2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 直線和圓的方程 2.4 2.4.2 圓的一般方程學(xué)案 新人教A版選擇性必修第一冊

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 直線和圓的方程 2.4 2.4.2 圓的一般方程學(xué)案 新人教a版選擇性必修第一冊2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 直線和圓的方程 2.4 2.4.2 圓的一般方程學(xué)案 新人教a版選擇性必修第一冊年級(jí)：姓名：2.4.2圓的一般方程學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1.掌握圓的一般方程及其特點(diǎn)(重點(diǎn))2.會(huì)將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)由一般式求圓心和半徑(易混點(diǎn))3.能根據(jù)某些具體條件，運(yùn)用待定系數(shù)法求圓的方程(重點(diǎn)、難點(diǎn))1. 通過圓的一般方程的推導(dǎo)，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).2. 通過學(xué)習(xí)圓的一般方程的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).把圓的標(biāo)

2、準(zhǔn)方程(x1)2(y2)29中的括號(hào)展開、整理之后，得到的方程形式是什么樣的？是否所有圓的方程都能化成這種形式？知識(shí)點(diǎn)圓的一般方程(1)圓的一般方程當(dāng)d2e24f0時(shí)，二元二次方程x2y2dxeyf0叫做圓的一般方程，此時(shí)方程表示以為圓心，為半徑的圓(2)方程x2y2dxeyf0表示的圖形條件圖形d2e24f0表示以為圓心，以為半徑的圓已知點(diǎn)m(x0，y0)和圓的方程x2y2dxeyf0(d2e24f0)，當(dāng)點(diǎn)m在圓外、圓上、圓內(nèi)時(shí)，x0，y0滿足怎樣的關(guān)系式？提示點(diǎn)m在圓外xydx0ey0f0；點(diǎn)m在圓上xydx0ey0f0；點(diǎn)m在圓內(nèi)xydx0ey0f0求解由表示圓的條件，得(2m)2(2

3、)24(m25m)0，解得m0，即m.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.將方程x2y22mx2ym25m0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為(xm)2(y1)215m，故圓心坐標(biāo)為(m,1)，半徑r.二元二次方程表示圓的判斷方法任何一個(gè)圓的方程都可化為x2y2dxeyf0的形式，但形如x2y2dxeyf0的方程不一定表示圓判斷它是否表示圓可以有以下兩種方法：(1)計(jì)算d2e24f，若其值為正，則表示圓；若其值為0，則表示一個(gè)點(diǎn)；若其值為負(fù)，則不表示任何圖形(2)將該方程配方為，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來判斷跟進(jìn)訓(xùn)練1判斷方程x2y24mx2my20m200能否表示圓若能表示圓，求出圓心和半徑解法一：由方程x2y24mx2my20m

4、200可知d4m，e2m，f20m20，d2e24f16m24m280m8020(m2)2.因此，當(dāng)m2時(shí)，它表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)m2時(shí)，原方程表示圓，此時(shí)，圓的圓心為(2m，m)，半徑為r|m2|.法二：原方程可化為(x2m)2(ym)25(m2)2，因此，當(dāng)m2時(shí)，它表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)m2時(shí)，原方程表示圓，此時(shí)，圓的圓心為(2m，m)，半徑為r|m2|. 類型2求圓的一般方程【例2】(對接教材p86例題)已知abc的三邊bc，ca，ab的中點(diǎn)分別是d(5,3)，e(4,2)，f(1,1)(1)求abc的邊ab所在直線的方程及點(diǎn)a的坐標(biāo)；(2)求abc的外接圓的方程解(1)由題意可知kedkab1，又

5、f(1,1)為ab的中點(diǎn)，ab所在直線的方程為y11(x1)，即xy0.同理ca所在直線的方程為x2y0，聯(lián)立，得a(0,0)因此直線ab的方程為xy0，點(diǎn)a的坐標(biāo)為(0,0)(2)由線段ab的中點(diǎn)f(1,1)及a(0,0)得b(2,2)，由線段ac的中點(diǎn)e(4,2)及a(0,0)得c(8,4)，設(shè)abc的外接圓的方程為x2y2dxeyf0，將a，b，c的坐標(biāo)代入圓的方程可得解方程組可得圓的方程為x2y216x12y0.試總結(jié)用待定系數(shù)法求圓的一般方程的步驟提示(1)根據(jù)題意設(shè)所求的圓的一般方程為x2y2dxeyf0.(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于d，e，f的方程組(3)解此方程組，求出d，e，

