動量矩定理20121210

1、yyyy年M月d日 前言前言 動量定理建立了動量變化與力之間的關系，質(zhì)點系的動 量是描述質(zhì)點系運動狀態(tài)的運動量，用質(zhì)心的動量來計算， 但是，當一個物體繞著質(zhì)心轉動，其動量恒等于零。因此， 用動量來描述物體轉動，不能描述其轉動的規(guī)律。 動量矩是描述機械運動強度的另一個物理量，其與力矩 之間存在著一定的物理關系。 動量矩定理正是解決質(zhì)點系（物體）相對某一軸轉動的 動力學問題的方法。 n質(zhì)點的動量矩定理 n質(zhì)點系的動量矩定理 n剛體對轉軸的轉動慣量 n剛體定軸轉動的微分方程 23-1 23-1 動量矩動量矩 質(zhì)點的動量矩質(zhì)點的動量矩 其方向：右手螺旋法則其方向：右手螺旋法則 vmrvmML oo )

2、( N z o r mv v m o L AB a b z L 質(zhì)點的動量矩是表征質(zhì)點繞某固定質(zhì)點的動量矩是表征質(zhì)點繞某固定 點運動強度的物理量點運動強度的物理量 質(zhì)點的動量矩質(zhì)點的動量矩 sin AB2)( rvm OdmvLo 其模為其模為 的面積的面積 N z o r mv v m o L AB 投影式投影式 a b ab2)()(odvmmvML Zz 的面積的面積 即即 zzo LL 單位單位 s /mkg 2 z L vmrvmML oo )( 質(zhì)點系的動量矩質(zhì)點系的動量矩 nnno vmrvmrvmrL 222111 投影式投影式 )()()( 2211nnzzzz vmMvmM

3、vmML )( iioiii vmMvmr )( iiz vmM 質(zhì)點的動量矩定理推導質(zhì)點的動量矩定理推導 由由 )( d d d d vm t rvm t r 對時間求導對時間求導 vmrLo mv o L F o M o r M )( d d d d vmr tt Lo 23-2 23-2 質(zhì)點的動量矩定理質(zhì)點的動量矩定理 對時間求導對時間求導 mv o L F o M o r M Fvm t )( d d 因為因為 0 d d vmvvm t r Frvmr t )( d d 得出 動量定理微分式 )( d d d d vmr tt Lo )( d d d d vm t rvm t r

4、寫成寫成)( d d FM t L o O 投影式投影式 )( d d FM t L x x )( d d FM t L z z )( d d FM t L y y 動量矩定理：質(zhì)點對某固定點的動量矩對時間的變 化率等于作用力對同一點的矩。 Frvmr t )( d d t l g P vl g P mvML zz d d )( 2 例例 圖示單擺（數(shù)學擺），擺錘重為圖示單擺（數(shù)學擺），擺錘重為，懸線長，懸線長 為為l。如給擺錘一初速度或初加速度，它就在通過。如給擺錘一初速度或初加速度，它就在通過 o點的鉛垂平面內(nèi)擺動。點的鉛垂平面內(nèi)擺動。 求求 單擺在微小擺動時的運動規(guī)律。單擺在微小擺動時的

5、運動規(guī)律。 解解 運動分析運動分析 y x v o M l 擺動擺動 在任意瞬時在任意瞬時，對，對 軸的動量矩為軸的動量矩為 坐標系如圖所示坐標系如圖所示 t l g P Lz d d 2 y x v P o M l 在任意瞬時在任意瞬時，對，對 軸的力矩為軸的力矩為 N 受力分析受力分析 sinPlM z 或或 t l g P tt Lz d d d d d d 2 sinPlM z 0sin d d 2 2 l g t 單擺的運動微分方程單擺的運動微分方程 y x v P o M l N 若擺動很小時若擺動很小時sin 0sin d d 2 2 l g t 故有故有 0 d d 2 2 l

