吉林大學(xué)高數(shù)A2作業(yè)答案

1、高等數(shù)學(xué)作業(yè)a答案吉林大學(xué)公共數(shù)學(xué)教學(xué)與研究中心2013年3月第一次作業(yè)學(xué)院 班級 姓名 學(xué)號 一、單項選擇題1下列反常積分收斂的是( c ) （a）；（b）； （c）；（d）2下列反常積分發(fā)散的是( a ) （a）； （b）； （c）； （d）3設(shè)、在上連續(xù)，則由曲線，直線所圍成平面圖形的面積為( c ) （a）； （b）； （c）； （d）4設(shè)曲線與直線所圍圖形面積為s，則下列各式中，錯誤的是 ( c ) （a）； （b）； （c）； （d）5設(shè)點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，記是直線oa（o為原點(diǎn)）與曲線所圍成圖形的面積，則當(dāng)時，與( d ) （a）為同階無窮小； （b）為同階無窮??； （c）為同階無窮

2、?。?（d）為同階無窮小6設(shè)（常數(shù)），則由所圍圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所形成的立體的體積等于( b ) （a）； （b）； （c）； （d）二、填空題1已知反常積分收斂，且值為1，則2反常積分，當(dāng)滿足條件時收斂 5由曲線所圍成的平面圖形面積為 1 三、計算題1用定義判斷無窮積分的收斂性，如果收斂則計算積分值解： 則該無窮積分收斂2判斷反常積分的收斂性：解：而收斂收斂3用定義判斷反常積分的收斂性，如果收斂則計算積分值解：收斂4求由曲線與圍成圖形的面積解：5計算由軸，曲線及其經(jīng)過原點(diǎn)的切線圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所生成立體體積解：設(shè)切點(diǎn)為，則過切點(diǎn)的切線方程為令，得6求擺線的一拱的長度以及擺線與軸所圍圖形的面

3、積7在曲線上某點(diǎn)a處作一切線，使之與曲線以軸所圍圖形的面積為，試求：（1）切點(diǎn)a的坐標(biāo)；（2）過切點(diǎn)a的切線方程；（3）由上述所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成旋轉(zhuǎn)體體積解：設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為：，得切線與x軸交點(diǎn)為由，得切點(diǎn)為，切線方程：8半徑為的球沉入水中，球的頂部與水面相切，球的密度與水相同，現(xiàn)將球從水中提出，問需作多少功？解：取球浮出水面后球心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則第二次作業(yè)學(xué)院 班級 姓名 學(xué)號 一、單項選擇題1平面（ a ）（a）平行于yoz平面；（b）平行于x軸；（c）平行于xoz面；（d）平行于xoy平面2平面與曲面（ b ）（a）不相交；（b）交于一點(diǎn)；（c）交線為一個橢圓；（d）

4、交線為一個圓3方程所表示的曲面為（ c ）（a）橢球面；（b）柱面；（c）雙曲拋物面；（d）旋轉(zhuǎn)拋物面4過點(diǎn)且與平面垂直的直線方程是（ a ）（a）；（b）；（c）；（d）5設(shè)有直線與，則l1與l2的夾角為（ c ）（a）；（b）；（c）；（d）6設(shè)有直線及平面，則直線l（ c ） （a）平行于；（b）在上；（c）垂直于；（d）與斜交二、填空題1設(shè)均為非零向量，且，則a與b的夾角為2與直線平行的單位向量為3點(diǎn)到平面的距離為 1 4若，且a，b間夾角為，則， 3 5xoz平面上的曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為6曲線在xoy面上的投影曲線方程為7已知向量a，b，c兩兩相互垂直，且，則有

5、2 三、計算題1求過直線，且平行于直線的平面的方程解：過l的平面束為：即，由n與垂直，有 所求平面為2求點(diǎn)到直線的距離解：設(shè)則 3設(shè)空間三點(diǎn)，求三角形abc的面積解：4求過平面和平面的交線，并切于球面的平面方程解：過l平面束為即由得則所求平面為5設(shè)有直線，平面求直線l與平面的夾角；如果l與相交，求交點(diǎn)解：l的方向向量而 ， 將代入l方程解得 交點(diǎn)6模長為2的向量與軸的夾角是，與軸的夾角是，試求向量的坐標(biāo)解： ， 或 或 第三次作業(yè)學(xué)院 班級 姓名 學(xué)號 一、單項選擇題1（ d ） （a）；（b）0；（c）；（d）不存在2二元函數(shù)在處（ c ） （a）連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；（b）連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在；

