高中論文：淺談數(shù)形結(jié)合的解題應(yīng)用

1、淺談數(shù)形結(jié)合的解題應(yīng)用內(nèi)容摘要：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它用數(shù)的精確性來(lái)闡明圖形所具有的某種屬性，同時(shí)，用圖形的直觀性來(lái)表現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)與形在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，它們是一個(gè)不可分割的整體。縱觀近年來(lái)的高考題發(fā)現(xiàn)，融數(shù)與形的試題屢見不鮮，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位。而大量事實(shí)反映，恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，進(jìn)而優(yōu)化解題途徑，達(dá)到事半功倍的效果。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合在集合、函數(shù)最值、方程與不等式、線性規(guī)劃、解析幾何、立體幾何等問(wèn)題中，都有非常重要的作用。而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學(xué)生類比、發(fā)掘、剖析數(shù)學(xué)問(wèn)題中所

2、具有的幾何模型，對(duì)于幫助學(xué)生深化思維，擴(kuò)展知識(shí)，提高解題效率都有很大的幫助。關(guān)鍵詞：數(shù)；形；數(shù)形結(jié)合曾經(jīng)的高中數(shù)學(xué)教材分為代數(shù)、立體幾何、解析幾何三個(gè)部分，而現(xiàn)行的高中教材僅有一本數(shù)學(xué)，這更有利于數(shù)與形的結(jié)合。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難人微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非?！睌?shù)形結(jié)合的目的就在于以形助數(shù)，那到底“形”是怎樣助“數(shù)”的呢，數(shù)形結(jié)合的魅力又到底在哪里呢？下面根據(jù)自己這幾年來(lái)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合實(shí)例談?wù)勛约簩?duì)巧用數(shù)形結(jié)合思想解題的一些認(rèn)識(shí)。一數(shù)形結(jié)合思想在集合問(wèn)題中的應(yīng)用。例1：設(shè)集合m(x,y)|x2y21,xr,yr，n(x,y)|x2y0,xr,yr，

3、則集合m n中元素的個(gè)數(shù)為（）a1b2c3d4分析：若此題直接聯(lián)立方程組將得到，雖然可解出的值，進(jìn)而再解出值，但這將花掉較多時(shí)間。實(shí)際上，若我們仔細(xì)觀察將不難發(fā)現(xiàn)，此兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)就是方程x2y21所表示的圓與x2y0所表示的拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，很明顯，由圖可知，應(yīng)該有個(gè)交點(diǎn)，故兩集合就有個(gè)元素。例：已知全集，、是是的兩個(gè)子集，且滿足，求、。u191113217分析：此題是集合問(wèn)題中一道典型的數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，它無(wú)法通過(guò)運(yùn)算求解，只能借助于形的幫助，方能輕松解決。根據(jù)題目條件可將各元素作在韋恩圖的相應(yīng)集合內(nèi)（如右圖），由圖可知道。二數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)最值及值域問(wèn)題中的應(yīng)用。例1：函數(shù)的最小值為

4、分析：此題考察學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用，若問(wèn)題得不到恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，那么求解此題就沒(méi)有可能，此問(wèn)題怎樣轉(zhuǎn)化才行呢：如此，原函數(shù)的最小值就轉(zhuǎn)化成了點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離和的最小值求解問(wèn)題，由圖可知道，由于點(diǎn)始終在軸上滑動(dòng)，所以，最小值就是點(diǎn)與點(diǎn)的距離例2：已知，則的取值范圍為 分析：此問(wèn)題可利用二元一次方程將二元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題后，利用常數(shù)分離法將化為后利用單調(diào)性進(jìn)行求解，但做起來(lái)卻較麻煩。若能正確認(rèn)識(shí)此分式所表達(dá)的幾何意義，問(wèn)題將得到非常簡(jiǎn)便的解答：因?yàn)?，所以，表示的幾何意義就是點(diǎn)與點(diǎn)的斜率，從而，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了線段上的點(diǎn)與點(diǎn)連線斜率的取值范圍，如圖可知：,，所以的取值范圍是例3：（1）求函數(shù)的值域，（2）