6、 g t 其解為其解為 t l g Asin 振動周期為振動周期為 g l T2 常數(shù)取決于初始條件常數(shù)取決于初始條件 與初始條件無關與初始條件無關 存在的情況 0)(FM o )( 0 vmMLo 常矢量常矢量 )(mvML xx常數(shù)常數(shù) 質(zhì)點的動量矩守恒定理質(zhì)點的動量矩守恒定理 )( d d FM t L o O 動量矩定理 如果作用于質(zhì)點的力對某一固定點的矩恒等于零， 則質(zhì)點對該點的動量矩保持不變。 即 特殊情況 0)(FM x 例：人造衛(wèi)星相對于地心參照系的運行軌跡是以地心例：人造衛(wèi)星相對于地心參照系的運行軌跡是以地心S S為一焦為一焦 點的橢圓，我國發(fā)射的第一顆衛(wèi)星，它的近地點高度為

7、點的橢圓，我國發(fā)射的第一顆衛(wèi)星，它的近地點高度為H Ha a =439km=439km，遠地點高度為，遠地點高度為H Hc c=2384km=2384km，地球的平均半徑為，地球的平均半徑為R R =6371km=6371km，已知衛(wèi)星通過近地點，已知衛(wèi)星通過近地點a a時的速度為時的速度為v va a=8.109km/s=8.109km/s。 求衛(wèi)星通過軌道上求衛(wèi)星通過軌道上b b和和c c點的速度。（只考慮地心引力）點的速度。（只考慮地心引力） 解：解： 衛(wèi)星運行的幾何參數(shù)衛(wèi)星運行的幾何參數(shù) 長半軸長半軸 焦距焦距 短半軸短半軸 )( 5.7782)2( 2 1 kmRHHAoa ca )

8、( 5.972)(kmRHACos a )( 5.7721 22 kmCABob 衛(wèi)星所受的外力為地心引力衛(wèi)星所受的外力為地心引力F F（向心力向心力），該力對力心），該力對力心 S S的矩恒等于零，動量矩守恒。的矩恒等于零，動量矩守恒。 )()(CAmvBmvCAmv cba 動量矩守恒。動量矩守恒。 )()(CAmvBmvCAmv cba 則由上式可以求出則由上式可以求出 )/(152.7skmv B CA v ab )/(308.6skmv CA CA v ac 23-3 23-3 質(zhì)點系的動量矩定理質(zhì)點系的動量矩定理 設質(zhì)點系有設質(zhì)點系有n各質(zhì)點所組成各質(zhì)點所組成 * 0 d d oi

9、oi i MM t L 根據(jù)動量矩定理有根據(jù)動量矩定理有 對第對第i個質(zhì)點個質(zhì)點 外力矩之和為外力矩之和為 內(nèi)力矩之和為內(nèi)力矩之和為 i j n oi M * oi M n個方程求和個方程求和 o r oi i L tt L d d d d 0 * oioi MM 得出得出 ooi MM ooi LL r o i j n 質(zhì)點系內(nèi)力的矩質(zhì)點系內(nèi)力的矩 o o M t L d d oi M 投影式（對軸的矩）投影式（對軸的矩） xix x MM t L d d ziz z MM t L d d yiy y MM t L d d 0 * oi M 令令 t L i d d 0 * oioi MM

10、o o M t L d d oi M xix x MM t L d d ziz z MM t L d d yiy y MM t L d d 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理 質(zhì)點系對任一固定點的動量矩矢量和對時間的變質(zhì)點系對任一固定點的動量矩矢量和對時間的變 化率，等于該質(zhì)點系外力對該點的矩。化率，等于該質(zhì)點系外力對該點的矩。 質(zhì)點系對任一固定軸的動量質(zhì)點系對任一固定軸的動量 矩矢量和對時間的變化率，矩矢量和對時間的變化率， 等于該質(zhì)點系外力對該軸的等于該質(zhì)點系外力對該軸的 矩。矩。 0 oio MM 若若 iiioo vmrvmML )( 0 d d t Lo 則則 故故 0 xix MM若