6、 （c）不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；（d）不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在3設(shè)，在下列求的方法中，不正確的一種是（ b ） （a）因，故；（b）因，故；（c）因，故；（d）4若的點(diǎn)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，則（ c ） （a）在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)有界；（b）在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)連續(xù)； （c）在點(diǎn)處連續(xù)，在點(diǎn)處連續(xù)；（d）在點(diǎn)處連續(xù)5設(shè)，且，則為（ b ） （a）； （b）； （c）； （d）二、填空題1的定義域為2 1/2 3設(shè)，則2/5， 1/5 4設(shè)，則5設(shè)，則三、計算題1已知，且當(dāng)時，求及的表達(dá)式將代入， 有 解一： 解二：令，則 2討論函數(shù) 的連續(xù)性.解一：當(dāng)沿y軸(x=0)趨于0（0，0）時， 當(dāng)沿，趨于0（0，0

7、）時， 不存在 不連續(xù)解二：當(dāng)沿趨于0（0，0）時， 與k有關(guān)，不連續(xù)3設(shè)，求解一：取對數(shù) ，解二： 4求的偏導(dǎo)數(shù)四、證明題1設(shè)，驗證：當(dāng)時，有證明：，同理：2證明函數(shù)在點(diǎn)(0, 0)處：（1）連續(xù)；（2）偏導(dǎo)數(shù)存在；（3）不可微（1），由于為使，只須，即取，則當(dāng)，有， （或：），初等函數(shù)連實。（2）；（3）考察：當(dāng)沿直線趨于0（0，0）有與k有關(guān)上式不存在，不可微第四次作業(yè)學(xué)院 班級 姓名 學(xué)號 一、單項選擇題1設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，則=（ b ） （a）；（b）； （c）；（d）2設(shè)方程確定z是x，y的函數(shù)，f是可微函數(shù)，則=（ d ） （a）；（b）；（c）；（d）3設(shè)都由方程所確定的隱函

8、數(shù)，則下列等式中，不正確的一個是（ c ） （a）；（b）；（c）；（d） 4設(shè)都是可微函數(shù)，c為常數(shù)，則在下列梯度運(yùn)算式中，有錯誤的是（ a ） （a）；（b）； （c）；（d） 5，而，且函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 ( b ) （a）；（b）；（c）；（d）6函數(shù)在點(diǎn)處沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在是它在點(diǎn)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在的( d )條件 （a）充分必要；（b）必要非充分；（c）充分非必要；（d）既非充分又非必要二、填空題1已知，則在點(diǎn)（1, 2）處對x的偏導(dǎo)數(shù)為 192 2由方程所確定的隱函數(shù)在點(diǎn)（1, 1）處的全微分為 3在點(diǎn)（0, 0）處沿x軸正向的方向?qū)?shù)為 1 4函數(shù)在點(diǎn)處的方向?qū)?/p>

9、數(shù)的最大值等于三、計算與解答題1設(shè)f是c(2)類函數(shù)，求 2設(shè)，求 解一：解二： 3設(shè)f，是c(2)類函數(shù)，證明：（1）； （2）證 4設(shè)，求 一階： 二階：5設(shè)求 6設(shè)，其中求f，是c(1)類函數(shù)，求 解二：全微分 即代入消元解得： 7求函數(shù)的點(diǎn)(1, 2)處沿著拋物線的該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù) 第五次作業(yè)學(xué)院 班級 姓名 學(xué)號 一、單項選擇題1在曲線的所有切線中，與平面平行的切線( b ) （a）只有一條；（b）只有兩條；（c）至少有三條；（d）不存在2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(0, 0)附近有定義，且，則( c ) （a）；（b）曲面在點(diǎn)的法向量為；（c）曲線在點(diǎn)的切向量為；（d）曲線在點(diǎn)的切向量為3曲

