北京林業(yè)大學(xué)線性代數(shù)期末試題0410

1、北京林業(yè)大學(xué)2004-2005學(xué)年第一學(xué)期考試試卷解答一、 填空題(每空3分,共30分)1、設(shè)都是5階矩陣,且,則2、3、二次型對應(yīng)的矩陣為 .4、若二次型正定，則的取值范圍是.5、設(shè)， 則= 2 ； = 3 ； = 0 ；=二、（8分）計算階行列式解：=三、（8分）解矩陣方程 求解:令則四、（10分）求a,b為何值時，方程組有唯一解、無解或有無窮多解？在有解時，求其通解無解，無窮多解.五、（8分）求向量組的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示.解：六、（10分）證明：是的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以有：(2)、過渡矩 因為所以為正交矩陣(3)、因為在基下的坐標(biāo)是，所以下的坐標(biāo)是

2、七、（12分）設(shè)實(shí)對稱矩陣，問是否能與對角陣相似？若能與對角陣相似，求對角陣及可逆陣，使得，并求（為正整數(shù)）.解：的特征值為。對應(yīng)的特征向量為對應(yīng)的特征向量為因為有四個線性無關(guān)的特征向量，所以可以對角化。令，則=，八、（10分）用非退化線性變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型.解：，.有基礎(chǔ)解系，正交化、單位化得,；有基礎(chǔ)解系，取。令，x=ty，則.九、（6分）設(shè)實(shí)對稱矩陣和是相似矩陣，證明：存在正交矩陣，使得.證：設(shè)為的特征值，因為，所以和有相同的特征值，因此的特征值也是，又因為為實(shí)對稱矩陣，故存在正交矩陣，使得令，則為正交矩陣，且。附：各章試題分值所占比例ch1 ch2 ch3 ch4 ch5 ch6

3、16分 18分 18分 16分 16分 16分北京林業(yè)大學(xué)2006 2007學(xué)年第2學(xué)期試卷(a)解答試卷名稱： 線性代數(shù) 課程所在院系： 理學(xué)院 考試班級： 學(xué)號： 姓名： 成績： 一、填空題(將正確答案填在題中橫線上)（每空3分，共計30分）1、2設(shè)(2，-1，5)，(-1,1,1)，則，323、如果一個向量組線性無關(guān)， 那么它的任意一個部分組線性_無_關(guān)。4、設(shè)三階可逆矩陣的特征值是、， 則的特征值為1、，且5、設(shè) a 是3階方陣，且，則= 25 6、設(shè) , 則 等 于 7、設(shè)三階方陣 , 其 中 均是三維列向量, 則8、設(shè)矩陣 , , , ， 則的秩等于_3_。二、計算行列式 (本大題

4、8分)三、解答題(本大題6分)取何值時，矩陣的秩是2.四、解答題(本大題10分) 五、解答題(本題8分 ) 求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.解：對系數(shù)矩陣作初等變換：得同解方程組, 取得一個基礎(chǔ)解系：六、解答題(本題10分) 當(dāng) k 取何值時, 方程組 有解, 并求出此時的通解.解： 當(dāng) 時, 方程組有解且有無窮多解 此時 ，七、證明題(本題6分 ) 八、證明題( 本題8分 ) .證明： 根據(jù) 得 所以當(dāng) n為奇數(shù)時 得.九 、解答題(本題14分) 設(shè) ， （1）求的特征值和特征向量（2）求正交矩陣， 使為對角陣， 并寫出對角陣。解：（1） 的 特 征 值 為 , 當(dāng) 時， , 對 應(yīng) 于 的

5、 特 征 的 向 量 為 當(dāng) 時 , , 對 應(yīng) 于 的 特 征 向 量 為， , （2）將 單 位 化 , , 令 , 則 是 正 交 陣， 且 北京林業(yè)大學(xué)2005-2006學(xué)年第一學(xué)期考試試卷b試卷名稱： 線性代數(shù) 課程所在院系： 考試班級 學(xué)號 姓名 成績 題號一二三四五六七八九得分閱卷人一、填空題(每空3分,共24分)1、 已知,則 答案：2、,已知矩陣a的秩r(a)=2,則 答案：3、設(shè)是可逆矩陣的一個特征值,則矩陣有一個特征值等于 答案：4、 從的基到基的過渡矩陣為。答案：5、 在基，下的坐標(biāo)是_。答案：6、 設(shè)為階矩陣，若，則必有一特征值為_.答案：7、實(shí)對稱陣的所有特征值為，

