已知是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，求直線的方程分析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去(或)，得到關(guān)于(或)的一元

12、二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出，(或，)的值代入計(jì)算即得并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的解：方法一：設(shè)所求直線方程為代入橢圓方程，整理得 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，則、是的兩根，為中點(diǎn)，所求直線方程為方法二：設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)，為中點(diǎn)，又，在橢圓上，兩式相減得，即直線方程為方法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，另一個(gè)交點(diǎn)、在橢圓上，。 從而，在方程的圖形上，而過、的直線只有一條，直線方程為說明：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點(diǎn)考查的解析幾何問題，“設(shè)而不求”的方法是處理此類問題的有效方法若已知焦點(diǎn)是、的橢圓截直線所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4，則如何求

13、橢圓方程？典型例題一例1 橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：題目沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置解：（1）當(dāng)為長軸端點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；說明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)，給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況典型例題二例2 一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率解： ，說明：求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求，求，再求比二是列含和的齊次方程，再化含的方程，解方程即可典型例題三例3 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，的斜率為0.25，橢

14、圓的短軸長為2，求橢圓的方程解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得，為所求說明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（2）直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點(diǎn)、弦斜率問題典型例題四例4橢圓上不同三點(diǎn)，與焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列（1）求證；（2）若線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，求直線的斜率證明：（1）由橢圓方程知，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：， 同理 ，且， ，即 （2）因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以它的垂直平分線方程為 又點(diǎn)在軸上，設(shè)其坐標(biāo)為，代入上式，得 又點(diǎn)，都在橢圓上， 將此式代入，并利用的結(jié)論得 典型例題五例5 已知橢圓，、為兩焦點(diǎn)，問能否在橢圓上找一點(diǎn)，使到左準(zhǔn)線的距離是

15、與的等比中項(xiàng)？若存在，則求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：假設(shè)存在，設(shè)，由已知條件得，左準(zhǔn)線的方程是，又由焦半徑公式知：，整理得解之得或 另一方面 則與矛盾，所以滿足條件的點(diǎn)不存在說明：（1）利用焦半徑公式解常可簡化解題過程（2）本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù)已知條件進(jìn)行推理和運(yùn)算進(jìn)而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判斷（3）本例也可設(shè)存在，推出矛盾結(jié)論（讀者自己完成）典型例題六例6 已知橢圓，求過點(diǎn)且被平分的弦所在的直線方程分析一：已知一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為，利用條件求解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得由韋達(dá)定理得是弦中

16、點(diǎn)，故得所以所求直線方程為分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為、，列關(guān)于、的方程組，從而求斜率：解法二：設(shè)過的直線與橢圓交于、，則由題意得得 將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為說明：（1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，主要有三種類型：過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡（2）解法二是“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問題的題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率（3）有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法”有關(guān)二次曲線問題也適用典型例題七例7 求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）長軸長是短軸長的2倍，且過點(diǎn)；（2）在軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的聯(lián)機(jī)互相垂直，且焦距為6分析：當(dāng)方程有兩種形式時(shí)，應(yīng)分

17、別求解，如（1）題中由求出，在得方程后，不能依此寫出另一方程解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或由已知 又過點(diǎn)，因此有或 由、，得，或，故所求的方程為或（2）設(shè)方程為由已知，所以故所求方程為說明：根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”關(guān)鍵在于焦點(diǎn)的位置是否確定，若不能確定，應(yīng)設(shè)方程或典型例題八例8 橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)為最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)分析：本題的關(guān)鍵是求出離心率，把轉(zhuǎn)化為到右準(zhǔn)線的距離，從而得最小值一般地，求均可用此法解：由已知：，所以，右準(zhǔn)線過作，垂足為，交橢圓于，故顯然的最小值為，即為所求點(diǎn)，因此，且在橢圓上故所以說明：本題關(guān)鍵在于未知式中的“2”的處理事實(shí)上，