10、面的任一點(diǎn)處的切平面 ( d ) （a）垂直于一定直線；（b）平等于一定平面；（c）與一定坐標(biāo)面成定角；（d）平行于一定直線4設(shè)在平面有界閉區(qū)域d上是c(2)類函數(shù)，且滿足及，則的 ( b ) （a）最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在d的內(nèi)部；（b）最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在d的邊界上；（c）最大值點(diǎn)在d的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在d的邊界上；（d）最小值點(diǎn)在d的內(nèi)部，最得到值點(diǎn)在d的邊界上5函數(shù)滿足條件的條件極值為 ( d ) （a）1；（b）0；（c）；（d）二、填空題1如果曲面在點(diǎn)m處的切平面平行于平面，則切點(diǎn)m的坐標(biāo)是 （-1，2，-3） 2曲面與平面的交線在處的切線與軸正向所成的角為3曲線在點(diǎn)處的法平

11、面方程是 12x-10y-3z-6=04在條件下的極小值是5函數(shù)在點(diǎn)處沿曲面在該點(diǎn)的外法線方向的方向?qū)?shù)是三、計算題1求曲線在點(diǎn)處的切線方程解一： +：代入 切成：，即解二：取切平面：切平面：2過直線作曲面的切平面，求其方程解：設(shè)切點(diǎn)為，切平面方程為： 過已知直線的平面束方程為 即： 當(dāng)為同一平面時有： 且 解得對應(yīng)的切平面方程為：3證明曲面上任意點(diǎn)處的切平面在各個坐標(biāo)軸上的截距平方和等于.設(shè)為曲面上任一點(diǎn)切平面方程為： 即：令得x軸截距 同理4求函數(shù)的極值.令得駐點(diǎn)處： ac-b20，a0，極小值 5求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值 不在d內(nèi)，d內(nèi)無極值點(diǎn)在邊界上， 解得 最小 最大6求曲面的

12、一個切平面，使其在三個坐標(biāo)軸上的截距之積為最大設(shè)切點(diǎn)為 切平面為：即：令，得軸截距 ，得軸截距 ，得軸截距令 即切點(diǎn)為 切平面為：階段測試題學(xué)院 班級 姓名 學(xué)號 一、單項選擇題（每小題3分，滿分18分）1曲面與（）的交線是（ d ）（a）拋物線（b）雙曲線（c）橢圓（d）圓2極限（ d ）（a）為0（b）為1（c）為（d）不存在3雙紐線所圍成區(qū)域面積可用定積分表示為（ a ）（a）（b）（c）（d）4曲線在點(diǎn)處的切線必平行于（ c ）（a）平面（b）平面（c）平面（d）平面5的處的梯度等于（ a ）（a）（b）（c）（d）6已知、在（0，0）連續(xù)，則在（0，0）處，在處（ a ）（a）均連續(xù)

13、（b）均不一定連續(xù)（c）均不連續(xù)（d）一定連續(xù)，不一定連續(xù)二、填空題（每小題3分，滿分21分）12若向量與的和與差的模相等，則 1 3已知，則 0 ， -1 4在點(diǎn)處沿= （0 ,1 ,2） 方向的方向?qū)?shù)最大，方向?qū)?shù)的最大值為5設(shè)，其中，則 0 6曲面與平面的交線在處的切線與軸正向所成的角為7設(shè)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 三、解答題（每小題8分，滿分40分）1判斷反常積分的收斂性，如果收斂則計算積分值解：= ， 則收斂2設(shè)直線在平面上，且平面又與曲面相切于點(diǎn)，求的值解：曲面在點(diǎn)m0的法向量，切平面的方程為：即將l的方程改寫成參數(shù)方程代入的方程，解得3求曲線的一條切線，使該曲線與切線及直線

14、所圍成的圖形面積最小解：由，所以點(diǎn)處切線方程為：，即圍成圖形面積令，得又因此，當(dāng)時，s取最小值，此時，l方程為4，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，g具有二階導(dǎo)數(shù)。求解： 5已知，而是由方程確定的的函數(shù)，求解法1： 即解法2：在方程組兩邊求微分，及：由（2）代入 整理及解法3：方程確定，則 解得四、證明題（滿分7分）證明函數(shù)在點(diǎn)（0, 0）處可微，但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)（0, 0）處不連續(xù)證明：， 同理而 在(0, 0)可微而時，不存在，同理不存在，故在(0, 0)處偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)五、應(yīng)用題（每小題7分，滿分14分）1求內(nèi)接于橢球面，且棱平行于對稱軸的體積最大的長方體解：設(shè)第一卦限內(nèi)頂點(diǎn)為則長方體長、寬、高分別為

