立體幾何中的向量方法(一)PPT

1、-直線的方向向量與平面的法向量直線的方向向量與平面的法向量 3.2立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法 上一節(jié)上一節(jié),我們把向量從平面推廣到空間我們把向量從平面推廣到空間,并并 利用空間向量解決了一些立體幾何問題利用空間向量解決了一些立體幾何問題.本節(jié)本節(jié) 我們進一步學(xué)習(xí)立體幾何中的向量方法我們進一步學(xué)習(xí)立體幾何中的向量方法. 立體幾何研究的基本對象是點立體幾何研究的基本對象是點、直線直線、平平 面以及由它們組成的空間圖形面以及由它們組成的空間圖形.為了用空間向為了用空間向 量解決立體幾何問題量解決立體幾何問題,首先必須把點首先必須把點、直線直線、 平面的位置用向量表示出來平面的位置用向量

2、表示出來. 思考 如何確定一個點在空間的位置如何確定一個點在空間的位置? ?在空間中給一個在空間中給一個 定點定點A A和一個定方向和一個定方向( (向量向量), ),能確定一條直線在空能確定一條直線在空 間的位置嗎間的位置嗎? ?給一個定點和兩個定方向給一個定點和兩個定方向( (向量向量), ),能能 確定一個平面在空間的位置嗎確定一個平面在空間的位置嗎? ?給一個定點和一給一個定點和一 個定方向個定方向( (向量向量), ),能確定一個平面在空間的位置嗎能確定一個平面在空間的位置嗎? ? 的位置向量。點 稱為來表示。我們把向量向量 的位置就可以用那么空間中任意一點 作為基點，點在空間中，我

3、們?nèi)∫欢?P OPOP P O A P 1、點的位置向量、點的位置向量 以及一個定方向確定。一個定點 上的位置可以由空間中任意一條直線 A ll a A B P ABtAP 2、直線的方向向量、直線的方向向量 這樣這樣,點點A和向量和向量 不僅可以不僅可以 確定直線確定直線l的位置的位置,還可以具體還可以具體 表示出表示出l上的任意一點上的任意一點. a 相交直線來確定。 內(nèi)兩條的位置可以由空間中平面 o b a P byaxOP 3、平面的法向量、平面的法向量 這樣這樣,點點O與向量與向量 不僅可以確定平面不僅可以確定平面 的位置的位置,還可以具體表還可以具體表 示出示出 內(nèi)的任意一點內(nèi)的任

4、意一點 ,a b 法向量：法向量：如果表示向如果表示向 量量a的有向線段所在直線垂的有向線段所在直線垂 直于平面直于平面，則稱這個向，則稱這個向 量垂直于平面量垂直于平面，記作，記作 a，如果，如果a ，那么向，那么向 量量a叫做平面叫做平面的的法向量法向量 l a 類似于直線的方向向量，還可以用平面的類似于直線的方向向量，還可以用平面的 法向量表示空間中平面的位置法向量表示空間中平面的位置 問題：法向量如何確定平面的位置？問題：法向量如何確定平面的位置？ A 給定一點給定一點A和一個向量和一個向量a,那么，過點那么，過點A,以向以向 量量a為法向量的平面是完全確定的。為法向量的平面是完全確定

5、的。 問題：如何求平面的法向量？ ),() 1 (zyxn 設(shè)出平面的法向量為 ),(),( )2( 222111 cbabcbaa向量的坐標 兩個不共線的找出（求出）平面內(nèi)的 0 0 ,)3( bn an zyx 方程組 的關(guān)于根據(jù)法向量的定義建立 個解，即得法向量。解方程組，取其中的一)4( (2,2,1),(4,5,3), ABAC ABC 例：已知 求平面的單位法向量。 (2,2,1)0(4,5,3)0, 1 220 ,12 4530 1 13 (, 1,1),| 22 12 2 (- 33 3 nxyz nABnAC xyzxyz xyzx z xyz y nn ABC 設(shè)平面的法向