11、若 )( iixx vmML 0 d d t Lx 則則 故故 常矢量常矢量 常數(shù)常數(shù) 質(zhì)點系動量矩守恒定理質(zhì)點系動量矩守恒定理 若質(zhì)點系外力對某一固定點的矩為零，則質(zhì)點系對若質(zhì)點系外力對某一固定點的矩為零，則質(zhì)點系對 該點的動量矩矢量和在任意時刻恒等于某常數(shù)。該點的動量矩矢量和在任意時刻恒等于某常數(shù)。 若質(zhì)點系外力對某一固定軸的矩為零，則質(zhì)點系對若質(zhì)點系外力對某一固定軸的矩為零，則質(zhì)點系對 該軸的動量矩矢量和在任意時刻恒等于某常數(shù)。該軸的動量矩矢量和在任意時刻恒等于某常數(shù)。 BA vvv 求求 此兩重物的加速度和滑輪的角加速度。此兩重物的加速度和滑輪的角加速度。 解解 例例 半徑為半徑為，重

12、為，重為的滑輪可繞定軸的滑輪可繞定軸o轉動，在轉動，在 滑輪上繞一柔軟的繩子，其兩端個系一重各滑輪上繞一柔軟的繩子，其兩端個系一重各 為為和和的重物和，且的重物和，且，如圖所，如圖所 示。設滑輪的質(zhì)量均勻分布在圓周上（即將示。設滑輪的質(zhì)量均勻分布在圓周上（即將 滑輪視為圓環(huán)）。滑輪視為圓環(huán)）。 x y o v O X A P A v G O Y B Q B v 研究對象研究對象 輪、兩物體輪、兩物體- -質(zhì)點系質(zhì)點系 運動分析運動分析 受力分析受力分析 動量矩動量矩 mvrvr g Q vr g P Lz x y o v O X A P A v G O Y B Q B v mvrmvr 其中其

13、中 mvrvr g Q vr g P Lz vr g G 所以所以 )(QPrrQrPM z )(GQP g vr Lz 又因又因 由質(zhì)點系動量矩定理得由質(zhì)點系動量矩定理得 )( d d )(QPr t v GQP g r x y o v O X A P A v G O Y B Q B v 于是于是 )( d d )(QPr t v GQP g r t v d d ag GQP QP r a r g GQP QP 求求 不計各桿的質(zhì)量，求此時系統(tǒng)的角速度。不計各桿的質(zhì)量，求此時系統(tǒng)的角速度。 例例 圖示機構，水平桿可繞鉛垂軸轉動，圖示機構，水平桿可繞鉛垂軸轉動， 其兩端各用鉸鏈與桿和相連，桿端

14、其兩端各用鉸鏈與桿和相連，桿端 各連接重為的小球和。起初兩小球用各連接重為的小球和。起初兩小球用 細線相連，使桿和均為鉛垂時，系細線相連，使桿和均為鉛垂時，系 統(tǒng)繞軸的角速度為統(tǒng)繞軸的角速度為 。如某時此細線拉斷。如某時此細線拉斷 后，桿和各與鉛垂線成角后，桿和各與鉛垂線成角 。 解解 0 0 z A l a D l a C B研究對象研究對象 質(zhì)點系質(zhì)點系 運動分析運動分析 受力分析受力分析 定軸轉動定軸轉動 P平行于平行于z軸軸 P P 繩未拉斷時繩未拉斷時 質(zhì)系對質(zhì)系對z軸的動量矩守恒軸的動量矩守恒 0 2 01 22a g P aa g P Lz 0 z A l a D l a C B

15、 P P 受力分析受力分析 P平行于平行于z軸軸 繩拉斷時繩拉斷時 2 2 sin2la g P Lz 所以所以 0 2 2 2sin2a g P la g P 解得解得 02 2 sin la a 顯然顯然 0 iiiiiz rvmvmM)()( 剛體對剛體對Z Z軸的動量矩軸的動量矩 由質(zhì)點的動量矩由質(zhì)點的動量矩 23-4 23-4 定軸轉動剛體對轉軸的動量矩定軸轉動剛體對轉軸的動量矩 . .轉動慣量轉動慣量 o z i v i r iii rrm)( )( 2 iir m )( iizz vmML 對剛體對剛體 )( 2 iir m 記記 2 iiz rmJ 則則 zz JL 轉動慣量轉