15、、2y、2z且作令由-得：代入得由實際意義可得2用鐵錘將鐵釘擊入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成正比，在鐵錘擊第一次時，能將鐵釘擊入木板內(nèi)1cm，如果鐵錘每次打擊所作的功相等，問鐵錘第二次能把鐵釘又擊入多少厘米？解：設(shè)鐵釘被擊入深度為x，則由題意：解得，則第二錘又擊入厘米第六次作業(yè)學(xué)院 班級 姓名 學(xué)號 一、單項選擇題1設(shè)連續(xù)，且，其中d是由，所圍區(qū)域，則等于( c ) （a）；（b）；（c）；（d）2設(shè)d是xoy平面上以(1, 1), (-1, 1)和(-1, -1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，d1是d的第一象限部分，則等于( a ) （a）；（b）； （c）；（d）03設(shè)平面區(qū)域是在

16、區(qū)域d上的連續(xù)函數(shù)，則等于 ( a ) （a）；（b）；（c）；（d）設(shè)平面區(qū)域，則有( b ) （a）；（b）；（c）；（d）5設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，則 ( b ) （a）不存在；（b）；（c）；（d） 二、填空題1積分2交換積分次序：3設(shè)區(qū)域d為，則4設(shè)區(qū)域d為，則5設(shè)d為，則二重積分在極坐標(biāo)中先r后的二次積分為6設(shè)d是由曲線與所圍成的區(qū)域，則 0 三、計算題1計算，其中d是由直線所圍成的三角形區(qū)域原式 =2計算，其中d是由和所圍成的區(qū)域圖交點(diǎn)，先x， 3計算，其中圖，極坐標(biāo)，方程 4求解：換序為5設(shè)函數(shù)在區(qū)間0, 1上連續(xù)，并設(shè)，求解一：換序為 改變積分變量記號，解二：，湊微分有6計算，其中

17、解一：令 則 且，則 原式解二：利用極坐標(biāo)原式四、應(yīng)用題求位于兩圓之間的均勻平面薄片的重心解：設(shè)重心為，由對稱性：=0而，重心五、證明題設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且恒大于零，證明證明：設(shè) 即：第七次作業(yè)學(xué)院 班級 姓名 學(xué)號 一、單項選擇題1設(shè)有空間區(qū)域及，則( c ) （a）； （b）；（c）； （d）2設(shè)由平面圍成，則 ( a ) （a）；（b）；（c）；（d）3設(shè)有空間區(qū)域，則等于( a ) （a）；（b）；（c）；（d）4設(shè)為球域：，則( c ) （a）不存在；（b）；（c）；（d）15設(shè)由曲面圍成（含z軸部分），則將上三重積分化為球面坐標(biāo)系下三次積分為( b ) （a）；（b）；（c）；（

18、d）二、填空題1直角坐標(biāo)中三次積分在柱面坐標(biāo)中先z再r后順序的三次積分是2設(shè)就由曲面與所圍成的區(qū)域，則 0 3設(shè)，則當(dāng)時，4設(shè)是由平面及拋物柱面所圍成的閉區(qū)域，則 0 5設(shè)為，則6橢球體的體積為三、計算題1計算，其中是由曲面與平面和所圍成的閉區(qū)域圖，投影域 2計算，其中圖，已求坐標(biāo)r=1 3計算，其中是由曲線 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面所圍成的立體用柱坐標(biāo)原式4設(shè)，其中在可導(dǎo)，且，求解： 5設(shè)，求6計算積分解 7利用函數(shù)，b函數(shù)計算積分解：令，則，原式= = 4 = 4 = 四、應(yīng)用題設(shè)曲面和圍成立體，其密度為1，求繞z軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量綜合練習(xí)題學(xué)院 班級 姓名 學(xué)號 一、單項選擇題1曲線

