第10章 直梁(1)

1、第第1010章章 直直 梁梁( (一一) ) 重點(diǎn)重點(diǎn): : 1.1.直梁平面彎曲的概念直梁平面彎曲的概念 2.2.梁彎曲時(shí)的內(nèi)力（剪力和彎矩）梁彎曲時(shí)的內(nèi)力（剪力和彎矩） 3.3.梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件 4.4.提高梁強(qiáng)度的主要措施提高梁強(qiáng)度的主要措施 難點(diǎn)難點(diǎn): :剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖,梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度、剛度條件梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度、剛度條件 FF FAFB 一、梁彎曲的工程實(shí)例一、梁彎曲的工程實(shí)例 實(shí)例實(shí)例1 第一節(jié)第一節(jié) 直梁平面彎曲的概念直梁平面彎曲的概念 梁彎曲的工程實(shí)例梁彎曲的工程實(shí)例2 2 F 平面彎曲平面彎曲：梁的外載荷都作用在縱向?qū)ΨQ面梁的外載荷都作用

2、在縱向?qū)ΨQ面 內(nèi)時(shí)，則梁的軸線在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎曲成一內(nèi)時(shí)，則梁的軸線在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎曲成一 條平面曲線。條平面曲線。 第一節(jié)第一節(jié) 直梁平面彎曲的概念直梁平面彎曲的概念 二、直梁平面彎曲的概念：二、直梁平面彎曲的概念： 彎曲變形：彎曲變形：作用于桿件上的外力垂直于桿件作用于桿件上的外力垂直于桿件 的軸線，使桿的軸線由直線變?yōu)榍€。的軸線，使桿的軸線由直線變?yōu)榍€。 以彎曲變形為主的直桿稱為以彎曲變形為主的直桿稱為直梁直梁，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱梁梁。 梁的軸線和橫截面的對(duì)稱軸構(gòu)梁的軸線和橫截面的對(duì)稱軸構(gòu) 成的平面稱為成的平面稱為縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面。 三、梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖三、梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖 在計(jì)算簡(jiǎn)圖中，通常在

3、計(jì)算簡(jiǎn)圖中，通常以梁的軸線表示梁以梁的軸線表示梁。作。作 用在梁上的載荷，一般可以簡(jiǎn)化為三種形式用在梁上的載荷，一般可以簡(jiǎn)化為三種形式: : 1.1.集中力集中力F:F: 2.2.集中力偶集中力偶M M0 0: : 3.3.分布載荷分布載荷q:q: ( (均布載荷均布載荷) ) 單位為單位為N/mN/m 簡(jiǎn)支梁：簡(jiǎn)支梁：一端為活動(dòng)鉸一端為活動(dòng)鉸 鏈支座，另一端為固定鏈支座，另一端為固定 鉸鏈支座。鉸鏈支座。 四、 梁的類型梁的類型 外伸梁：外伸梁：一端或兩端伸一端或兩端伸 出支座之外的簡(jiǎn)支梁。出支座之外的簡(jiǎn)支梁。 懸臂梁：懸臂梁：一端為固定端，一端為固定端， 另一端為自由端的梁。另一端為自由端

4、的梁。 五、梁彎曲內(nèi)力：剪力和彎矩五、梁彎曲內(nèi)力：剪力和彎矩 求梁的內(nèi)力的方法仍然是求梁的內(nèi)力的方法仍然是截面法截面法。 F1 F3 F2 m m x F3 A B FA a a FQ MF FQ Q = = F FA A - - F F3 3 M M = = F FA A x x - - F F3 3( (x-ax-a) ) F2 F1 FB FQ M 梁內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定梁內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定 2. 從梁的變形角度從梁的變形角度 剪力：剪力： 順時(shí)針為正順時(shí)針為正 逆時(shí)針為負(fù)逆時(shí)針為負(fù) 彎矩：彎矩： 上凹為正上凹為正 下凹為負(fù)下凹為負(fù) 1. 規(guī)定：規(guī)定： 六、六、 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎

5、矩方程 一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面 位置不同而變化。若以橫坐標(biāo)x表示截面在梁 軸線上的位置，則各橫截面上的剪力和彎矩都 可表示為x的函數(shù)，即： F FQ Q = F = FQ Q(x)(x) M = M(x)M = M(x) 剪力方程剪力方程 彎矩方程彎矩方程 彎矩圖彎矩圖 畫(huà)法：以與梁軸線平行的x坐標(biāo)表示橫截面位 置，縱坐標(biāo)y按一定比例表示各截面上相應(yīng)彎 矩的大小，正彎矩畫(huà)在軸的上方，負(fù)彎矩畫(huà) 在軸的下方。 例例2 2：如如圖所示的簡(jiǎn)支梁AB，在點(diǎn)C處受到集中力F作 用，尺寸a、b和L均為已知，試作出梁的彎矩圖。 x1 FA FB x2 F A B a a C b b L L解