5、求函數(shù)的值域分析：?jiǎn)栴}（1）顯然可用判別式法比較輕松地求解，而問(wèn)題（2）便不能使用判別式法，雖然問(wèn)題（2）可轉(zhuǎn)化為方程在上有解，借助實(shí)根分布的相關(guān)知識(shí)求解，但卻仍然顯得較為麻煩。問(wèn)題（2）利用換元法，令可得，又由的圖像（如圖）可知的取值范圍是，進(jìn)而可知道值域?yàn)槿龜?shù)形結(jié)合思想在方程與不等式問(wèn)題中的應(yīng)用。1例1：方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是_個(gè)分析：此方程為一個(gè)超越方程，顯然是無(wú)法求解的，那么解此問(wèn)題的關(guān)鍵就是把方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題?？闪睿谕粋€(gè)直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像（如圖），由圖可以找到兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)一共有3個(gè)， 進(jìn)而方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是3個(gè)例2：若32，則x的取

6、值范圍是（）a、（，） b、（， ）c、（，0）（，+） d、（，）（，+）2 分析1：本題可把元不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，通過(guò)求兩個(gè)分式不等式構(gòu)成的不等式組達(dá)到求解本題的目的，但此做法較慢。分析2：用函數(shù)y=的圖象求解，則比較簡(jiǎn)單。如右圖不難得出32的解是或，故選d例3：設(shè)，關(guān)于的一元二次方程有兩實(shí)根，且，求的取值范圍分析：此題告訴我們方程有兩個(gè)根，所以可考慮解出兩根，再把兩根帶入求解不等式即可。顯然這樣的思路想來(lái)簡(jiǎn)單，但求解卻是非常困難的事情，所以我們不得不考慮其他辦法。若我們令:那么問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與軸應(yīng)有12兩個(gè)交點(diǎn)，而交點(diǎn)的位置一個(gè)在內(nèi)、一個(gè)在內(nèi)，由圖可列出圖像應(yīng)滿足的條件并求解：四

7、數(shù)形結(jié)合思想在線性規(guī)劃問(wèn)題中的應(yīng)用。例1：某電腦用戶計(jì)劃使用不超過(guò)500元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購(gòu)方式共有（ ）a 5種 b6種 c7種 d8種 分析1：該題可用例舉法一一例舉出結(jié)果分析2：利用線性規(guī)劃知識(shí)求解：設(shè)需買軟片片、買磁盤盒，由題意知： 上述約束條件所表示的平面區(qū)域?yàn)槿缬覉D所示的陰影三角形上。整點(diǎn)（，）共有7個(gè)，即為（3，2）、（4，2）、（5，2）、（6，2）、（3，3）、（4，3）、（3，4），共有7種不同的選購(gòu)方式 故選 c前一種方法雖然可以求解該題，但花費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)，且容易漏解，第二種方法解該

8、題卻顯得既準(zhǔn)確又快捷。例2：若滿足，則的最小值是_分析：我們可以根據(jù)約束條件先做出約束條件所表示的平面區(qū)域如圖（1）， 但得最小值依然無(wú)法求解，這是因?yàn)槲覀冞€未找到解題的途徑，只有將正確轉(zhuǎn)化后， 圖（1）方能知道此題的解題關(guān)鍵所在，因?yàn)楸硎镜氖菂^(qū)域中的點(diǎn)到直線的距離的倍，即 求的最小值只需求出區(qū)域中的點(diǎn)到直線距離的最小值后乘以，便得到了此題所要求的最小值。而由圖（2）可知道，區(qū)域中的點(diǎn)a（0，0）到直線的距離最小為，所以此題的最小值是1 圖（2）五數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用。例1：求函數(shù)的取值范圍分析：該題可利用三角函數(shù)的有界性進(jìn)行求解，但計(jì)算量稍大，對(duì)于計(jì)算能力較差的同學(xué)，很容易出錯(cuò)導(dǎo)致