6、量為（ ， ， ）， 則， （ ， ， ），（ ， ， ） 即取，得 求平面的單位法向量為， ，） 因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的 位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平 面的法向量表示空間直線、平面間的面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂平行、垂 直、夾角直、夾角等位置關(guān)系。等位置關(guān)系。 4、法向量的運用、法向量的運用 例例1 (1)設(shè)設(shè) 分別是直線分別是直線 的方向向量的方向向量,根據(jù)下列根據(jù)下列 條件判斷條件判斷 與與 的位置關(guān)系的位置關(guān)系: a b 1 l 12 ll 2 l (2,3, 1

7、),( 6, 9,3)ab (5,0,2),(0,4,0)ab ( 2,1,4),(6,3,3)ab 分析分析:直線方向向量與直線位置關(guān)系直線方向向量與直線位置關(guān)系, 據(jù)此可判斷兩直線的位置關(guān)系據(jù)此可判斷兩直線的位置關(guān)系 1212 ;llab llab 平行垂直相交或異面平行垂直相交或異面 例例1 (2)設(shè)設(shè) 分別是平面分別是平面 的法向量的法向量,根據(jù)下列條件根據(jù)下列條件 判斷判斷 與與 的位置關(guān)系的位置關(guān)系: u v 1 (1, 1,2),(3,2,) 2 uv (0,3,0),(0, 5,0)uv (2, 3,4),(4, 2,1)uv 分析分析:平面法向量與兩平面位置關(guān)系平面法向量與兩

8、平面位置關(guān)系, 據(jù)此可判斷兩平面的位置關(guān)系據(jù)此可判斷兩平面的位置關(guān)系 ;uvuv 垂直平行相交垂直平行相交(不垂直不垂直) 分析分析:直線方向向量與平面法向量關(guān)系和直直線方向向量與平面法向量關(guān)系和直 線與平面位置關(guān)系線與平面位置關(guān)系, 據(jù)此可判斷直線和平面的位置關(guān)系據(jù)此可判斷直線和平面的位置關(guān)系 ;lau lau 例例1 (3)設(shè)設(shè) 是平面是平面 的法向量的法向量, 是直線是直線 的方向向的方向向 量量,根據(jù)下列條件判斷根據(jù)下列條件判斷 與與 的位置關(guān)系的位置關(guān)系: u (2,2, 1),( 3,4,2)ua (0,2, 3),(0, 8,12)ua (4,1,5),(2, 1,0)ua a

9、l l 垂直相交垂直相交(斜交斜交)ll 或或 例例2 已知平面已知平面 經(jīng)過三點經(jīng)過三點A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、 C(3,-2,0),試求平面試求平面 的一個法向量的一個法向量. 解解: A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0) 設(shè)平面設(shè)平面 的法向量是的法向量是 依題意依題意,有有 ,即即 解得解得z=0且且x=2y,令令y=1,則則x=2 平面平面 的一個法向量是的一個法向量是 (1, 2, 4),(2, 4, 3)ABAC ( , , )nx y z 00n ABn AC 且且 240 2430 xyz xyz (2,1,0)n 例例3 一條直線與

10、一個平面內(nèi)兩條相交直線都垂直一條直線與一個平面內(nèi)兩條相交直線都垂直, 則該直線與此平面垂直則該直線與此平面垂直. 已知已知:直線直線m,n是平面是平面 內(nèi)的任意兩條相交直線內(nèi)的任意兩條相交直線, 且且lm,l n.求證求證:l 證明證明:設(shè)直線設(shè)直線l,m,n的方向向量分別為的方向向量分別為 因為因為lm,l n,所以所以 同理同理 因為因為m,n ,且且m,n相交相交, 所以所以 內(nèi)任一直線的方向向量內(nèi)任一直線的方向向量 可以表示為可以表示為 因為因為 所以所以 與與 內(nèi)任一直線垂直內(nèi)任一直線垂直. 因此因此 ,a b c ,0aba b 0a c p , ,pxbyc x yR ()()()0a paxbycx a by a c l l 小結(jié)小結(jié) 1.直線的方向向量和平面的法向量是用空直線的方向向量和平面的法向量是用空 間向量解決立體幾何問題的兩個重要工間向量解決立體幾何問題的兩個重要工 具具,是實現(xiàn)空間問題的向量方法的媒介是實現(xiàn)空間問題的向量方法的媒介.