18、如圖，即是到右準(zhǔn)線的距離的一半，即圖中的，問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn)，使到的距離與到右準(zhǔn)線距離之和取最小值典型例題九例9 求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點(diǎn)到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值解：橢圓的參數(shù)方程為設(shè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離為當(dāng)時(shí)，說明：當(dāng)直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不易解決問題時(shí)，可建立曲線的參數(shù)方程典型例題十例10 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上的點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)分析：本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問題的能力，在求的最大值時(shí)，要注意討論的取值范

19、圍此題可以用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要善于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問題，從而加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是，其中待定由可得，即設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離是，則 其中如果，則當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值由題設(shè)得，由此得，與矛盾因此必有成立，于是當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值由題設(shè)得，可得，所求橢圓方程是由及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是解法二：根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是，其中，待定，為參數(shù)由可得，即設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則 如果，即，則當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值由題設(shè)得，由此得，與矛盾，因此必有成立于是當(dāng)

20、時(shí)（從而）有最大值由題設(shè)知，所求橢圓的參數(shù)方程是由，可得橢圓上的是，典型例題十一例11 設(shè)，求的最大值和最小值分析：本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一致設(shè)，顯然它表示一個(gè)圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的位置關(guān)系求得最值解：由，得 可見它表示一個(gè)橢圓，其中心在點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且過（0，0）點(diǎn)和（3，0）點(diǎn)設(shè)，則 它表示一個(gè)圓，其圓心為（1，0）半徑為在同一坐標(biāo)系中作出橢圓及圓，如圖所示觀察圖形可知，當(dāng)圓過（0，0）點(diǎn)時(shí)，半徑最小，即，此時(shí)；當(dāng)圓過（3，0）點(diǎn)時(shí)，半徑最大，即，的最小值為0，最大值為15典型例題十二例12 已知橢圓，、是其長軸的兩個(gè)端點(diǎn)（1）過一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于

21、長軸的弦，求證：不論、如何變化，（2）如果橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)，使，求的離心率的取值范圍分析：本題從已知條件出發(fā)，兩問都應(yīng)從和的正切值出發(fā)做出估計(jì)，因此要從點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率入手本題的第（2）問中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)：，根據(jù)得到，將代入，消去，用、表示，以便利用列出不等式這里要求思路清楚，計(jì)算準(zhǔn)確，一氣呵成解：（1）設(shè)， 于是，是到的角故 （2）設(shè)，則，由于對稱性，不妨設(shè)，于是是到的角， 整理得， ， ，或（舍），典型例題十三例13 已知橢圓的離心率，求的值分析：分兩種情況進(jìn)行討論解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，得由，得當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，得由，得，即滿足條件的

22、或說明：本題易出現(xiàn)漏解排除錯(cuò)誤的辦法是：因?yàn)榕c9的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點(diǎn)可能在軸上，也可能在軸上故必須進(jìn)行討論典型例題十四例14 已知橢圓上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，求到左準(zhǔn)線的距離分析：利用橢圓的兩個(gè)定義，或利用第二定義和橢圓兩準(zhǔn)線的距離求解解法一：由，得，由橢圓定義，得由橢圓第二定義，為到左準(zhǔn)線的距離，即到左準(zhǔn)線的距離為解法二：，為到右準(zhǔn)線的距離，又橢圓兩準(zhǔn)線的距離為到左準(zhǔn)線的距離為說明：運(yùn)用橢圓的第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性否則就會(huì)產(chǎn)生誤解橢圓有兩個(gè)定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時(shí)要靈活選擇，運(yùn)用自如一般地，如遇到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的問題，用橢圓第一定義；如果遇到動(dòng)點(diǎn)到定