19、所圍圖形的面積等于( d ) （a）； （b）； （c）； （d）2與z軸垂直，則滿足條件（ c ） （a）；（b）；（c）；（d）3函數(shù)在點(diǎn)(0, 0)處 ( c ) （a）不連續(xù)；（b）偏導(dǎo)數(shù)存在；（c）沿任一方向的方向?qū)?shù)存在；（d）可微4設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則為（ b ） （a）；（b）； （c）；（d）5設(shè)d由和圍成，則（ c ）（a）0（b）1（c）2/3（d）4/36設(shè)由圍成，則三重積分化為柱面坐標(biāo)系下三次積分為（ d ）（a）（b）（c）（d）二、填空題1由曲線和所圍圖形面積為，則2已知a，b，c都是單位向量，且滿足，則3函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)且可偏導(dǎo)，是在點(diǎn)可微的 必要 條件4設(shè)，則5設(shè)函數(shù)

20、，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，具有一階導(dǎo)數(shù)，則 0 6設(shè)為由，圍成的空間區(qū)域，為常數(shù)，則7設(shè)，改變積分次序；化為極坐標(biāo)下二次積分為三、計算題1求過點(diǎn)，平行于平面，且與直線相交的直線方程解：過p且平行于的平面為為與l的交點(diǎn)為2計算解：a、b為奇點(diǎn)原式3設(shè)，f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求4設(shè)，是由方程和確定的函數(shù)，其中和f分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解： 5求，其中為球體解： 而原6設(shè)是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)和極值解： 取微分：即： 得： 而處，,. 則函數(shù)有極小值 z(9,3)=3處，,.則函數(shù)有極大值 z(-9,-3)=-37設(shè)連續(xù)，其中，求，解：四、應(yīng)用題1在第一卦限內(nèi)作球面的切平面，使該切

21、平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積最小，求這切平面的切點(diǎn)解：設(shè)切點(diǎn)為，則切平面方程： 令,得x軸截距，同理 當(dāng)最大時v最小 作 令 解得時，v最小，切點(diǎn)2一容器的內(nèi)表面是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面如果以(m3/s)的速率注水，求水面高度(m)時，水面上升的速率2解：將代入，得（m/s）五、證明題設(shè)d由軸，軸，直線圍成，證明：.證明： 令 則 且 或利用二重積分換元法綜合模擬題（一）學(xué)院 班級 姓名 學(xué)號 一、選擇題(共5道小題，每小題3分，滿分15分)1. 下列方程表示拋物面的是( c ) （a）；（b）； （c）；（d）2. 函數(shù)的極小值點(diǎn)是（ a ）（a）（1,1）； （b）（0,0）；

22、 （c）（0,1）； （d）（1,0）.3. 設(shè)山坡的高度為，一個登山者在山坡上點(diǎn)處，他決定沿最陡的道路向上攀登，則他應(yīng)當(dāng)選取的方向l是（ a ）（a）l=； （b）l=； （c）l=； （d）l=.4. 設(shè)隱函數(shù)由方程所確定，其中可微，且，則（ d ）(a) ； （b） ； (c) 0； (d) .5. 由曲面與所圍成的立體體積等于（ b ）（a）； （b）；（c）； （d）二、填空題(共5道小題，每小題3分，滿分15分)1. 與兩條直線及都平行，且過原點(diǎn)的平面方程為 . 2. 曲線在點(diǎn)處的切線的方向向量為（3,1,2）.3. 設(shè)函數(shù)，則 ln5 .4設(shè)函數(shù)，則 0 .5設(shè)d是由直線所圍成的

23、平面閉區(qū)域，則二重積分 0 三、(滿分6分) 設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.解： .3分 .6分四、解答下列各題(共4個小題，每小題8分，滿分32分) 1. 求由曲線與及軸所圍成的平面圖形的面積和該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.解：（1） 4分（2）. 8分2.若點(diǎn)m與關(guān)于直線對稱，求m的坐標(biāo)解：l方向向量為 ，l參數(shù)方程為過n垂直l的平面為： .4分l與交點(diǎn)為，即為mn中心設(shè)，則，解得m為8分3. 求由方程組所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解：將方程組兩端對求偏導(dǎo)，有 4分 8分4. 求函數(shù)在閉區(qū)域上的最大值和最小值.解：當(dāng)時，令解得駐點(diǎn)，且. 4分當(dāng)時，設(shè) 解得， 6分又，所以最大值為，最小值為. 8分五、解答下列各題(共4個小題，每小題8分，滿分32分) 1. 判別的斂