9、失分，若能找到計(jì)算更簡(jiǎn)單的方法是最好不過(guò)，而這樣的方法確實(shí)存在。我們還是首先要將該函數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)變形，使得式子顯示出它的特點(diǎn)，因此，該函數(shù)表達(dá)點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率值，而點(diǎn)的未定，故而該點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是有規(guī)律的，它形成的軌跡恰好是以原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓，因此，原函數(shù)也就表示該圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率值（如圖），由此，問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成過(guò)點(diǎn)的直線與該圓有公共點(diǎn)時(shí)斜率的取值范圍，所以由可以解得，所以的取值范圍為。顯然，此方法的計(jì)算量比用有界性法求解小很多。例2：已知點(diǎn)a（1，2）在橢圓內(nèi)，右焦點(diǎn)，p為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值分析：此題無(wú)法通過(guò)設(shè)點(diǎn)p并用函數(shù)知識(shí)求最小值，只能靠數(shù)形結(jié)合求解方能見效

10、。但也應(yīng)先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，由方程不難得到，由橢圓第二定義可以知道（其中，是點(diǎn)p到右準(zhǔn)線的距離），那么，進(jìn)而=，所以求的最小值即是求最小值，如右圖所示，最小值就是點(diǎn)a到右準(zhǔn)線的距離，所以例3：已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，b（2，2）是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，p為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最值分析：因?yàn)?，所以進(jìn)而，那么，求 的最值就轉(zhuǎn)化成了求的最值，從右圖可以知道，p在e處時(shí)，有最小值，p在f處時(shí)，有最大值，所以得最大、最小值分別為6、10。此問(wèn)題與上個(gè)問(wèn)題不同，卻有相似，不同點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化的方式方法不同，相似點(diǎn)在于它們都需要借助圖形以輔助求解。六數(shù)形結(jié)合思想在立體幾何中的應(yīng)用。在前面的問(wèn)題中，都是需要將一些關(guān)于數(shù)的計(jì)

11、算問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圖形問(wèn)題以輔助求解，而立體幾何問(wèn)題卻恰恰相反。大多立體幾何問(wèn)題用純圖形知識(shí)求解，就比較麻煩、困難，若恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化成數(shù)的問(wèn)題，卻又顯得較為簡(jiǎn)單，下面有這樣一個(gè)例子。例：在正方體中，e、f、g分別是、的中點(diǎn)，求證：證明（幾何法）：連結(jié) 是在面上的射影又是正方形 又e、g分別是的中點(diǎn) 進(jìn)而由三垂線定理知：同理可證：證明（代數(shù)法）：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，并建立圖示坐標(biāo)系，則：， 即 即從這兩種解法看來(lái)，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把原來(lái)較為復(fù)雜的純幾何邏輯推理轉(zhuǎn)化成了現(xiàn)在較為簡(jiǎn)單的向量計(jì)算問(wèn)題，大大節(jié)省了解題的時(shí)間。而在立體幾何中，像這樣的轉(zhuǎn)化方法不勝枚舉。 從上面各種數(shù)形結(jié)合的實(shí)例中可以看出，充分抓住數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系去探索問(wèn)題，將會(huì)對(duì)問(wèn)題的最終解決起到事半功倍的效果。數(shù)與形是一個(gè)不可分割的整體，數(shù)是形的精確描述，形是數(shù)直觀體現(xiàn)，少了誰(shuí)都將是不完整的，而發(fā)現(xiàn)數(shù)與形中存在的美麗聯(lián)系是我們作為一個(gè)數(shù)學(xué)教育者一生不懈的追求?？偠灾?，問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟,提出并解決問(wèn)題是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力。而數(shù)形結(jié)合就是高效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)有力工具,也是中學(xué)數(shù)學(xué)中解決問(wèn)題的重要方法之一。若我們的學(xué)生能恰當(dāng)?shù)乩脭?shù)形結(jié)合