16、動慣量 工程中表示為工程中表示為 2 iiz rmJ zz JL o z i v i r 2 zz mJ 顯然顯然 m J z z 慣性半徑慣性半徑 mrJ m z d )( 2 對形狀簡單、質(zhì)量連續(xù)分布的勻質(zhì)剛對形狀簡單、質(zhì)量連續(xù)分布的勻質(zhì)剛 體，其轉動慣量可直接積分計算體，其轉動慣量可直接積分計算 平行移軸公式平行移軸公式 因為因為 2 iiz rmJ h i r i M y z x o C x y z o i r x i y i z )( 22 iii yxm 2 iiz rmJ 22 )(hyxm iii 222 2hhyyxm iiii 222 )()(2)(hmymhyxm iii

17、iii 2 )(2mhmyhJ cz 而而 2 mhJJ zz 所以所以 0 c y z x 2/ l z xd C x 2/ l A B 慣性矩的計算慣性矩的計算 xx l M J l lz d 2 2 2 2 12 1 Ml xx l l M J l lz d 2 2 2 2 x l x lM l l 2 d 212 2 2 2 3 1 Ml 22 4 1 12 1 MlMl 積分法積分法 2 2 l l M JJ zz 2 3 1 Ml 平行移軸公式平行移軸公式 動量矩為動量矩為 3-5 3-5 剛體定軸轉動的微分方程剛體定軸轉動的微分方程 z i F 1 F n F j F zz JL

18、 由動量矩定理由動量矩定理 zizz MMJ 或或 zizz MM t J d d 在不計摩擦的在不計摩擦的 情況下，轉軸的約情況下，轉軸的約 束反力通過轉軸，束反力通過轉軸， 對軸的矩等于零。對軸的矩等于零。 zizz MM t J 2 2 d d kg8,m2 . 0,kg2m,1 21 mrml 例例 圖示復擺，質(zhì)量均勻，已知圖示復擺，質(zhì)量均勻，已知 求求 微小振動周期微小振動周期。 解解 sin cz mgxM 研究對象研究對象 l r o x 1 2 C o mg 質(zhì)點系質(zhì)點系 運動分析運動分析 受力分析受力分析 c x 轉動微分方程轉動微分方程 sin d d 2 2 co mgx

19、 t J l r o x 1 2 C c x o mg 或或 sin d d 2 2 co mgx t J 0sin d d 2 2 o c J mgx t 因為因為 sin 0 d d 2 2 o c J mgx t 所以所以 t J mgx o c sin 0 解為解為 c c mgx J T2 周期周期 l r o x 1 2 C c x o mg m06. 1 21 2211 mm xmxm xc c c mgx J T2 因為因為 22 101 mkg6667. 0 3 1 lmJ 22 2 2 22 mkg68.11)( 2 1 rlmrmJ o 2 21 mkg35.12 ooo

20、 JJJ s165. 22 c c mgx J T 所以所以 I 1 z M II 2 z 解解 , 2/1/,mkg5 . 1,mkg1 21 2 2 2 1 zzkJJ 例例 圖示齒輪傳動軸，由靜止開始勻加速轉動，已知圖示齒輪傳動軸，由靜止開始勻加速轉動，已知 求求 轉矩轉矩M和齒輪間的圓周力和齒輪間的圓周力Ft。 運動分析運動分析 .mm100,r/min1500s,10 11 rnt 輪輪 It 1101 其中其中0 10 rad/s5060/21500 1 所以所以 2 101 1 rad/s5 t 1 M 1 r F t FI 1 z M II 2 z 注意到注意到 2 M r F t F 所以所以 1 2 1 2 2 1 2 1 r r z z k 受力分析受力分析 rad/s 2 5 12 k 111 rFMJ t 2 101 1 rad/s5 t 分別建立轉動微分方程分別建立轉動微分方程 222 rFJ t 注意到注意到 得得 krrk/ 1212 代入數(shù)據(jù)，得代入數(shù)據(jù)，得 MJkJ 12 2 1 )( 111 rFMJ t 1 r F t FI 1 z M II 2 z 2 M r F t F 222 rFJ t mN69.2155 . 1