23、直線的距離問題，則用橢圓的第二定義典型例題十五例15 設(shè)橢圓(為參數(shù))上一點(diǎn)與軸正向所成角，求點(diǎn)坐標(biāo)分析：利用參數(shù)與之間的關(guān)系求解解：設(shè)，由與軸正向所成角為，即而，由此得到，點(diǎn)坐標(biāo)為典型例題十六例16 設(shè)是離心率為的橢圓 上的一點(diǎn)，到左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)的距離分別為和，求證：，分析：本題考查橢圓的兩個(gè)定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離解：點(diǎn)到橢圓的左準(zhǔn)線的距離，由橢圓第二定義，由橢圓第一定義，說明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑（或焦點(diǎn)弦）的有關(guān)問題時(shí)，有著廣泛的應(yīng)用請寫出橢圓焦點(diǎn)在軸上的焦半徑公式典型例題十七例17已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，、分別是橢

24、圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)(1)求的最大值、最小值及對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求的最小值及對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法本題若按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就能簡捷求解解：(1)如上圖，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，由，等號僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)、共線由，等號僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)、共線建立、的直線方程，解方程組得兩交點(diǎn)、綜上所述，點(diǎn)與重合時(shí)，取最小值，點(diǎn)與重合時(shí)，取最大值(2)如下圖，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，作垂直橢圓右準(zhǔn)線，為垂足，由，由橢圓第二定義知，要使其和最小需有、共線

25、，即求到右準(zhǔn)線距離右準(zhǔn)線方程為到右準(zhǔn)線距離為此時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)與點(diǎn)縱坐標(biāo)相同為1，代入橢圓得滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)說明：求的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)化后，過向相應(yīng)準(zhǔn)線作垂線段巧用焦點(diǎn)半徑與點(diǎn)準(zhǔn)距互化是解決有關(guān)問題的重要手段典型例題十八例18 (1)寫出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用為簡化運(yùn)算和減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，所求問題便化歸為三角問題解：(1) (2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為，由對稱性知，矩形的鄰邊分別平行于軸和軸，設(shè)為矩形在第一象限的頂點(diǎn)，則故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12說明：通過橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題

26、，一般地，與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡便典型例題十九例19 已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)求證的面積與橢圓短軸長有關(guān)分析：不失一般性，可以設(shè)橢圓方程為（），（）思路一：根據(jù)題設(shè)容易想到兩條直線的夾角公式，即，設(shè)，化簡可得又，兩方程聯(lián)立消去得，由，可以確定離心率的取值范圍；解出可以求出的面積，但這一過程很繁思路二：利用焦半徑公式，在中運(yùn)用余弦定理，求，再利用，可以確定離心率的取值范圍，將代入橢圓方程中求，便可求出的面積思路三：利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合求解解：(法1)設(shè)橢圓方程為（），則，在中，由余弦定理得，解得(1)，即故橢圓離心

27、率的取范圍是(2)將代入得，即即的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)(法2)設(shè)，則(1)在中，由正弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立故橢圓離心率的取值范圍是(2)在中，由余弦定理得：，即即的面積與橢圓短軸長有關(guān)說明：橢圓上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)，構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點(diǎn)三角形，涉及有關(guān)焦點(diǎn)三角形問題，通常運(yùn)用三角形的邊角關(guān)系定理解題中通過變形，使之出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，這樣就可以應(yīng)用橢圓的定義，從而可得到有關(guān)，的關(guān)系式，使問題找到解決思路典型例題二十例20橢圓與軸正向交于點(diǎn)，若這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)，使(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求其離心率的取值范圍分析：、為定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，可以點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍

28、建立關(guān)于、的一個(gè)不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式為減少參數(shù)，易考慮運(yùn)用橢圓參數(shù)方程解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，則橢圓上的點(diǎn)，即，解得或，（舍去），又，又，說明：若已知橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點(diǎn)使如何證明？歷屆高考中的“橢圓”試題精選（自我測試）一、選擇題： 1.(2007安徽文)橢圓的離心率為（ ）（a） （b）（c） （d）2.(2008上海文)設(shè)是橢圓上的點(diǎn)若是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則等于（ ）a4b5c8d10 3（2005廣東）若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則m=（ ）abcd4（2006全國卷文、理）已知abc的頂點(diǎn)b、c在橢圓y21上，頂點(diǎn)a是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在bc邊