6、：解：1.1.求約束反力求約束反力 0 A M B a FF l 0 B M A b FF l 2.2.分兩段建立彎矩方程分兩段建立彎矩方程 1 0 A MF x 11A b MF xFx l 1 0 xa AC段段： 22 ()0 A MF xF xa 2 axl BC段段： L L F x1 A B a a C b b x2 M = FM = FA A X X2 2 - F- F( (X X2 2 - a- a) ) =- =- FXFX2 2 + + aFaF a l F x1 A B a a C b b x2 3.3.畫(huà)彎矩圖畫(huà)彎矩圖 M =- =- FX2 2 + +a aF a l

7、 2 axl 0M ab MF l ab MF l 0M 1 0 x 時(shí)時(shí) 1 xa 時(shí)時(shí) 2 xa時(shí)時(shí) 2 xl時(shí)時(shí) 11A b MF xFx l 1 0 xa 1 0 xa ab MF l 直線直線 例例3 3：如圖所示的簡(jiǎn)支梁如圖所示的簡(jiǎn)支梁ABAB，在點(diǎn)，在點(diǎn)C C處受集中力偶處受集中力偶M M0 0作用，作用， 尺寸尺寸a a、b b和和L L均為已知，試作此梁的彎矩圖。均為已知，試作此梁的彎矩圖。 解：解：1. 1.求約束反力求約束反力 2.2.分兩段建立彎矩方程分兩段建立彎矩方程 BA C M M0 0 ab L 0 AB M FF l ACAC段：段： 1 0 A MF x 0

8、 11A M MF xx l 1 0 xa x1 x2 02 0 A MMF x 0 0202A M MMF xMx l 2 axl BCBC段：段： BA C M M0 0 ab L x1 x2 3.3.畫(huà)彎矩圖畫(huà)彎矩圖 0 11A M MF xx l 1 0 xa 0 0202A M MMF xMx l 2 axl 1 0 x 0M 1 xa 0 a MM l 2 xa 0 b MM l 2 xl0M BA C M M0 0 ab L x1 x2 彎矩圖的規(guī)律彎矩圖的規(guī)律 1.梁受梁受集中力或集中力偶集中力或集中力偶作用時(shí)，彎矩圖作用時(shí)，彎矩圖 為為直線直線，并且在集中力作用處，彎矩發(fā)生，

9、并且在集中力作用處，彎矩發(fā)生轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 折折；在集中力偶作用處，彎矩發(fā)生；在集中力偶作用處，彎矩發(fā)生突變突變，突，突 變量為集中力偶的大小。變量為集中力偶的大小。 2.2.梁受到梁受到均布載荷均布載荷作用時(shí)，彎矩圖為作用時(shí)，彎矩圖為拋物拋物 線線，且拋物線的開(kāi)口方向與均布載荷的方向，且拋物線的開(kāi)口方向與均布載荷的方向 一致。一致。 3.3.梁的兩端點(diǎn)梁的兩端點(diǎn)若無(wú)集中力偶作用，則端點(diǎn)若無(wú)集中力偶作用，則端點(diǎn) 處的彎矩為處的彎矩為0 0；若有集中力偶作用時(shí)，則彎；若有集中力偶作用時(shí)，則彎 矩為集中力偶的大小。矩為集中力偶的大小。 例例1.作梁的內(nèi)力圖作梁的內(nèi)力圖: 第二節(jié)第二節(jié) 純彎曲梁的強(qiáng)度計(jì)算純彎

10、曲梁的強(qiáng)度計(jì)算 一、一、純彎曲梁的概念純彎曲梁的概念 在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，兩端施加等值、在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，兩端施加等值、 反向的一對(duì)力偶。在梁的橫截面上只有反向的一對(duì)力偶。在梁的橫截面上只有 彎矩而沒(méi)有剪力，且彎矩為一常數(shù)，這彎矩而沒(méi)有剪力，且彎矩為一常數(shù)，這 種彎曲為種彎曲為純彎曲純彎曲 。 彎曲彎曲 橫力彎曲橫力彎曲 純彎曲純彎曲 剪力FQ0 彎矩M 0 剪力FQ=0 彎矩M 0 CD段純彎曲 AC、BD段橫力彎曲 如果設(shè)想梁是由無(wú)數(shù)層縱向纖維組成的，由于橫截如果設(shè)想梁是由無(wú)數(shù)層縱向纖維組成的，由于橫截 面保持平面，說(shuō)明縱向纖維從縮短到伸長(zhǎng)是逐漸連續(xù)變面保持平面，說(shuō)明縱向纖維從縮短到伸長(zhǎng)

