天津卷高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

1、絕密 啟用前2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘。第卷1至2頁(yè)，第卷3至5頁(yè)。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫(xiě)在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第卷注意事項(xiàng)：1.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。2本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：如果事件，互斥，那么如果事件，相互獨(dú)立，那么.圓柱的

2、體積公式. 圓錐的體積公式.其中表示圓柱的底面面積， 其中表示圓錐的底面面積，表示圓柱的高. 表示圓錐的高.一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.（1）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（） （a） （b） （c） （d）（2）設(shè)變量，滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（） （a）2 （b）3 （c）4 （d）5（3）閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的的值為（）（a）15 （b）105（c）245 （d）945（4）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）（a） （b）（c） （d）（5）已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，則雙曲線的方程為（）（a） （b）（c） （d）

3、（6）如圖，是圓的內(nèi)接三角形，的平分線交圓于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的圓的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).在上述條件下，給出下列四個(gè)結(jié)論：平分；.則所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）（a） （b） （c） （d）（7）設(shè)，則|“”是“”的（）（a）充要不必要條件 （b）必要不充分條件（c）充要條件 （d）既不充要也不必要條件（8）已知菱形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別在邊上，.若，則（ ）（a） （b） （c） （d）第卷注意事項(xiàng)：1用黑色墨水鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上。2本卷共12小題，共110分。二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.）（9）某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意

4、向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取_名學(xué)生.（10）已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為_(kāi).（11）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為-1的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和.若成等比數(shù)列，則的值為_(kāi).（12）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.已知，則的值為_(kāi).（13）在以為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓和直線相交于兩點(diǎn).若是等邊三角形，則的值為_(kāi).（14）已知函數(shù)，.若方程恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi).三、解答題（本題共6道大題，滿分80分解答應(yīng)寫(xiě)出文字

5、說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）（15）（本小題滿分13分）已知函數(shù)，.（）求的最小正周期；（）求在閉區(qū)間上的最大值和最小值. （16）（本小題滿分13分）某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué). 在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院. 現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)（每位同學(xué)被選到的可能性相同）.（）求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率；（）設(shè)為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.（17）（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，底面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（）證明 ；（）求直線與平面所成角的正弦值

6、；（）若為棱上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值.（18）（本小題滿分13分）設(shè)橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知.（）求橢圓的離心率；（）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與該圓相切. 求直線的斜率.（19）（本小題滿分14分）已知和均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合，集合.（）當(dāng)，時(shí)，用列舉法表示集合；（）設(shè)，其中（20）（本小題滿分14分）已知函數(shù)，.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且.（）求的取值范圍；（）證明 隨著的減小而增大；（）證明 隨著的減小而增大.參考答案及解析一、選擇題題號(hào)12345678答案abbdadcc（1）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（） （a） （b

7、） （c） （d）解：a .（2）設(shè)變量，滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（） （a）2 （b）3 （c）4 （d）5解：b 作出可行域，如圖結(jié)合圖象可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)通過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值3.（3）閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的的值為（）（a）15 （b）105（c）245 （d）945解：b 時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，輸出.（4）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）（a） （b）（c） （d）解：d ，解得或.由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知的單調(diào)遞增區(qū)間為.（5）已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，則雙曲線的方程為（）（a） （b）（c） （d）解：a 依題意得，所以，雙曲線的方程為.（

8、6）如圖，是圓的內(nèi)接三角形，的平分線交圓于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的圓的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).在上述條件下，給出下列四個(gè)結(jié)論：平分；.則所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）（a） （b） （c） （d）解：d 由弦切角定理得，又，所以，所以，即，排除a、c.又，排除b.（7）設(shè)，則|“”是“”的（）（a）充要不必要條件 （b）必要不充分條件（c）充要條件 （d）既不充要也不必要條件解：c 設(shè)，則，所以是上的增函數(shù)，“”是“”的充要條件.（8）已知菱形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別在邊上，.若，則（ ）（a） （b） （c） （d）解：c 因?yàn)?，所?因?yàn)椋裕?因?yàn)?，所以，?同理可得 ，+得.第卷注意事項(xiàng)：1用黑色墨水鋼

9、筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上。2本卷共12小題，共110分。二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.）（9）某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取_名學(xué)生.解：60 應(yīng)從一年級(jí)抽取名.（10）已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為_(kāi).解： 該幾何體的體積為.（11）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為-1的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和.若成等比數(shù)列，則的值為_(kāi).解： 依題意