6、則對應(yīng)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為_。答案：8、 二次型的規(guī)范形是_。答案：二、（10分）計算階行列式答案：三、（8分）解矩陣方程 求答案：令則四、（10分）求向量組的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示。答案：一個極大線性無關(guān)組為五、（10分）求常數(shù)值，使方程組答案：無解六、（10分）設(shè)，1. 求一個與都正交的向量。2.利用施密特正交化方法，把向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交基解：（1）設(shè)，由 由于，可解得，為任意常數(shù)。 4分（2）與都正交，只需正交化。 9分七、（10分）設(shè)3階矩陣a的特征值，對應(yīng)的特征向量為，求及解：令，則， 2分， 6分 8分八、（10分），求可逆矩陣,使為對角矩陣,并給出

7、解：特征根為： 4分當(dāng)時， 當(dāng)時， 8分故 10分九、（8分）取何值時,二次型正定? 解：對應(yīng)的實(shí)對稱矩陣， 2分由， 6分可解得，此時正定。 8分北京林業(yè)大學(xué)2007-2008學(xué)年第一學(xué)期考試試卷a 試卷名稱： 線性代數(shù) 課程所在院系： 考試班級 學(xué)號 姓名 成績 題號一二三四五六七八總分得分閱卷人試卷說明：1. 考試時間為 120分鐘，請掌握好答題時間；2. 答題之前，請將試卷和答題紙上的考試班級、學(xué)號、姓名填寫清楚；3. 本試卷所有試題答案寫在 試卷 上；（特殊要求請詳細(xì)說明）4. 答題完畢，請將試卷和答題紙正面向外對疊交回，不得帶出考場；一、填空題(每空3分,共計33分)1、設(shè)為3階方

8、陣,且則行列式 2 .2、設(shè)均為4維列向量, 且矩陣, ,如果，則行列式.3、若,則齊次線性方程組基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)為_1_.4、設(shè)是矩陣，則非齊次線性方程組有唯一解的充要條件是 r(a，b)=r(a)=n ,有無窮多解的充分必要條件是 r(a，b)=r(a)n 5、設(shè)向量與向量都正交,則 0 ， -1 .6、實(shí)對稱矩陣的特征值都是 實(shí) 數(shù).7、已知3階矩陣的特征值是,則的三個特征值為.8、若二次型是正定的，則的取值范圍是.9、存在m階可逆矩陣p與n階可逆矩陣q,使得a=pbq.這是矩陣a與b等價（相抵）的 充要 條件.二、（8分）計算n階行列式解：三、（10分）解矩陣方程已知 求矩陣.解

9、：四、（12分）已知方程組，當(dāng)為何值時方程組無解？當(dāng)為何值時方程組有解？并求解解：所以 (1) 時無解； (2) 時有解， 通解為五、（8分）已知向量組試證明向量組線性相關(guān)；并求向量組的一個極大線性無關(guān)組；將其余向量表示成此極大線性無關(guān)組的線性組合.證：，則向量組線性相關(guān)；是向量組的一個極大線性無關(guān)組，且六、（10分）已知和是線性空間的兩組基,其中 (1) 求由基到基的過渡矩陣.(2) 設(shè)向量在基下的坐標(biāo)為,求在基下的坐標(biāo).解：（1）設(shè)(2) 設(shè)向量在基下的坐標(biāo)為x=,在基下的坐標(biāo)為y，則七、（14分）求正交變換,將二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出正交矩陣.解：解：，.有基礎(chǔ)解系，正交化、單位化得,

10、；有基礎(chǔ)解系，取。令，x=ty，則.八、（5分）設(shè)為實(shí)對稱矩陣,，且.求的跡.解：設(shè)為的特征值，為對應(yīng)的特征向量又，所以知為重特征值，為重特征值，故。北京林業(yè)大學(xué)2008-2009學(xué)年第一學(xué)期試卷a 試卷名稱： 線性代數(shù)（56學(xué)時） 課程所在院系： 理學(xué)院 考試班級 學(xué)號 姓名 成績 試卷說明：1. 本次考試為 閉 卷考試。認(rèn)真審題，請勿漏答；2. 考試時間為 120 分鐘，請掌握好答題時間；3. 本試卷所有試題答案寫在 試卷 紙上，其它無效；4. 答題完畢，請將試卷紙正面向外對疊交回，不得帶出考場；一、判斷題（下列命題你認(rèn)為正確的在題后括號內(nèi)打“”，錯的打“”）（每小題3分，共 12 分）1