11、是逐漸連續(xù)變 化的，其中必定有一個(gè)既不縮短也不伸長(zhǎng)的化的，其中必定有一個(gè)既不縮短也不伸長(zhǎng)的中性層中性層（不（不 受壓又不受拉）。受壓又不受拉）。中性層是梁上拉伸區(qū)與壓縮區(qū)的分界中性層是梁上拉伸區(qū)與壓縮區(qū)的分界 面。面。中性層與橫截面的交線，稱為中性層與橫截面的交線，稱為中性軸中性軸，如圖所示。，如圖所示。 變形時(shí)橫截面是繞中性軸旋轉(zhuǎn)的。變形時(shí)橫截面是繞中性軸旋轉(zhuǎn)的。 二、二、 梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力 1.中性層的概念中性層的概念 平面假設(shè)：平面假設(shè)：梁彎曲變形后，其橫截面仍為平面，并垂直于梁彎曲變形后，其橫截面仍為平面，并垂直于 梁的軸線，只是繞截面上的某軸轉(zhuǎn)動(dòng)了

12、一個(gè)角度。梁的軸線，只是繞截面上的某軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。 二、二、 梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力 2.2.變形特點(diǎn)變形特點(diǎn) : : 橫向線橫向線仍為直線，只是仍為直線，只是 相對(duì)變形前轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)相對(duì)變形前轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè) 角度，但仍與縱向線正角度，但仍與縱向線正 交。交?？v向線縱向線彎曲成弧線，彎曲成弧線， 且靠近凹邊的線縮短了，且靠近凹邊的線縮短了， 靠近凸邊的線伸長(zhǎng)了，靠近凸邊的線伸長(zhǎng)了， 而位于中間的一條縱向而位于中間的一條縱向 線既不縮短，也不伸長(zhǎng)。線既不縮短，也不伸長(zhǎng)。 3.3.梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律 由平面假設(shè)可知由平面

13、假設(shè)可知: : 純彎曲時(shí)梁橫截面上純彎曲時(shí)梁橫截面上 只有正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng)只有正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng) 力。由于梁橫截面保力。由于梁橫截面保 持平面，所以沿橫截持平面，所以沿橫截 面高度方向縱向纖維面高度方向縱向纖維 從縮短到伸長(zhǎng)是從縮短到伸長(zhǎng)是線性線性 變化的，因此橫截面變化的，因此橫截面 上的正應(yīng)力沿橫截面上的正應(yīng)力沿橫截面 高度方向也是線性分高度方向也是線性分 布的。分布如圖所示布的。分布如圖所示: : 二、二、 梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力 4 4、梁純彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式、梁純彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式 在彈性范圍內(nèi)，梁純彎曲時(shí)橫截面上任意一在彈性范圍內(nèi)，梁純彎曲時(shí)橫截面上任意

14、一 點(diǎn)的正應(yīng)力為點(diǎn)的正應(yīng)力為 ： Z My I M Pa max max Z My I max Z M W 即：即： 最大正應(yīng)力為最大正應(yīng)力為(MPa(MPa) )： M M和和y y均以絕對(duì)值代入，至于均以絕對(duì)值代入，至于 彎曲正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓彎曲正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓 應(yīng)力，則由欲求應(yīng)力點(diǎn)處于應(yīng)力，則由欲求應(yīng)力點(diǎn)處于 受拉側(cè)還是受壓側(cè)來(lái)判斷。受拉側(cè)還是受壓側(cè)來(lái)判斷。 受拉側(cè)的彎曲正應(yīng)力為正，受拉側(cè)的彎曲正應(yīng)力為正， 受壓側(cè)的為負(fù)。受壓側(cè)的為負(fù)。 M-M-截面上的彎矩截面上的彎矩(N.mm) (N.mm) Y-Y-計(jì)算點(diǎn)到中性軸距離計(jì)算點(diǎn)到中性軸距離(mm) (mm) IzIz-橫截面對(duì)中