29、上，則abc的周長是（ ）（a）2 （b）6 （c）4 （d）125（2003北京文）如圖，直線過橢圓的左焦點(diǎn)f1和 一個(gè)頂點(diǎn)b，該橢圓的離心率為（ ）a b c d6（2002春招北京文、理）已知橢圓的焦點(diǎn)是f1、f2、p是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)如果延長f1p到q，使得|pq|=|pf2|，那么動(dòng)點(diǎn)q的軌跡是（ ） （a）圓 （b）橢圓 （c）雙曲線的一支 （d）拋物線7（2004福建文、理）已知f1、f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過f1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于a、b兩點(diǎn)，若abf2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（ ）（a） （b） （c） （d）8.（2007重慶文）已知以f1（-2,0），f2

30、（2,0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長軸長為（ ）（a）（b）（c）（d）二、填空題：9(2008全國卷文)在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率 10（2006上海理）已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為f（2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 11.（2007江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，已知頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓上，則 .12（2001春招北京、內(nèi)蒙、安徽文、理）橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)為a，以a為直角頂點(diǎn)作一個(gè)內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是_ 歷屆高考中的“雙曲線”試題精選（自我測試）一、選擇題： 1（2005全國卷文，2004春招北京文、理）雙曲

31、線的漸近線方程是（ ）（a） （b） （c） （d）2.（2006全國卷文、理）雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則（ ）a b c d3（2000春招北京、安徽文、理）雙曲線的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是（ ）a2 b c d4.（2007全國文、理）已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是（-4，0），（4，0），則雙曲線方程為（ ）（a） （b） （c） （c）5.(2008遼寧文) 已知雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，則( ) a1b2c3d46（2005全國卷iii文、理）已知雙曲線的焦點(diǎn)為f1、f2，點(diǎn)m在雙曲線上且則點(diǎn)m到x軸的距離為（ ）a b c d7(2008福建

32、文、理)雙曲線（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為，若p為其上的一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）8.(2007安徽理)如圖，和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）（a）（b）（c）（d）二、填空題：9.（2008安徽文）已知雙曲線的離心率是。則 10（2006上海文）已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,且焦距與虛軸長之比為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.11（2001廣東、全國文、理）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，點(diǎn)p在雙曲線上，若，則點(diǎn)p到軸的距離為 _ 12（2005浙江文、理）過雙曲線的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線

33、相交于m、n兩點(diǎn)，以mn為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率等于_ _歷屆高考中的“拋物線”試題精選（自我測試 ）一、選擇題： 1（2006浙江文）拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ） (a) (b) (c) (d) 2.（2005江蘇）拋物線上的一點(diǎn)m到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)m的縱坐標(biāo)是（ ）a b c d03.(2004春招北京文)在拋物線上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則p的值為（ ）a. b. 1c. 2d. 44（2004湖北理）與直線2x-y+4=0平行的拋物線y=x2的切線方程是（ ）(a) 2x-y+3=0 (b) 2x-y-3=0 (c) 2x-y+1=0 (d) 2x-y-

34、1=05（2001江西、山西、天津文、理）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為o，拋物線與過焦點(diǎn)的直線交于a、b兩點(diǎn)，則（ ） （a） （b） （c）3 （d）36(2008海南、寧夏理)已知點(diǎn)p在拋物線y2 = 4x上，那么點(diǎn)p到點(diǎn)q（2，1）的距離與點(diǎn)p到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)p的坐標(biāo)為（ ）a. （，1） b. （，1）c. （1，2） d. （1，2）7（2007全國文、理）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為f，準(zhǔn)線為l,經(jīng)過f且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)a，akl,垂足為k，則akf的面積是（ ）（a）4 （b）3 (c) 4 (d)88（2006江蘇）已知兩點(diǎn)m（2，0）、n（2，0）

