2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù) 3.1 3.1.3 第1課時 奇偶性的概念學(xué)案 新人教B版必修第一冊

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù) 3.1 3.1.3 第1課時 奇偶性的概念學(xué)案 新人教b版必修第一冊2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù) 3.1 3.1.3 第1課時 奇偶性的概念學(xué)案 新人教b版必修第一冊年級：姓名：3.1.3函數(shù)的奇偶性第1課時奇偶性的概念學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義(重點(diǎn))2了解奇函數(shù)、偶函數(shù)圖像的特征(一般)3掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法(重點(diǎn)、難點(diǎn))1借助奇(偶)函數(shù)的特征，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)2借助函數(shù)奇、偶的判斷方法，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).在我們的日常生活中，可以觀察到許多對稱現(xiàn)象，如圖，六角形的雪花晶體、建筑物和它在水中的倒影

2、問題(1)上述材料中提到的圖形對稱指的是“整個圖形對稱”還是“圖形的部分”對稱？(2)哪個圖形是軸對稱圖形？哪個圖形是中心對稱圖形？知識點(diǎn)一奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)條件設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)閐，如果對d內(nèi)的任意一個x，都有xd結(jié)論f(x)f(x)f(x)f(x)圖像特點(diǎn)關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱1具有奇偶性的函數(shù)，其定義域有何特點(diǎn)？提示定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱1思考辨析(對的打“”，錯的打“”)(1)奇函數(shù)的圖像一定過原點(diǎn)()(2)如果定義域內(nèi)存在x0，滿足f(x0)f(x0)，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)()(3)若對于定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)f(x)0，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(

3、)答案(1)(2)(3)提示(1)不一定，如函數(shù)f(x).(2)不符合定義，必須對于定義域內(nèi)的任意一個x都成立(3)若f(x)f(x)0，則f(x)f(x)2.下列函數(shù)中，即是奇函數(shù)又是減函數(shù)的為()ayx1by3x2cydyx|x|d選項中是奇函數(shù)的只有c、d，而它們中y在定義域上不是減函數(shù)，只有d符合題意知識點(diǎn)二奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖像特征(1)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱(2)如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么它是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，那么它是偶函數(shù)2.若f(x)為奇函數(shù)，且點(diǎn)(x，f(x)在其圖像上，則哪一個點(diǎn)一定在其圖像上？若f(x)為偶函數(shù)呢？

4、提示若f(x)為奇函數(shù)，則(x，f(x)在其圖像上；若f(x)為偶函數(shù)，則(x，f(x)在其圖像上3.下列圖像表示的函數(shù)具有奇偶性的是()abcdbb選項的圖像關(guān)于y軸對稱，是偶函數(shù)，其余選項中的圖像都不具有奇偶性4.函數(shù)yf(x)，x1，a(a1)是奇函數(shù)，則a等于()a1b0c1d無法確定c奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，a10，即a1 類型1函數(shù)奇偶性的判斷【例1】(1)已知yf(x)，x(a，a)，f(x)f(x)f(x)，則f(x)是()a奇函數(shù)b偶函數(shù)c既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)d非奇非偶函數(shù)(2)函數(shù)f(x)2x的圖像關(guān)于()ay軸對稱b坐標(biāo)原點(diǎn)對稱c直線yx對稱d直線yx對稱(3)判斷下

5、列函數(shù)的奇偶性：f(x)|2x1|2x1|；f(x)；f(x)(1)b(2)b(1)f(x)f(x)f(x)f(x)又因?yàn)閤(a，a)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f(x)是偶函數(shù)(2)函數(shù)的定義域ax|x0，所以xa時，xa，且f(x)2xf(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，故圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱(3)解因?yàn)閤r，f(x)|2x1|2x1|(|2x1|2x1|)f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)函數(shù)f(x)的定義域是(，1)(1，)，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)法一：作出函數(shù)圖像如圖：關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)法二：當(dāng)x0時，f(x)1x2，此時x0，所以f(x)(x)21x21，所

6、以f(x)f(x)；當(dāng)x0，f(x)1(x)21x2，所以f(x)f(x)；當(dāng)x0時，f(0)f(0)0.綜上，對xr，總有f(x)f(x)，所以f(x)為r上的奇函數(shù)判斷函數(shù)奇偶性的2種方法(1)定義法：(2)圖像法：1下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有_(填序號)f(x)x3；f(x)|x|1；f(x)；f(x)x；f(x)x2，x1,2對于，xr，f(x)x3f(x)，則為奇函數(shù)；對于，xr，f(x)|x|1|x|1f(x)，則為偶函數(shù)；對于，定義域?yàn)閤|x0，關(guān)于原點(diǎn)對稱，f(x)f(x)，則為偶函數(shù)；對于，定義域?yàn)閤|x0，關(guān)于原點(diǎn)對稱，f(x)xf(x)，則為奇函數(shù)；對于，定義域?yàn)?,2，不