15、性軸慣性矩橫截面對(duì)中性軸慣性矩 WzWz-抗彎截面模量抗彎截面模量 3 mm 4 mm 三、純彎曲梁時(shí)的強(qiáng)度條件三、純彎曲梁時(shí)的強(qiáng)度條件 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件：梁內(nèi)危險(xiǎn)截面上的最大彎曲正應(yīng)：梁內(nèi)危險(xiǎn)截面上的最大彎曲正應(yīng) 力不超過(guò)材料的許用彎曲應(yīng)力，即力不超過(guò)材料的許用彎曲應(yīng)力，即 max z M W M M危險(xiǎn)截面處的彎矩（危險(xiǎn)截面處的彎矩（N.mmN.mm） WzWz危險(xiǎn)截面的抗彎截面模量（危險(xiǎn)截面的抗彎截面模量（mm mm ） 材料的許用應(yīng)力材料的許用應(yīng)力 (Mpa(Mpa) ) 3 例1 故梁彎曲強(qiáng)度足夠 例2圖示T形截面鑄鐵外伸梁，其許用拉應(yīng)力 30MPa，許用壓應(yīng)力60MPa，截面尺寸如

16、圖。 截面對(duì)形心軸z的慣性矩Iz763mm4，且y1=52cm。 試校核梁的強(qiáng)度。 分析： 1、畫(huà)出梁的彎矩圖（確定最 大彎矩及其所在截面） 2、求出梁的最大拉應(yīng)力和最 大壓應(yīng)力值 3、校核強(qiáng)度 解： 1、求支座反力：FA=2.5kN； FB=10.5kN，畫(huà)出彎矩圖如 b)，最大正彎矩在C點(diǎn)，最 大負(fù)彎矩在B點(diǎn)，即： C點(diǎn)為上壓下拉，而B(niǎo)點(diǎn)為 上拉下壓 FA FB 2、求出B截面最大應(yīng)力 最大拉應(yīng)力（上邊緣）： 最大壓應(yīng)力（下邊緣）： 27.26MPa 10763 52104 4 6 1 z B B I yM MPa13.64 10763 88104 4 6 2 z B B I yM 3、求

17、出C截面最大應(yīng)力 最大拉應(yīng)力（下邊緣）： 最大壓應(yīng)力（上邊緣）： MPa83.82 10763 88105 .2 4 6 2 z C C I yM MPa04.17 10763 52105.2 4 6 1 z C C I yM 由計(jì)算可見(jiàn)： 最大拉應(yīng)力在C點(diǎn)且Cmax=28.83MPa=30MPa 最大壓應(yīng)力在B點(diǎn)且Bmax=46.13MPa 60MPa 故梁強(qiáng)度足夠 四、 直梁彎曲切應(yīng)力簡(jiǎn)介 一般情況下直梁彎曲切應(yīng)力比 正應(yīng)力小得多，通常忽略不計(jì)。 但下列情況必須考慮直梁彎曲 時(shí)橫截面上的切應(yīng)力： 1. 橫截面上的Fq較大而M較??； 2. 梁的跨距小而截面高； 3. 組合截面梁的腹板較??；

18、切應(yīng)力分布成拋物線規(guī)律 第三節(jié)第三節(jié) 提高梁強(qiáng)度的主要措施提高梁強(qiáng)度的主要措施 a.a.合理安排梁的支承合理安排梁的支承 一、降低最大彎矩?cái)?shù)值的措施一、降低最大彎矩?cái)?shù)值的措施 b.b.合理布置載荷合理布置載荷 第三節(jié)提高梁強(qiáng)度的主要措施第三節(jié)提高梁強(qiáng)度的主要措施 第三節(jié)提高梁強(qiáng)度的主要措施第三節(jié)提高梁強(qiáng)度的主要措施 b.b.合理布置載荷合理布置載荷 第三節(jié)提高梁強(qiáng)度的主要措施第三節(jié)提高梁強(qiáng)度的主要措施 二、合理選擇梁的截面，用最小的截面面積二、合理選擇梁的截面，用最小的截面面積 得到大的抗彎截面模量。得到大的抗彎截面模量。 形狀和面積相同的截面，采用不同的放置方式。形狀和面積相同的截面，采用不同的放置方式。 面積相等而形狀不同的截面，其抗彎截面模面積相等而形狀不同的截面，其抗彎截面模 量不相同量不相同 。 面積相等時(shí)，工字鋼和槽鋼的抗彎截面模量最大，面積相等時(shí)，工字鋼和槽鋼的抗彎截面模量最大， 空心圓截面次之，實(shí)心圓截面的抗彎截面模量最小，空心圓截面次之，實(shí)心圓截面的抗彎截面模量最小， 承載能力最差承載能力最差。 二、合理選擇梁的截面，用