6、f的值(4)將所得的值代回所設(shè)的圓的方程中，就得到所求的圓的一般方程跟進(jìn)訓(xùn)練2(1)圓心在直線yx上，且經(jīng)過點(diǎn)a(1,1)，b(3，1)的圓的一般方程是_(2)已知a(2,2)，b(5,3)，c(3，1)，求abc的外接圓的方程(1)x2y24x4y20設(shè)圓的方程為x2y2dxeyf0，則圓心是，由題意知，解得de4，f2，即所求圓的一般方程是x2y24x4y20.(2)解設(shè)abc外接圓的方程為x2y2dxeyf0，由題意得解得即abc的外接圓方程為x2y28x2y120. 類型3求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【例3】已知圓x2y24上一定點(diǎn)a(2,0)，點(diǎn)b(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，p，q為圓上的動(dòng)點(diǎn)(1)求

7、線段ap中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若pbq90，求線段pq中點(diǎn)的軌跡方程線段的中點(diǎn)，直角三角形斜邊的中點(diǎn)，圓中弦的中點(diǎn)都有怎樣的性質(zhì)？由此你能得到什么結(jié)論？解(1)設(shè)線段ap的中點(diǎn)m的坐標(biāo)為(x，y)，p的坐標(biāo)為(x0，y0)，又p(x0，y0)在圓x2y24上，(2x2)2(2y)24，(x1)2y21.(2)設(shè)pq的中點(diǎn)為n(x，y)，在rtpbq中，|pn|bn|，設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接on，則onpq(圖略)，|op|2|on|2|pn|2|on|2|bn|2，x2y2(x1)2(y1)24.故線段pq中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.求與圓有關(guān)的軌跡問題的方法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供

8、的條件列出方程(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程(3)代入法：若動(dòng)點(diǎn)p(x，y)依賴圓上的某一個(gè)動(dòng)點(diǎn)q(x0，y0)而運(yùn)動(dòng)，找到兩點(diǎn)的關(guān)系，把x0，y0用x，y表示，再將點(diǎn)q的坐標(biāo)代入到已知圓的方程中得p點(diǎn)的軌跡方程提醒：注意“求軌跡”與“求軌跡方程”是不同的跟進(jìn)訓(xùn)練3(1)已知圓x2y21，點(diǎn)a(1,0)，abc內(nèi)接于圓，且bac60，當(dāng)b，c在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，bc中點(diǎn)d的軌跡方程是()ax2y2bx2y2cx2y2dx2y2(2)已知abc的邊ab長為4，若bc邊上的中線為定長3，求頂點(diǎn)c的軌跡方程(1)d設(shè)d(x，y)，由bac60知bod60，在rtbod中，dbo30，則odob，x

9、2y2，當(dāng)ca時(shí)，dao30，ad，此時(shí)x，bc中點(diǎn)d的軌跡方程是x2y2，故選d(2)解以直線ab為x軸，ab的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，則a(2,0)，b(2,0)，設(shè)c(x，y)，bc中點(diǎn)d(x0，y0)|ad|3，(x02)2y9.將代入，整理得(x6)2y236.點(diǎn)c不能在x軸上，y0.綜上，點(diǎn)c的軌跡是以(6,0)為圓心，6為半徑的圓，去掉(12,0)和(0,0)兩點(diǎn)軌跡方程為(x6)2y236(y0)1圓x2y24x6y30的圓心和半徑分別為()a(4，6)，16b(2，3)，4c(2,3)，4d(2，3)，16c圓的方程可化為(x2)2(y3)216，因此圓心坐標(biāo)為(2,3)，半徑r4，故選c2方程x2y22ax2bya2b20表示的圖形為()a以(a，b)為圓心的圓b以(a，b)為圓心的圓c點(diǎn)(a，b)d點(diǎn)(a，b)d原方程可化為(xa)2(yb)20，即方程表示點(diǎn)(a，b)3若方程x2y2