10、得，所以，解得.（12）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.已知，則的值為_(kāi).解： 因?yàn)?，所以，解得?所以.（13）在以為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓和直線相交于兩點(diǎn).若是等邊三角形，則的值為_(kāi).解：3 圓的方程為，直線為.因?yàn)槭堑冗吶切?，所以其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，代入圓的方程可得.（14）已知函數(shù)，.若方程恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi).解：或顯然.（）當(dāng)與相切時(shí)，此時(shí)恰有3個(gè)互異的實(shí)數(shù)根.（）當(dāng)直線與函數(shù)相切時(shí)，此時(shí)恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)根.結(jié)合圖象可知或.解2：顯然，所以.令，則.因?yàn)椋?結(jié)合圖象可得或.三、解答題（本題共6道大題，滿分80分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）（15）（

11、本小題滿分13分）已知函數(shù)，.（）求的最小正周期；（）求在閉區(qū)間上的最大值和最小值.（15）本小題主要考查兩角和與差的正弦公式、二倍角公式與余弦公式，三角函數(shù)的最小正周期、單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí). 考查基本運(yùn)算能力. 滿分13分.（）解：由已知，有 .所以，的最小正周期.（）解：因?yàn)樵趨^(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).，.所以，函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為.（16）（本小題滿分13分）某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué). 在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院. 現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)（每位同學(xué)被選到

12、的可能性相同）.（）求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率；（）設(shè)為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.（16）本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式，互斥事件、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí). 考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力. 滿分13分.（）解：設(shè)“選出的3名同學(xué)來(lái)自互不相同的學(xué)院”為事件，則.所以，選出的3名同學(xué)來(lái)自互不相同學(xué)院的概率為.所以，的最小正周期.（）解：隨機(jī)變量的所有可能值為0，1，2，3.所以，隨機(jī)變量的分布列是0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（17）（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，底面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（）證明 ；（）求直線與

13、平面所成角的正弦值；（）若為棱上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值.（17）本小題主要考查空間兩條直線的位置關(guān)系，二面角、直線與平面所成的角，直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí). 考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法. 考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力. 滿分13分.（方法一）依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，.由為棱的中點(diǎn)，得.（）證明：向量，故. 所以，.（）解：向量，.設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得為平面的一個(gè)法向量.于是有. 所以，直線與平面所成角的正弦值為.（）解：向量，.由點(diǎn)在棱上，設(shè)，.故.由，得，因此，解得.即.設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得為平面的一個(gè)法向量

14、.取平面的法向量，則.易知，二面角是銳角，所以其余弦值為.（方法二）（）證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，.由于分別為的中點(diǎn)， 故，且，又由已知，可得且，故四邊形為平行四邊形，所以. 因?yàn)榈酌?，故，而，從而平面，因?yàn)槠矫妫谑?，又，所?（）解：連接，由（）有平面，得，而，故.又因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，故，可得，所以平面，故平面平面.所以直線在平面內(nèi)的射影為直線，而，可得為銳角，故為直線與平面所成的角.依題意，有，而為中點(diǎn)，可得，進(jìn)而.故在直角三角形中，因此. 所以，直線與平面所成角的正弦值為.（）解：如圖，在中，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn).因?yàn)榈酌?，故底面，從?又，得平面，因此.在底面內(nèi)，可得，從而.在平面內(nèi)，作交于點(diǎn)

15、，于是.由于，故，所以四點(diǎn)共面.由，得平面，故.所以為二面角的平面角.在中，由余弦定理可得，.所以，二面角的斜率值為.（18）（本小題滿分13分）設(shè)橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知.（）求橢圓的離心率；（）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與該圓相切. 求直線的斜率.（18）本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí). 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì). 考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問(wèn)題的能力.滿分13分.（）解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.由，可得，又，則.所以，橢圓的離心率.，所以，解得，.（）解：由（）知，.

16、故橢圓方程為.設(shè).由，有，.由已知，有，即.又，故有. 又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故. 由和可得.而點(diǎn)不是橢圓的頂點(diǎn)，故，代入得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)圓的圓心為，則，進(jìn)而圓的半徑.設(shè)直線的斜率為，依題意，直線的方程為.由與圓相切，可得，即，整理得，解得.所以，直線的斜率為或.（19）（本小題滿分14分）已知和均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合，集合.（）當(dāng)，時(shí)，用列舉法表示集合；（）設(shè)，其中，. 證明：若，則.（19）本小題主要考查集合的含義和表示，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法. 考查運(yùn)算能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 滿分14分.（）解：當(dāng)，時(shí)，.可得，.（）證明：由，及，可得 . 所以，.（20）（本小題滿分14分）已知函數(shù)，.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且.（）求的取值范圍；（）證明 隨著的減小而增大；（）證明 隨著的減小而增大.（20）本小題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和方法. 考查函數(shù)思想、化歸思想. 考查抽象概括能力、綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 滿分14分.（）解：由，可得.下面分兩種情況討論：（1）時(shí) 在上恒成立，可得在上單調(diào)遞增，不合題意.（2）時(shí)， 由，得.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：0這時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.于是，“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于如下條件同時(shí)成立：1；2存在，滿足；