11、、若方程組含有自由未知量，則方程組將有無窮多解.（ ）2、一個階矩陣為非奇異的，當(dāng)且僅當(dāng)相抵于（是單位矩陣.（ ）3、任何兩個跡相同的階矩陣是相似的.（ ）4、設(shè)是矩陣，則. （ ）二、單項選擇題(在每小題四個備選答案中選出一個正確答案,填在題中括號內(nèi))(每題3分, 共 15 分)1、已知（ ）； ； ； , 2、均為階方陣，且，則 ( c ).均為零矩陣； 至少有一個矩陣為奇異矩陣；至少有一個為零矩陣； 均為奇異矩陣.3、是維向量組線性相關(guān)的( a )條件. 充分； 必要； 充分必要； 必要而不充分的；4、設(shè)為齊次線性方程組的解，為非齊次線性方程組的解，則( c ).為的解； 為的解；為的解

12、； 為的解.5、 設(shè)是正交矩陣，是的第列，則與的內(nèi)積等于（ ）； ； ； 三、填空(將正確答案填在題中橫線上，每題3分, 共 21 分)1、設(shè)a為三階方陣，且，則1/162、設(shè)都是維行向量，且行列式，則_16_.3、設(shè)是階矩陣，若齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中含有一個解向量，則 o 4、設(shè)矩陣，若、可逆，則也可逆且5、若方程組 有解, 則 7 6、設(shè)，則當(dāng)k=1/4時，線性相關(guān)。7、滿足時, 二次型 是正定的. 四、設(shè),且， 求. （8分）五、設(shè)求已知的向量組的一個含有的極大線性無關(guān)組，并將其余向量用它線性表示。（8分）向量組的一個含有的極大線性無關(guān)組為，六、求方程組的基礎(chǔ)解系，并用它表示出方程組

13、的通解. (10分) 解：對系數(shù)矩陣作初等變換：, 基礎(chǔ)解系是 通解為 （為任意常數(shù) 七、 已知 是的一組基, 設(shè)，(8分 )1、 求由基到基的過渡矩陣.2、 求在基下的坐標(biāo).解：由基到基的過渡矩陣為 所以由基到基的過渡矩陣為 故向量在基下的坐標(biāo)為: 八、用正交變換化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)形， 并寫出 所用正交變換。(12分)解： 正交矩陣經(jīng)正交變換，化為標(biāo)準(zhǔn)形：九、設(shè)為矩陣，證明:如果, 那么 秩+秩. (6分)證明：將分塊為：，因為已知 所以 是方程組的解取出方程組的一個基礎(chǔ)解系：，其中所以可由線性表出故 秩秩秩秩+秩北京林業(yè)大學(xué)2009-2010學(xué)年第一學(xué)期試卷 試卷名稱： 線性代數(shù)（56學(xué)時

14、a卷） 課程所在院系： 理學(xué)院 一、填空題(每小題3分, 共 30 分)1、行列式。 2、設(shè)為三階方陣，已知，則 9 。3、方程的解為。4、設(shè)三階矩陣的三個特征值為，則 21 。5、設(shè)，則 8 ， 3 。6、設(shè)矩陣的秩為2，則常數(shù) 1 。7、設(shè)，則。8、已知向量組線性相關(guān)，則 1 。9、已知實(shí)向量空間有兩組基；，則由基到基的過渡矩陣。10、二次型 不是 （是、不是）正定的。二、單選題（每小題3分，共15分）1、如果，則（ b ）。2、下列命題成立的是（ b ）。若，則； 若，則；若，則； 若，則或。 3、向量組線性無關(guān)的充要條件是（ d ）。均不為零向量；中有一個部分向量組線性無關(guān)；中任意兩個向量的對應(yīng)分量不成比例；中任意一個向量都不能由其余個向量線性表示。4、設(shè)非齊次線性方程組中，系數(shù)矩陣且，則（ c ）。當(dāng)時，方程組有惟一解；當(dāng)時，方程組有惟一解；當(dāng)時，方程組有解；當(dāng)時，方程組有無窮多解。5、設(shè)階矩陣可逆，則（ d ）。必有個不同的特征值； 必有個線性無關(guān)的特征向量；必相似于一可逆的對角矩陣； 特征值必不為零。三、（10分）解矩陣方程，其中。解：四、（10分）驗證向量組，的線性相關(guān)性，若線性相關(guān)，試求其中一個向量由其