35、，點(diǎn)p為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足0，則動(dòng)點(diǎn)p（x，y）的軌跡方程為（ ）（a）（b）（c）（d）二.填空題:9( 2007廣東文)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線關(guān)于x軸對稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn)o，且過點(diǎn)p(2,4)，則該拋物線的方程是 10(2008上海文)若直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 11（2004春招上海）過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于軸的直線，交拋物線于、兩點(diǎn)，則以為圓心、為直徑的圓方程是_.12（2006山東文、理）已知拋物線，過點(diǎn)p(4,0)的直線與拋物線相交于a( 兩點(diǎn)，則y的最小值是 歷屆高考中的“橢圓”試題精選（自我測試） 參 考 答 案一、選擇題： 二、填空題：9 10 。 11. 。

36、 12歷屆高考中的“雙曲線”試題精選（自我測試）參 考 答 案一、選擇題： 二、填空題：9. 4 ； 10 11 ； 12_ 2_歷屆高考中的“拋物線”試題精選（自我測試 ）參 考 答 案一、選擇題： 二.填空題:9 ； 10 -1. 11 ；1232。數(shù)學(xué)圓錐曲線測試高考題選講（含答案）一、選擇題：1. （2006全國ii）已知雙曲線的一條漸近線方程為yx，則雙曲線的離心率為（ ）（a） (b) (c) (d)2. （2006全國ii）已知abc的頂點(diǎn)b、c在橢圓y21上，頂點(diǎn)a是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在bc邊上，則abc的周長是（ ）（a）2 （b）6 （c）4 （d）123

37、.（2006全國卷i）拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是（ ）a b c d4（2006廣東高考卷）已知雙曲線，則雙曲線右支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離之比等于（ ）a. b. c. 2 d. 45.（2006遼寧卷）方程的兩個(gè)根可分別作為（ ）一橢圓和一雙曲線的離心率兩拋物線的離心率一橢圓和一拋物線的離心率兩橢圓的離心率6.（2006遼寧卷）曲線與曲線的（ ）(a)焦距相等 (b) 離心率相等 (c)焦點(diǎn)相同 (d)準(zhǔn)線相同7（2006安徽高考卷）若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為（ ）a b c d8.（2006遼寧卷）直線與曲線 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）(a)1 (b)2

38、(c)3 (d)4（文科做理科不做）（2006浙江卷）拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ） (a) (b) (c) (d) （文科做理科不做）（2006上海春）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）（a）. （b）. （c）. （d）.二、填空題：9. （2006全國卷i）雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則 。10. (2006上海卷)已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn)，則求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。11雙曲線的一條準(zhǔn)線是，則m的值是_ _。12焦點(diǎn)在直線上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ _。13. （理科做文科不做）(上海卷)已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,且焦距與虛軸長之比為，則雙

39、曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.14（理科做文科不做）（2006江西卷）已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)下面四個(gè)命題的內(nèi)切圓的圓心必在直線上；的內(nèi)切圓的圓心必在直線上；的內(nèi)切圓的圓心必在直線上； 的內(nèi)切圓必通過點(diǎn)其中真命題的代號是（寫出所有真命題的代號）題目12345678910答案三 、解答題：15.已知拋物線關(guān)于y軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)m（），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。16.求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，實(shí)半軸長、虛半軸長和漸近線方程，并作出草圖。17.當(dāng)a為何值時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)？18.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一個(gè)橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)f1,f2,且,橢圓的長半軸與雙曲線的半實(shí)軸之差為4，離心率之比為3：7。求這兩條曲線的方程。19.求與雙曲線共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線方程。20.（文科選做兩小問，理科全做）(2006上海卷)已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（3）過原點(diǎn)