7、關(guān)于原點(diǎn)對稱，不具有奇偶性，則為非奇非偶函數(shù) 類型2奇偶函數(shù)的圖像問題【例2】已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,5，且在區(qū)間0,5上的圖像如圖所示(1)畫出在區(qū)間5,0上的圖像；(2)寫出使f(x)0的x的取值集合解(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以yf(x)在5,5上的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱由yf(x)在0,5上的圖像，可知它在5,0上的圖像，如圖所示(2)由圖像知，使函數(shù)值y0的x的取值集合為(2，0)(2,5)變條件將本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”，再求解上述問題解(1)如圖所示：(2)由(1)可知，使函數(shù)值y0的x的取值集合為(5，2)(2,5)巧用奇、偶函數(shù)的圖像求解問題(1)依據(jù)：奇函

8、數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱(2)求解：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖像的對稱性，可以解決諸如求函數(shù)值或畫出奇偶函數(shù)圖像的問題2如圖是函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上的圖像，請據(jù)此在該坐標(biāo)系中補(bǔ)全函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的圖像，并說明你的作圖依據(jù)解因?yàn)閒(x)，所以f(x)的定義域?yàn)閞.又對任意xr，都有f(x)f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱，其圖像如圖所示 類型3利用函數(shù)的奇偶性求值1對于定義域內(nèi)的任意x，若f(x)f(x)0，則函數(shù)f(x)是否具有奇偶性？若f(x)f(x)0呢？提示由f(x)f(x)0得f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)由f(x)f(x)0得f(x

9、)f(x)，f(x)為偶函數(shù)2若f(x)是奇函數(shù)且在x0處有定義，則f(0)的值可求嗎？若f(x)為偶函數(shù)呢？提示若f(x)為奇函數(shù)，則f(0)0；若f(x)為偶函數(shù)，則無法求出f(0)的值【例3】(1)若函數(shù)f(x)ax2bx3ab是偶函數(shù)，定義域?yàn)閍1,2a，則a_，b_；(2)已知f(x)x7ax5bx3cx2，若f(3)3，則f(3)_.思路點(diǎn)撥(1)(2)(1)0(2)7(1)因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以a12a，解得a.又函數(shù)f(x)x2bxb1為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖像的特點(diǎn)，易得b0.(2)令g(x)x7ax5bx3cx，則g(x)是奇函數(shù)，所以f(3)g(3)2g(3

10、)2，又f(3)3，所以g(3)5.又f(3)g(3)2，所以f(3)527.利用奇偶性求參數(shù)的常見類型及策略(1)定義域含參數(shù)：奇、偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍，b，根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，利用ab0求參數(shù)(2)解析式含參數(shù)：根據(jù)f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比較系數(shù)即可求解3若f(x)(xa)(x4)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a_.4法一：f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，兩式恒相等，則a40，即a4.法二：f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，要使函數(shù)為偶函數(shù)，只需多項式的奇次項系數(shù)為0，即a40，則a4.法三：根據(jù)二次函數(shù)的奇偶

11、性可知，形如f(x)ax2c的都是偶函數(shù)，因而本題只需將解析式看成是平方差公式，則a4.1函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于()ax軸對稱b原點(diǎn)對稱cy軸對稱d直線yx對稱b由得f(x)的定義域?yàn)椋?)(0，關(guān)于原點(diǎn)對稱又f(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)，f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱2函數(shù)f(x)|x|1是()a奇函數(shù)b偶函數(shù)c既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)d非奇非偶函數(shù)bf(x)|x|1|x|1f(x)，f(x)為偶函數(shù)3已知函數(shù)f(x)ax22x是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a_.0f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)0，2ax20對任意xr恒成立，所以a0.4已知函數(shù)f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)x2x，則f(2)_.2因?yàn)閒(x)是定義在r上的奇函數(shù)，并且x0時，f(x)x2x，所以f(2)f(2)(2)2(2)2.5如圖，給出奇函數(shù)yf(x)的局部圖像，則f(2)f(1)_.2由題圖知f(1)，f(2)，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(2)f(1)f(2)f(1)2.回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：1你對函數(shù)奇偶性定義是怎樣理解的？提示(1)函數(shù)的奇偶性是相對于定義域d內(nèi)的